Ondas Mecánicas Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Física José Luis Michinel

Ondas Huygens frente a Newton ¿Partícula vs Onda ?

Contenido 1) ¿Qué es una onda? 2) Movimiento ondulatorio simple 3) Ondas periódicas 4) Ondas en 3-D 5) Ondas y barreras 6) Efecto Doppler

¿Qué es una onda? Una onda transporta energía y momento lineal a través del espacio sin transportar materia. Una onda mecánica necesita de un medio para propagarse mientras que una onda electromagnética no necesita un medio material para propagarse, ella puede propagarse en el vacío. Las ondas mecánicas se originan mediante la perturbación de un medio y se propaga a lo largo de él. ¿Qué magnitud física es esa perturbación?

Movimiento ondulatorio simple Ondas longitudinales y transversales

Movimiento ondulatorio simple Velocidad de las ondas en una cuerda La velocidad depende de propiedades del medio y es independiente del movimiento de la fuente de las ondas F c = 2F T sen  2 F c ≈ 2F T =F T   2 Para  <<  F c =ma c F c = m = (μΔs) =(μR  ) v2v2 R v2v2 R v2v2 R FT  =(μR)FT  =(μR) v2v2 R F T = μv 2  v=√F T /μ μ = densidad lineal de masa de la cuerda

Movimiento ondulatorio simple Pulsos de onda y = f(x) f(x) = f(x-vt) f(x) = f(x+vt) x = x’ + vt y = f(x - vt) Se propaga a la derecha y = f(x + vt) ¿Y si se propaga a la izquierda?

Ecuación de Onda ΣF y = ma Si consideramos un segmento de cuerda, como el indicado, podemos aplicar la 2 da Ley de Newton para deducir la llamada Ecuación de Onda cuya solución corresponde a una función de x y t. y(x,t) = y(x-vt) ΣF y = F T2 senθ 2 – F T1 senθ 1 Si θ 1 y θ 2 <<  ΣF y = F T2 tgθ 2 – F T1 tgθ 1 Donde S=tgθ= dy dx ΣF y = F T (tgθ 2 – tgθ 1 ) = F T (S 2 – S 1 ) = F T ΔS ma= (μΔx) d2yd2y dt 2 (μΔx) = F T ΔS d2yd2y dt 2 μ = F T d2yd2y dt 2 ΔSΔS ΔxΔx  = d2yd2y d2yd2y dx 2 FTFT μ  = v 2 d2yd2y dt 2 d2yd2y dx 2 y

Ondas Periódicas Ondas Armónicas Si el extremo de una cuerda se mueve periódicamente hacia arriba y hacia abajo se forma una onda periódica. Y si una onda periódica se mueve en un medio entonces cada punto del medio oscila con el mismo período Si una onda armónica se mueve por un medio cada punto del medio sigue un MAS Como cualquier onda las OA se representan mediante funciones dependiente del tiempo y el espacio. En el caso de OA son funciones sinusoidales y(x) = A sen(2πx/λ + δ) Durante el período T la onda se mueve una distancia de una longitud de onda λ, así: v = λ/T = f λ

Ondas Periódicas Si se trata de una única OA podemos escoger el origen de modo que δ=0. Si hacemos x=x-vt y(x) = A sen(kx + δ) Si k=2π/λ = N o de onda y(x,t) = A sen k(x-vt) y(x,t) = A sen (kx-vkt) y(x,t) = A sen (kx-ωt), es la función de onda armónica v y (x,t) = -A ωcos (kx-ωt) a y (x,t) = -A ω 2 sen (kx-ωt) t T

Transporte de energía por una onda en una cuerda Una onda armónica producida por un diapasón, colocado en un extremo, se propaga por la cuerda de la figura. En el instante indicado, ¿cómo son las energías en los puntos P, Q y R? v y (x,t)= Aω sen (kx- ωt), y en Q la energía es toda cinética ya que v y = (v y ) max La energía cinética de un segmento, Δx<<, de cuerda es: ΔE = Δ m (v y ) 2 max 1 2 (v y ) max = Aω  ΔE = μΔx (Aω) La energía en un período, T, es igual a la contenida en una longitud de onda λ E = μλ(Aω) La potencia, P, por período es E/T P m = μλ(Aω) 2 /T 1 2  P m = μv(Aω) 2 1 2

Intensidad de una onda Se define la Intensidad, I, de una onda como la potencia media, P m, por unidad de área que está incidiendo perpendicularmente a la dirección de propagación Para una fuente puntual que emite en todas las direcciones, la intensidad a una distancia, r, es: I = P m /A I = P m /4πr 2

En el caso de ondas sonoras en un fluido Velocidad de las ondas en un fluido v=√B/  P= nRT V dP= dV nRT V2V2 V 2 = nRT dP dV dP dV V2V2 m nRT m = dP dV V2V2 m RT M  = Para un gas ideal Para cualquier gas v= ΔPΔP ΔV/ V 1  ½ v= RT M ½ v= γ RT M ½  v= ΔPV 2 ΔV m ½

Ondas sonoras armónicas Función de onda s(x,t) = s o sen (kx-ωt), donde s(x,t) es el desplazamiento, longitudinal, de las moléculas respecto a la posición de equilibrio Vemos que la presión, ΔP(x,t), está desfasada en π/2 respecto a s(x,t) ΔP(x,t) = - ΔP o cos(kx-ωt)=ΔP o sen (kx-ωt - π/2 ) -B = ΔP ΔVΔV V El volumen de una capa de fluido de espesor Δx y sección transversal A es : V= A Δx El cambio de volumen, ΔV, que acompaña al cambio de presión es: AΔs =A[s(x+ Δx) – s(x)] ΔP =-B AΔsAΔs A Δx  ΔP =-B ΔsΔs ΔxΔx δsδs δxδx  ΔP = -  v 2 ks o cos(kx-ωt) ΔP o =  v 2 ks o =  ωvs o

Energía de las ondas sonoras Sea la función de onda s(x,t) = s o sen (kx-ωt), Donde, Δm =ρΔV = ρ(AΔx), aquí A= área del émbolo ΔE = Δm (s o ω) Como visto antes, el cambio total en la energía de la masa Δm es igual a su energía cinética máxima Área =A ΔE = ρ(AΔx) (s o ω) ΔEΔE ΔtΔt P m = = ρ(A ) (s o ω) ΔxΔx ΔtΔt  P m = ρAv(s o ω) La densidad de energía media,  m, es: ΔEΔE ΔVΔV  m = = ρ (s o ω) Y la potencia media, P m, es:  P m =  m Av Y la intensidad de la onda es: PmPm A I = =  m v  I = ρ (s o ω) 2 v 1 2 Δpo2Δpo2 ρv  I = 1 2 Como ΔP o =  v 2 ks o =  vs o ω

Nivel de intensidad y sensación sonora La percepción de la sonoridad varía logarítmicamente por lo que definimos el nivel de la intensidad, ,de una onda sonora, medida en decibeles (dB), como: Donde I es la intensidad del sonido e I o es un nivel de referencia umbral de audición  = 10 log I IoIo I o = W/m 2 En esta escala el umbral de audición es: 0 dB Y el umbral de dolor es: 120 dB Que corresponde, respectivamente, a intensidades: W/m 2 y 1 W/m 2

Nivel de intensidad y sensación sonora

Ondas y barreras Reflexión y refracción de ondas Cuando una onda incide sobre una superficie límite entre dos regiones en las que las velocidades de onda son diferentes (por que las densidades de esas regiones son diferentes) parte de la onda se refleja y parte se transmite. Cuerda “liviana” unida a cuerda “pesada” Cuerda “pesada” unida a cuerda “liviana”

Ondas y barreras Ejemplo 15.9: Dos cables soldados Dos cables de densidades de masa lineales μ 1 ≠ μ 2 se sueldan y luego se estiran con una tensión F T (igual en los dos alambres). La velocidad de una onda en el primer alambre es el doble que en el segundo. Cuando una onda armónica que se transmite por el primer alambre llega a la unión la onda reflejada tiene la mitad de la amplitud de la transmitida. a) Si la amplitud de la incidente es A i ¿Cuáles son las amplitudes de las ondas incidente y transmitida?. b) ¿Qué fracción de la potencia incidente se refleja y qué fracción se transmite? P m = ½ μω 2 A 2 v P i = P t + P r ½ μ 1 ω 2 A i 2 v 1 = ½ μ 2 ω 2 A t 2 v 2 + ½ μ 1 ω 2 A r 2 v 1 μ 1 A i 2 v 1 = μ 2 A t 2 v 2 + μ 1 A r 2 v 1 FTFT v12v12 FTFT v12v12 FTFT v22v22 A i 2 v 1 = A t 2 v 2 + A r 2 v 1 Ai2Ai2 v1v1 Ar2Ar2 v1v1 At2At2 v2v2  = + Ai2Ai2 2v 2 Ar2Ar2 At2At2 v2v2  = +  A i 2 = 2A t 2 + A r 2  A i 2 = 2(2A r ) 2 + A r 2  A i 2 = 9A r 2  A r = A i 1 3 A t = A i 2 3 Como P m = F T, responda (b) A2A2 v

Efecto Dopler Ejemplo: La Trochita f r = v/λ = f receptor parado y fuente moviéndose v v ± u f v ± u r v ± u f f r = v/λ = f receptor y fuente moviéndose

Superposición y ondas estacionarias Superposición de ondas Cuando dos o más ondas se encuentran en el espacio sus perturbaciones individuales se superponen, es decir, se suman algebraicamente creando una nueva onda.

Superposición de ondas armónicas En el caso de ondas armónicas de la misma frecuencia, en ciertas circunstancias producen patrones en el espacio. A este fenómeno se denomina interferencia. 1 y 1 + y 2 = Asenkx +Asen (kx + δ) y 1 + y 2 = Asen(kx - ωt) +Asen (kx - ωt + δ) Para un tiempo fijo senθ 1 + senθ 2 = 2cos (θ 1 - θ 2 ) sen (θ 1 + θ 2 ) θ 1 = kx - ωt y θ 2 = kx - ωt + δ y 1 + y 2 = [2Acos δ] sen (kx - ωt + δ)  θ 1 - θ 2 = - δ y θ 1 + θ 2 = 2(kx - ωt) + δ Para todo tiempo

Interferencia de ondas armónicas La superposición de dos o más ondas de frecuencia igual o muy semejante da un patrón de intensidad observable, es decir una interferencia. Interferencia constructiva y 1 + y 2 = [2Acos δ] sen (kx - ωt + δ) Si δ= 0  y 1 + y 2 = 2A sen (kx - ωt) Si δ= π  y 1 + y 2 = 0

Interferencia de ondas sonoras La interferencia de dos ondas sonoras con frecuencias ligeramente diferentes produce el fenómeno de batido o pulsación. p 1 = p o senω 1 t p 1 + p 2 = p 1 = p o senω 1 t + p o senω 2 t Si Δω = ω 1 - ω 2 y ω m = ½(ω 1 + ω 2 ) p 2 = p o senω 2 t p 1 + p 2 = p 1 = 2p o cos (ω 1 - ω 2 ) t sen (ω 1 + ω 2 ) t 1 2 p 1 + p 2 = p 1 = 2p o cos Δω t sen ω m t

Diferencia de fase debido a la diferencia de trayectos Otra causa de producir diferencia de fase entre dos onda que se superponen es la diferencia de trayectos entre las ondas. En la figura se presentan dos ondas que están en fase a la salida y que son emitidas, por focos, al mismo tiempo. En el caso (a) la diferencia de longitudes de los trayectos es un número entero de λ luego la interferencia es constructiva En el caso (b) la diferencia de longitudes de los trayectos es un número semientero de λ luego la interferencia es constructiva p 1 = p o sen(k x 1 - ωt) p 2 = p o sen(k x 2 - ωt) La diferencia de fase δ entre las dos ondas es: δ = (k x 2 - ωt) - (k x 1 - ωt) = k (x 2 - x 1 ) = kΔx = 2π ΔxΔx λ Si Δx = nλ  hay interferencia constructiva

Ondas y barreras Reflexión y refracción de ondas Cuando una onda incide sobre una superficie límite entre dos regiones en las que las velocidades de onda son diferentes (por que las densidades de esas regiones son diferentes) parte de la onda se refleja y parte se transmite. Cuerda “liviana” unida a cuerda “pesada” Cuerda “pesada” unida a cuerda “liviana”

Ondas estacionarias Cuando las ondas están confinadas en el espacio. Se presenta una superposición de ondas que se reflejan en los extremos con las ondas incidentes dando origen a ondas estacionarias. Ondas estacionarias y i = Asen(kx- ω t) y r = Asen(kx+ ω t) y =y i + y r = 2Asen(kx)cos(ωt) Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx- ωt), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular ω y una amplitud 2Asen(kx). Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2Asen(kx)=0, por lo que kx=nπ con n=1, 2, 3,.... o bien, x= λ/2, λ, 3λ /2,... nλ/2 La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, λ /2.

Ondas estacionarias y =y i + y r = 2Asen(kx)cos(ωt) En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=λ /2. Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L= λ. Para el tercer modo, L=3 λ/2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como λn=λn= 2L2L n Pero como f n = v/λ n f n = n o f n = n f 1 donde f 1 = v 2L2L v 2L2L

25/09/2008Física General I- Unidades y sistema de medidas29