UNIDAD I.- Analisis 3.4 Prueba de Hipotesis

Hipótesis estadística Afirmación de lo que creemos sobre una población. Por lo general se refiere a los parámetros de la población acerca de la cual se quiere hacer la afirmación. Prueba de hipótesis Prueba, test o contraste de hipótesis es una técnica estadística que se sigue para decidir si rechazamos o no una hipótesis estadística en base a la información de una muestra.

PASOS PARA LA PRUEBA DE HIPOTESIS 1. Plantear las hipótesis Ho : μ1 - μ2 = 0 H1 : μ1 - μ2 ≠ 0 2. Establecer el nivel de significación α = 0.05 3. Aplicar el estadístico de prueba, previo comprobación de supuestos como la distribución de la población, igualdad de varianzas, etc. 4. Establecer regla de decisión 5. Sacar la conclusión

Para este fin se plantea: Plantear hipótesis Para este fin se plantea: Una hipótesis Nula (H0): Formulada con el único propósito de rechazarla o invalidarla, de la no diferencia, del no cambio, de que no es bueno, de la no asociación (independencia), etc. Una hipótesis alternativa (H1): Es la hipótesis que difiere de la hipótesis nula, si H0 plantea =, H1 planteará >, <, ò ≠

Contraste de hipótesis Planteadas H0 y H1 se procederá a contrastarlas pero para ello debe fijarse las reglas de decisión. Suponiendo que una hipótesis particular es cierta pero los resultados hallados en una muestra aleatoria difieren notablemente de lo esperado entonces diremos que las diferencias observadas son significativas y nos veremos inclinados a rechazar la hipótesis o al menos a no aceptarla pero cabe la posibilidad de equivocarnos.

Grado de confianza y nivel de significación Grado de confianza: Probabilidad de que no me equivoco al no rechazar Ho verdadero generalmente es de 95%, puede ser 90%, 99%, etc. Nivel de significación (α): Probabilidad de equivocarme y rechazar Ho cuando Ho es verdadero, generalmente se usa valor de 0.05, máximo 0.10 puede ser 0.01 ó menos en casos especiales.

Grado de potencia y β Grado de potencia o valor predictivo: Probabilidad de que no me equivoco al rechazar Ho falso generalmente es de 80%. β : Probabilidad de equivocarme al no al rechazar Ho que es falso generalmente se usa valor de 0.2

REGLAS DE DECISIÓN Contraste de una cola Grado de confianza = 0.05 área de rechazo de Ho Area de no rechazo de Ho Z t F x2 Grado de confianza Significación Estadísticos de prueba Grado de confianza : 90% 95% 99% z :1.28 1.645 2.33 Contraste de una cola

Grado de confianza Contraste de dos colas Estadísticos de prueba Significación - /2= 0.025 área de rechazo de Ho Área de no rechazo de Ho /2= 0.025 área de rechazo de Ho Z t F x2 Grado de confianza : 90% 95% 99% z/2 : 1.64 1.96 2.58 Estadísticos de prueba Contraste de dos colas

α ó nivel de significación REGLAS DE DECISIÓN Grado de potencia 0.8 ó 80% Grado de confianza 0.95 ó 95% β 0.2 o 20% α ó nivel de significación 0.05 ó 5% Zonas de error

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA MEDIA DE UNA SOLA POBLACION Ho : μ1 = 30 H1 : μ1 ≠ 30 Supuesto distribución normal varianza poblacional conocida desconocida Puede darse Ho : μ1  30 ó Ho : μ1  30

COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS INDEPENDIENTES Ho : μ1 - μ2 = 0 H1 : μ1 - μ2 ≠ 0 En la práctica el valor de varianzas poblacionales se desconoce y las varianzas muéstrales siempre tienen pequeñas diferencias por ello se saca la varianza mancomunada.

EJEMPLO 1 PRUEBA DE UNA SOLA MUESTRA CON RESPECTO A UNA SOLA MEDIA (VARIANZA CONOCIDA) Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que µ≠800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04. Datos H0: µ1=800 H1: µ2=788 σ=40 horas X=788 Significancia=0.04

Solución Con la resolución del ejercicio se llega a la conclusión de que la duración media de los focos si corresponde a 800 horas por lo que la hipótesis nula es aceptada. Zona de aceptacion Zona de Rechazo Zona de Rechazo z=-1.75 z=1.75 z=-1.64

Ejemplo Se lleva a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivo de dos diferentes materiales laminados. Se prueban 12 piezas del material 1 mediante la exposición de cada pieza a una maquina para medir el desgaste. 10 piezas del material 2 se prueban de manera similar. En cada caso, se mide la profundidad del desgaste. Las muestras del material 1 dan un desgaste promedio de 85 unidades con una desviación estándar muestral de 4, mientras que las muestras del material 2 dan un promedio de 81, desviación estándar muestral de 5. ¿Podemos concluir con un nivel de significancia del 0.05 que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en 2 unidades?

Solución: Representemos con µ₁ y µ₂ las medias poblacionales del desgaste abrasivo para el material 1 y 2, respectivamente. H₀: µ₁ - µ₂ = 2 H₁: µ₁ - µ₂ ≠ 2 α = 0.05 Región critica: con v= 20 grados de libertad t > 1.725 Las regiones criticas unilaterales rechaza a H₀: µ₁ - µ₂ = d₀ cuando t > tαn₁+n₂-2

Cálculos: De aquí: = 1.04 = 4.478, P = P(T>1.04) ≈ 0.16 Decisión: No rechazar H₀. Somos incapaces de concluir que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en mas de dos unidades

Prueba de bondad y ajuste Los valores que se adjunta corresponden a la fabricación de un producto realizada en tres días sucesivos. La especificación para ese producto es de 50000 ± 6000 milílitros. Pruebe con un nivel de confianza de 0,01que los datos siguen un comportamiento con base en una distribución normal. Ho: La distribución normal con un α de 0,01es una buena descripción del proceso de fabricación del producto X. H1: La distribución normal con un α de 0,01 no es una buena descripción del proceso de fabricación del producto X.

A=Punto medio de la clase que contiene a la media supuesta (d=0) D=Desviacion del punto medio con respecto a la posición de la media supuesta, es medida en unidades de intervalo de clase. i= amplitud o intervalo de clase nk = número de clases x = valores de la variable en estudio n = tamaño de la muestra

Frecuencia Esperada Probabilidad esperada

Frecuencia observada Frecuencia esperada Fo-Fe (Fo-Fe)^2 (Fo-Fe)^2/Fe 21 22.92 -1.92 3.69 0.16 58 72.84 -14.84 220.23 3.02 139 110.61 28.39 805.99 7.29 66 71.55 -5.55 30.80 0.43 16 21.96 -5.96 35.52 1.62 X² 12.52 Valor de X² cuando v=4 X²=13.277 Como conclusión podemos determinar que la distribución normal con un α de 0,01es una buena descripción del proceso de fabricación del producto X. Por lo que la hipótesis es aceptada.

Una muestra: Prueba Sobre una Sola Proporción Las pruebas de hipótesis que se relacionan con proporciones son muy utilizadas en muchas áreas. El político se interesa en conocer que fracción de votantes lo favorecerá en la siguiente elección. Todas las empresas fabricantes se preocupan por la proporción de artículos defectuosos cuando se realiza un embarque. Consideremos el problema de probar la hipótesis de que la proporción de éxitos en un experimento binomial es igual a algún valor especifico. Es decir, probaremos la hipótesis nula H0, que p = p0 donde p es el parámetro de la distribución binomial. La hipótesis alternativa puede ser una de las alternativas bilaterales usuales: H0: p=p0 H1: p<p0

Una muestra: Prueba Sobre una Sola Proporción Utilizamos la distribución binomial para calcular el valor p P=P(X≤x) cuando p=p0\ El valor x es el numero de éxitos en nuestra muestra de tamaño n. si este valor P es menor que o igual a α, nuestra prueba es significativa en el nivel α y rechazamos H0 a favor de H1. De manera similar, para probar la hipótesis H0: p=p0 H1: p>p0

En el nivel de significancia α, P=P(X≥x) Cuando p=p0 Y rechazamos H0 a favor de H1 si este valor P es menor que o igual a α. Finalmente, para probar la hipótesis.\ H0: p=p0 H1: p≠p0 al nivel de significancia α, calculamos P= 2P(X ≤ x cuando p=p0) si x < np0, o P= 2P(X ≥ x cuando p=p0)\ Si x> np0 y se rechaza H0 a favor de H1 si el valor P calculado es menor o igual a α.

Los pasos para probar una hipótesis nula, contra varias alternativas: H0: p=p0 H1: las alternativas son p < p0 ,p > p0, o p≠p0 Elegir un nivel de significancia igual a α Estadística de prueba: variable binomial X con p=p0 Cálculos: Encontrar x, el numero de éxitos, y calcular el valor P apropiado. Decisión: Extraer las conclusiones apropiadas basadas en el valor P.

Los pasos para probar una hipótesis nula, contra varias alternativas: Donde Donde las combinaciones de n en x

Ejemplo Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? utilice un nivel de significancia de 0.10

Solución H0: p=0.7 H1: p=0.7 α= 0.10 Estadística de prueba: Variable binomial X con p= 0.7 y n= 15 Cálculos x=8 y np0=(15)(0.7)=10.5. por tanto, de la tabla A.1, el valor P calculado es P= 2P(X ≤ 8 cuando p=0.7)= 0.1622>0.10 Por lo tanto no se pude rechazar H0, por lo que concluimos que no ha razón suficiente para dudar de la afirmación del constructor.

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