Diferentes Formas Funcionales y Otras Cosas del Analisis de Regresion + Un poco de repaso

El significado de los coeficientes de regresión: E(Y| X 2, X 3 ) =  1 +  2 X 2 +  3 X 3  E(Y|X 2, X 3 ) X2X2 =  2 :  2 mide el cambio en el valor medio de Y, por un cambio de una unidad en X 2, manteniendo X 3 constante. oEl efecto ‘directo’ de un cambio en una unidad en X 2 sobre el valor medio de Y, neto de X 3. ??????  E(Y|X 2, X 3 ) X3X3 =  3

Y YY Y=E(Y|X 2,X 3 )+u =  1 +  2 X2 +  3 X3 + u uu ^

Tasa de inflacion actual(%) Y  E(Y|X 2,X 3 ) X2X2 =  2 = Y =  12 +  22 X 2 + u 2 Y =  13 +  23 X 3 + u 3 X3 X3 X2 X2 X3X3 =  3 = Tasa de inflacion esperada (%) Tasa de Paro(%) X 3 =  31 +  32 X 2 + u 23 X 2 =  21 +  23 X 3 + u 23 X3X3 X2X2 =  32 = Efecto directo de X2 Efecto indirecto via X3 Efecto directo de X3  E(Y|X 2,X 3 )

Efecto total de X 2 sobre E(Y|X 2,X 3 ):  2 +  3 *  32 = ( )( ) ‘directo’ + ‘indirecto’= =  E(Y|X 2 ) X2X2 = 22= 22 = X2X2 Y E(Y| X 2 )=  12 +  22 X 2

Y=E(Y|X 2 )+u 2 =  12 +  22 X2 + u 2

X 3 =  31 +  32 X 2 + u32’’

Efecto total de X 3 sobre E(Y|X 2, X 3 ):  3 +  2 *  23 = ( ) ( ) ‘directo’ + ‘indirecto’= =  E(Y|X 3 ) X3X3 = 23= 23 = X3X3 Y Y =  13 +  23 X 3 + u 3

X 2 =  21 +  23 X 3 + u 23

Y =  13 +  23 X3 + u 3

Ejemplo: Y = f ( X 2, X 3, u ) Produccion de outputinput trabajoinput capital Y = E(Y|X 2, X 3 ) + u =  1 +  2 X 2 +  3 X 3 + u Suponed que se puede controlar el input capital y queremos medir el impacto del input trabajo sobre el output. (X 2 ) Paso I : regresar Y sobre X 3 y obtener (regresión corta) Y =  13 +  23 X 3 + u 3 Y X3X3 X2X2 1 2 y u 3 = Y -  13 -  23 X 3 = Y – E(Y|X 3 )

Paso III : regresar u 1 sobre u 2 y obtener u 1 =  +  u2 + v mide el efecto directo del cambio en una unidad de X 2 sobre Y. (productividad marginal del trabajo) 2 2 = Paso II : regresar X 2 sobre X 3 y obtener X 2 =  21 +  23 X 3 + u 2 u 2 = X 2 -  21 -  23 X 3 = X 2 – E(X 2 |X 3 ) y obtener

EJEMPLOS DE MODELOS LINEALES Ejemplo 1: Capital Asset Pricing Model (CAPM) para la accion i’s  fm 2 fi rERr  Tasa esperada de rendimiento de la accion i Rendimiento de un activo libre de riesgo Tasa esperada de rendimiento de la cartera del mercado 2  Como medida del riesgo sistematico 2  >1 ==> una accion volatil o agresiva 2  una accion defensiva

Ejemplo 1:(cont.) fi rER  rfrf m  1 2  Linea de mercado para la accion i

Ejemplo 2:Paridad encubierta de los tipos de interes Los diferenciales internacionales en las tasas de interes deben ser iguales a la prima del tipo de cambio (forward). i.e.,  )( * e eF ii 2   N N f e eF ii    )( * 1 2  Linea de la paridad encubierta de los tipos de interes

en la regresion: Ejemplo 2:(Cont.) i21 u e eF ii    )()( *  Si la teoria de la paridad encubierta es cierta,    y    Todavia estamos en la etapa de entender a interpretar los coeficientes de una regresión. MUY PRONTO aprenderemos a contrastar diferentes hipótesis sobre los valores de los coeficientes; pero PRIMERO LO PRIMERO (First things First)

Formas Funcionales de la Regresion El termino lineal en un modelo de regresion simple significa que es lineal en los parametros; pero en las variables de la regresion puede ser lineal o no. Definición: Una función es lineal en alguno de sus argumentos si la primera derivada parcial de la función con respecto dicho argumento no contiene este argumento.

Y i =  1 +  2 X i + u i Ejemplos de Modelos Lineales Ejemplos de Modelos No-Lineales ln(Y i ) =  1 +  2 X i + u i Y i =  1 +  2 ln(X i ) + u i Y i =  1 +  2 X i + u i 2 33 Y i =  1 +  2 X i + exp(  3 X i ) + u i Y i =  1 +  2 X i + u i 33 Lineal vs. Nonlineal

Diferentes Formas Funcionales 1. Lineal 2. Log-Log 3. Semilog Lineal-Log Log-Lineal 4. Reciproca Presta Atencion a la pendiente y a la elasticidad de cada una de las formas

Formas Funcionales de los modelos de regresion 1. Modelo log-log : uiui eXY 1     Tomando Logs lo convertimos en lineal : i uXY  * * 2 * 1 *  i u X lnY  2 * 1  i u X Y  2  ==> 2 * 2  donde * * * ln   X dX Y dY Xd Yd dX dY Coef de elasticidad Este es un modelo no-lineal

Cantidad Demandada Y X precio 2 1     XY ln Y lnX XYln 21  Formas Funcionales de los modelos de regresion

2. Modelo Semi log: Formas Funcionales de los modelos de regresion Modelo Log-lineal o lineal-log: iii uXY  21 ln  iii uXY  21  o y  2  Cambio relativo en y Cambio absoluto en x YdX dY dX Y dY dX Yd1ln   2  Cambio absoluto en y Cambio relativo en x 1ln X dX dY Xd 

3. Transformacion reciproca o inversa i i i u X Y  ) 1 ( 21  Formas Funcionales de los modelos de regresion (cont) iii uXY  )( * 21  ==> donde i i X X 1 * 

Algunas caracteristicas del modelo reciproco X Y 1    0   Y 1  X 0 y 0 2  Y X 1  X Y 1    0 1  y 0 2 

Algunas caracteristicas del modelo reciproco (Cont.) Y 1  X 0 12 /  X Y 1 21  0 1  y 0 2 

Ejemplo 1: Sea XXXXY  transformando X 3 * = X 2 2 X 4 * = X 2 X 3 queda * 44 * XXXY  Ejemplo 2:      X Y transformando 3 * 2 1   X X * 221 XY  queda Sin embargo, X 2 * no se puede calcular porqueno se conoce.

Aplicaciones: 1. Funcion de Producion Cobb-Douglas: u eKLY 1    Transformando: uKLY uKLY   ln   ==> 2 ln  Ld Yd 3  Kd Yd : elasticidad del output c.r al trabajo : elasticidad del output c.r al capital 1 32  > < Informacion sobre los rendimientos de escala

2. modelo de regresion polinomial: Funcion de Costes Marginales o funcion de Costes Totales costs y MC i.e. coste y uXXY   (Cm) or coste y TC uXXXY   (CT)

Resumen Del modelo PendienteElasticidad )( dX dY  lineal XY 21  XYln 21  Log-log 2  dX dYX )( 2 Y  )( X dX Y dY  2 ln  X dX Y dY Xd Yd 2  )( 2 X Y dX dY  ==>

XY 21 ln  Log-lineal X 2  Resumen(Cont.) 2 ln  dX Y dY dX Yd Y dY 2  Lineal-log XYln 21  2  X dX dY Xd Y 1 2  XdX dY1 2  Reciproca X Y 1 21  2 2 ) 1 ( 1    dX X dY X d X2X2 dX dY 2  ) ( 2 XY  ==> PendienteElasticidad

MPNG  ^ (1.368)(39.20) Modelo Lineal

GNP = lnM 2 (-23.44)(27.48) ^ Modelo Lin-log

lnGNP = M 2 (100.38)(15.65) ^ Modelo Log-lin

2 ln lnMNPG  ^ (3.194)(42.29) Modelo Log-log

Wage(y) unemp.(x) RRM wage= (unemploy) (4.862)(-2.66) ^ Modelo Lineal

) 1 ( x y FRM uNuN u N : tasa natural de desempleo Wage = ) 1 ( x (-.0690)(3.063) ^ Modelo Reciproco

lnwage = ln(unemploy) (10.375)(-2.618) ^ Modelo Log-log

Lnwage = ln ) 1 ( X (10.37)(2.618) ^

X + u i Y 21  Escala y unidades de medida 2  : pendiente de la recta de regresion 2  = dXdX dYdY o X Y   siY * = 1000Y X * = 1000X entonces i uXY  ** 21 * uXY  ** ==>

Cambios en la escala de X e Y Y i /k = (  1 /k)+  2 X i /k + u i /k Y i =  1 +  2 X i + u i  1 =  1 /k * y Cambia el R 2 ?, cambian los coefficientes? Y i =  1 +  2 X * i + u * i * * X i = X i /k * * u i = u i /k Y i = Y i /k donde *

Cambio de escala de x Y i =  1 + (k  2 )(X i /k) + u i Y i =  1 +  2 X i + u i Y i =  1 +  2 X * i + u i *  2 = k  2 * X i = X i /k * donde y Cambia el R 2 ?, Cambian los coeficientes?

Cambio de escala de Y Y i /k = (  1 /k) + (  2 /k)X i + u i /k Y i =  1 +  2 X i + u i  1 =  1 /k * y Cambia el R 2 ?, cambian los coeficientes? Y i =  1 +  2 X i + u i * * * *  2 =  2 /k * * u i = u i /k Y i = Y i /k donde *