@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DERIVADAS U.D. 10 * 1º BCS
@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD U.D * 1º BCS
@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD x=2 Sea la función: x, si x < 2 f(x) = - x + 4, si x ≥ 2 Veamos si es continua en x=2 1)f (2) = = 2 2)Lím f(x) = 2 x 2- Lím f(x) = = 2 x 2+ 3)f (2) = lím f(x) 2 = 2 x 2 La función es continua en x=2 La función es continua en x=2, pero.. ¿Tiene derivada en x=2, es derivable en x=2?. f(x)=x f(x)= -x + 4
@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Calculemos la derivada de la función en x=2 f (2 + h) - f(2) f ’ (x) = lím h 0 h A la izquierda del 2: 2 + h - 2 h f ’ (2-) = lím = ---- = 1 h 0 h h A la derecha del 2: h – 4 - h f ’ (2+) = lím = = - 1 h 0 h h Los límites NO coinciden La función NO es derivable en x= 2, aunque hemos visto que es continua en x=2 Una función NO tiene derivada en los puntos angulosos. x=2 f(x)=x f(x)= -x + 4
@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 x=1 OTRO EJEMPLO Sea la función: x 2, si x < 1 f(x) = 2x – 1, si x ≥ 1 Veamos si es continua en x=1 1)f (1) = 2.1 – 1 = 1 2)Lím f(x) = 1 2 = 1 x 1- Lím f(x) = 2.1 – 1 = 1 x 1+ Lím f(x) = 1 x 1 3)f (1) = lím f(x) 1 = 1 x 1 La función es continua en x=1 La función es continua en x=1, pero.. ¿Tiene derivada en x=1, es derivable en x=1?. f(x)=x 2 f(x)= 2.x – 1
@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Calculemos la derivada de la función en x=1 f (1 + h) - f(1) f ’ (1) = lím h 0 h A la izquierda del 1: (1 + h) h + h h + h 2 f ’ (1-) = lím = = = 2 + h = 2 h 0 h h h A la derecha del 1: 2(1 + h) – 1 – (2.1 – 1) 2h f ’ (1+) = lím = = 2 h 0 h h Los límites coinciden La función es derivable en x= 1. Una función NO tiene derivada en los puntos angulosos.