Nociones Inclusión Igualdad

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1 Nociones Inclusión Igualdad
Conjuntos Nociones Inclusión Igualdad

2 Conjuntos Noción Un conjunto es una agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados, en un universo. Los objetos que conforman el conjunto se denominan elementos del conjunto. Bien definido significa que dado cualquier objeto del universo, es posible determinar, sin lugar a dudas, si está en el conjunto o no. No ordenados se refiere a que no es relevante el orden en que aparecen listados los La pertenencia de un elemento al conjunto se denota con el símbolo . Y se lee “pertenece a”. x  A, significa que “x pertenece a A” o “x es un elemento de A”.

3 ¿Serán conjuntos? Los hombres Las mujeres fotógrafas Algunas fotos de Caracas Los números enteros Los números enteros pares Los números racionales pares Existen varias formas de definir un conjunto: POR EXTENSIÓN: Mediante la enumeración de los elementos del conjunto, cuando esto sea posible. POR COMPRENSIÓN: Mediante una propiedad que cumplen los elementos del conjunto.

4 A = { x entero positivo / x es par y menor que 22}
Al conjunto se le denota con una letra mayúscula y a los elementos con letras minúsculas. Ya sea que se defina, por extensión o por comprensión, se encierra entre llaves a los elementos del conjunto. A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} A = { 2, 4, 6, …, 18, 20} A = { x entero positivo / x es par y menor que 22} Representación gráfica x A x  A

5 ¿Qué diferencias hay entre unos y otros?
En los siguientes conjuntos puedes observar diferencias en la forma de definirlos, en el tamaño de cada uno, en los distintos “grados de infinitud”. A = 1, 2, 4, 6, 8  A pero 0  A B = x es entero/ x2  24  B C = x es entero/ x es par  C D = x es real/ |x|  2 /2  D ¿Qué diferencias hay entre unos y otros? Algunos están definidos por extensión y otros por comprensión. Algunos son finitos y otros infinitos. De los que son infinitos algunos son numerables y otros son no numerables ...

6 Cardinalidad de un conjunto finito Dado un conjunto finito A, su cardinalidad es el número de elementos de A y se denota por |A|. Ejercicio: Determina la cardinalidad de los conjuntos si es posible. A = 1, 2, 4, 6, 8 B = x es entero/ x2  24 C = x es entero/ x es par D = x es real/ |x|  2 |A| = 5 |B| = 9 C no es finito, es infinito y numerable, no es acotado. D es infinito, no es numerable, aunque es acotado.

7 Subconjuntos Sean A, D conjuntos en el universo U. A es subconjunto de D si todo elemento de A está en D. Lo Denotamos por A  D. Simbólicamente, A  D  x [ x  A  x  D] Si A es subconjunto de D pero existe algún elemento de D, que no está en A se dice que A es subconjunto propio de D (D es “más grande que” A) y se denota por A  D. Una representación gráfica de A  D es U Cuando A y D son finitos y A  D entonces |A|  |D| D A

8 a) x  x b) x  x , x c) x  x , x d) x  x , x
Decide cuáles de las proposiciones son verdaderas y cuáles falsas. Luego, justifica tus respuestas. a) x  x b) x  x , x c) x  x , x d) x  x , x Si A=  1, 2, 2, 3 e) 1  A f) 2  A g) 3  A h)  2   A i) 1, 2   A j) 1, 3   A

9 Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales, y lo denotamos por A=B si cada uno es subconjunto del otro; simbólicamente: A=B  A  B  B  A A={1, 2, 3, 4 } y B ={x/ x es entero positivo y x2  20} A  B. B  A. Por tanto A = B

10 Conjunto Vacío El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota por  o por { }. No es correcto denotar al conjunto vacío por {}. De hecho, este último es un conjunto que tiene un elemento. Ejemplo: A = {x es entero / 20 < x < 21 } Claramente: A =  Propiedad importante A [  A]