UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PACHUCA MAESTRÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIONES Matemáticas Discretas M. en C. Arturo Lezama León Maestría en Ciencias, en Ciencias de la Computación. Septiembre – Diciembre 2009

Objetivo Al finalizar el curso el alumno deberá aprender un conjunto particular de realidades matemáticas, como aplicarlas y a pensar desde el punto de vista matemático para resolver problemas construyendo sus propios modelos.

Contenido Unidad I. Lógica Matemática (3 semanas) Unidad II. Conjuntos (2 semanas) Unidad III. Relaciones y Funciones (3 semanas) Unidad IV. Algebra Booleana (3 semanas) Unidad V. Introducción a los Grafos y Árboles (3 semanas)

Unidad III. Relaciones y Funciones III. 2. Dominio y Contradominio III.3. Pares ordenados III. 4. Representación de las relaciones III.5. Propiedades de las relaciones III.6. Funciones y funciones diversas III.7. Permutaciones

Objetivo U.III. Al termino de la unidad que el alumno conocerá el uso de las relación y funciones mediante el entendimiento de las propiedades para emplearlas adecuadamente en la práctica.

III.1. Relaciones La idea de una relación entre dos conjuntos de objetos es común y bastante intuitiva. Ejemplos: Si consideramos el conjunto A de todos los hombres vivos y el conjunto B de todas las mujeres vivas, entonces la relación P(padre) puede definirse de A en B. Así tenemos que si x A e y  B, entonces x esta relacionado con y por la relación P si x es el padre de y. Se escribe x P y. También podría considerarse la relación H haciendo que x H y significando que x es hijo de y.

Si A es el conjunto de los números reales, hay muchas relaciones que se usan de A en A, habitualmente. Ejemplo: es la relación de menor que (<) donde se establece que x esta relacionado con y si x < y. En general son ejemplos las relaciones de orden: <, >, , ≥, K Sea A={1,2,3,4} y R una relación de A en A. Si se sabe que: 1 R 2, 1 R 3, 1 R 4, 2 R 3, 2 R 4, 3 R 4. Entonces se sabe todo lo que se necesita sobre R. Y no es más que la relación “menor que”.

Se puede decir que se conoce completamente R si se conocen todos los pares relacionados por R. Se pueden escribir: R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} {( x, y)|x  A, y  B x R y} Nota. Se puede observar que una relación entre conjuntos A y B puede ser considerada como un subconjunto de A x B y a su vez cualquier subconjunto de A x B puede ser considerado una relación. R={(1,2),(4,3),(2,2)}

Definición Sean A y B conjuntos no vacios. Una relación R de A en B es un subconjunto de A x B. Si R  A x B y ( a, b) R, se dice que a está relacionado con b por R y se escribirá: a R b

III.2. Dominio y Contradominio Dominio: El dominio de R es el conjunto formado por aquellos elementos de A que están relacionados con algún elemento de B. Se denota Dom(R) Imagen, rango, contradominio ó codominio: Es el conjunto de elementos de B que está relacionado con algún elemento de A. También llamado Imagen. Se denota Cod(R)

Ejemplos: Sean A={1,2,3} y B={ r, s} entonces R={(1,r),(2,r),(3,r)} es una relación entre A y B donde Dom(R)=A y Cod(R)=B Sea A={1,2,3,4,5}=B se define la siguiente relación (menor que) en A: a R b si y solo si a < b ( a, b A) R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)} por lo tanto Dom(R)={1,2,3,4} y Cod(R)={2,3,4,5} Sea A=B=Z+, el conjunto de los números enteros positivos. Se define la siguiente relación R en Z+. a R b si y solo si a divide a b. Así por ejemplo 2 R 30 pero 30 R 2. Se tiene que Dom(R) =Cod(R)=Z+ ya que cada número se divide y es divisible por si mismo.

Sean A=B=R, el conjunto de todos los números Sean A=B=R, el conjunto de todos los números. Se define la siguiente relación R en A. x R y si y solo si x e y satisfacen la ecuación Dom(R)=[-2,2] Cod(R )=[-3,3] Cod Dom

III. 3. Pares ordenados Pareja ordenada (a, b) es un listado de objetos a y b en un orden prescrito, donde a aparece en primer término y b, en segundo. En consecuencia, un par ordenado (o pareja ordenada) simplemente es una secuencia de longitud 2.

Matriz de una relación Si A y B son conjuntos finitos, con m y n elementos respectivamente, y si R es una relación de A en B es posible representar a R con una matriz de MR=[m i j] que se denomina Matriz de R donde m i j = 1 si (a i, b j)  R 0 si (a i, b j)  R A fila a i denota una fila i B columna b j denota una columna j

Ejemplos Si A={1,2,3}, B={r,s} y R={(1,r),(2,s),(3,r)} entonces La matriz de R es: Recíprocamente, dados los conjuntos A y B con |A| = m y |B|=n, entonces una matriz de m x n cuyos elementos sean ceros y unos determina una relación. Se puede denotar como: A={a1,a2,a3} y B={b1,b2,b3,b4} y (a i , b j)  R si y solo si m i j = 1. Por tanto la relación queda como sigue: R={(a1,b1),(a4,b4),(a1,b4),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b3)}

III.4. Representaciones de las relaciones Si A es un conjunto finito y R es una relación sobre A, también se puede representar R gráficamente como sigue. Trace un pequeño circulo para cada elemento de A y marque el círculo con el elemento correspondiente de A. A estos círculos se los llama vértices. Trace una flecha, a la que se llama lado (arco), del vértice a i al vértice a j si y solamente si a i R a j, La representación gráfica resultante de R se llama gráfica dirigida o dígrafo de R. En consecuencia, si R es una relación sobre A, los lados o arcos del dígrafo de R corresponden exactamente a los pares de R, y los vértices corresponden exactamente a los elementos del conjunto A.

Ejemplo Sean A={1,2,3,4} R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} Entonces el dígrafo de R es 2 1 3 4

Ejercicio: Encuentre la relación determinada por: 2 1 3 4

Ejercicios 1) Obtener el dominio, codominio y la Matriz de cada una de las siguientes relaciones: A={4,5,6,7}, B={r, s, t, u, v}; R={(4,u),(4,r),(5,r),(7,u),(5,v)} A={1,2,3,4}, B={1,4,6,8,9}; a R b si y solo si b=a2 A={1,2,3,4,5,8}=B; a R b si y solo si b=a+1 A={1,2,3,4,5,8}=B; a R b si y solo si a es múltiplo de b

Ejercicios 2) Encuentre la relación R en A determinada por la matriz, su dominio y codominio a) b)

III.5. Propiedades de las relaciones Propiedad reflexiva Propiedad Irreflexiva Propiedad simétrica Propiedad asimétrica Propiedad anti simétrica Relaciones transitivas Relaciones de equivalencia Relaciones de equivalencia y particiones Operaciones con las relaciones

Propiedad Irreflexiva Propiedad reflexiva Una relación R en un conjunto A es Reflexiva si ( a, a) R para toda a A, es decir a R a,  a  A Propiedad Irreflexiva Una relación R en un conjunto A es Irreflexiva si ( a, a) R para toda a A, es decir a R a,  a  A Ejemplos Sea la relación I={( a, a)|a  A} de modo que representa la igualdad en el conjunto A. Por tanto, I es Reflexiva ya que (a, a) I para toda a A Sea R={( a, b)A x A | a Kb} la relación de desigualdad en el conjunto A. R es Irreflexiva debido a que (a, a)  R para toda a  A.

Sea A={1,2,3} y R={(1,1),(1,2)} Esta relación no es reflexiva ya que (2,2)  R y (3,3)  R Tampoco es Irreflexiva ya que (1,1)  R

Ejercicios Obtener la matriz asociada a la relación reflexiva de igualdad sobre el conjunto A={1,2,3,4} Nota.- La matriz de una relación Reflexiva deberá tener “unos” en toda su diagonal. Obtener la matriz asociada a la relación Irreflexiva de desigualdad sobre el conjunto A={1,2,3,4} Nota.- La matriz de una relación Irreflexiva deberá tener ceros en toda su diagonal.

Propiedad simétrica Ejemplo Una relación R en un conjunto A es simétrica si se cumple que cuando a R b entonces también b R a Si a R b  b R a Ejemplo Sea A el conjunto de las personas y la relación P={(x, x)A x A| x es primo de y} Como se puede verificar P es una relación simétrica puesto que si “x es primo de y” entonces también y es primo de x” Una operación no simétrica padre en hijo, hijo K padre

Propiedad asimétrica Ejemplo: Una relación R en un conjunto A es Asimétrica si cumple que cuando a R b entonces b R a si a R b  b R a Ejemplo: Sea A ={1,2,3,4} y la relación R={( x, y) A x A | x>y} R={(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1)} Como se observa esta relación es asimétrica puesto que si x R y (x > y) entonces x R y (y > x)

Propiedad anti simétrica Una relación R en un conjunto A es anti simétrica si cumple que cuando a R b y b R a, entonces a=b Si a R b y b R a  b=a La contrapositiva es que Si b Ka  a R b o b R a Ejemplo Sea A=Z, el conjunto de los enteros y R={(x,y)AxA|x<y} como se puede comprobar R es Anti simétrica puesto que si x Ky y se cumple que x<y entonces y < x o en otro caso si y < x entonces x < y.

Ejercicios Qué propiedades cumplen las siguientes relaciones: A={1,2,3,4} y R={(1,2),(2,2),(3,4),(4,1)} A=Z+, conjunto de enteros positiva y R={(a,b)AxA|a divide b}

Relaciones transitivas Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si siempre que se tiene a R b y b R c, entonces a R c. Con frecuencia es conveniente explicar lo que significa para una relación ser no transitiva. Una relación R en A es no transitiva si existen a, b y c en A de manera que a R b y b R c, pero a R c. Si no existen tales a, b y c, entonces R es transitiva.

Relaciones de equivalencia Una relación R en un conjunto A se llama relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo: Sea A el conjunto de todos los triángulos del plano y sea R la relación sobre A definida como sigue: R={(a, b)A x A | a es congruente con b} Es fácil ver que R es una relación de equivalencia. Sea A={1,2,3,4} y sea R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)} Sea A=Z, el conjunto de enteros, y supóngase que se define R por a R b si y solo sí a  b. ¿Es R una relación de equivalencia? Puesto que a a, R es reflexiva. Si a b, no necesariamente se sigue que b a, por lo cual R no es simétrica. Incidentalmente R es transitiva, porque a b y b c implica que a c. Se ve que R no es una relación de equivalencia.

Recomendaciones Se apoyará en artículos relacionados con las unidades de estudio, los cuales serán proporcionados por el Maestro. Los motores de búsqueda recomendados son: Citeseer EbsHost IEEE

Referencias Matemáticas Discretas. 4ª. Ed. Johnsonbaugh. Prentice Hall Matemáticas Discretas. Kenneth A. Ross. Charles R. B. Wright. Prentice-Hall . Hispanoamerica. Introducción a la teoría de automatas, lenguajes y computación. John E. Hopcroft; Jeffrey D. Ullman. Ed. CECSA Fundamentos de lógica computacional. Juan Fausto Solís; Gildardo Sánchez Ante. Ed. Trillas Languages and machines. Thomas A. Sudkamp. Wright State University. Ed. Adisson Wesley. Álgebra moderna. Grupos-anillos-campos-teoría. I. N. Herstein. Trillas Conjuntos. Schaums, Discrete mathematical structures with applications to computer science. Tremblay and Manohar. Mc Graw Hill Estructuras de matemáticas discretas para la computación. Bernard Kolman, Robert C. Busby. Prentice Hall Hispanoamérica Introducción a la lógica simbólica. Jose Antonio Amaz. Trillas