Factorización (productos notables)

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1 1.3.3.- Factorización (productos notables)
Por factorizar una expresión algebraica se entiende escribirla como un producto de varios términos. Sacar factor común: ax ± bx = (a±b) x Diferencia de cuadrados: a² - b² = (a+b)(a-b) Factorizar un trinomio: x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) Trinomio cuadrado perfecto: a² ± 2ab + b² = (a ± b)² Cubo perfecto: a³± 3a² b ± 3ab² ± b³ = (a ± b)³ aⁿ - bⁿ = (a-b)(aⁿ¯¹ b°+aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b²+….+a²bⁿ¯³+a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹) aⁿ+bⁿ = (a+b)(aⁿ¯¹ b°- aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b² -….+a²bⁿ¯³-a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹) (2a - 3b) ² - (c+d)²= [(2a -3b) + (c+d)] [(2a - 3b)-(c+d)]= (2a – 3b+c+d)(2a - 3b – c - d). x⁶ + y⁶ = (x²)³ + (y²)³ = (x²+y²)((x²)² (y²)⁰ - (x²)¹(y²)¹ + (x²)⁰(y²)²) = (x²+y²)(x⁴ - x²y² + y⁴).

2 Teorema del residuo Si P(x) es un polinomio de grado n y r es una raíz (es decir P(r)= 0) entonces P(x) = (x-r)Q(x) Sea P(x) = x³-6x²+11x-6; sea x=1 una raiz; P(1)= 1³-(6)(1)²+(11)(1)-6= =0, luego P(x) es divisible entre (x-1). Haciendo la división (X³-6x²+11x-6)/(x-1) obtenemos como resultado x²-5x+6 Por lo tanto, el polinomio x³-6x²+11x-6 se puede factorizar como (x-1)(x²-5x+6), es decir x³-6x²+11x-6 = (x-1)(x²-5x+6).

3 1.4.- Orden de los números ℝ Cualquier expresión que contenga uno de los cuatro símbolos >, <, ≥, ≤ se llama desigualdad. Un número a que pertenece a los ℝ es positivo si esta a la derecha del cero y negativo si esta a la izquierda, esto se denota así: a>0 o bien o<a y a<0 o bien 0>a, respectivamente. a>0  -a < 0 Si a>b y c<0 => ac<bc Si a>b y c>d => a+c>b+d Si a>b y b>c => a>c Si a≠0 => a²>0 a² +1 > 0 para todo a en los ℝ Si a < 0 => aⁿ > 0 si n es par. Si a < 0 => aⁿ < 0 si n es impar.

4 Si 0<a<b => 0<aⁿ<bⁿ
aⁿ>bⁿ> si n es par Si a<b<0 => { aⁿ<bⁿ< si n es impar Si 0<a<b => 0<ⁿ√a<ⁿ√b para n un ℕ Si a<b<0 => ⁿ√a<ⁿ√b< si n Є ℕ impar Si ab>0 y a>0 => b>0 Si a>0 => a¯¹ >0, Si a<0 => a¯¹<0 Si a>0 y b>0 => a/b>0 m/n ≤ p/q <=> mq≤np

5 Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos de cualquier tipo y a dichos objetos se les denomina elementos del conjunto. En nuestro caso todos los elementos serán ℝ. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C D,……etc., y a sus elementos por letras minúsculas a, b, c, d,…. etc. x є A = x es elemento (pertenece a) de A x ∉ A = x no es elemento (no pertenece a) de A Un conjunto puede ser expresado por extensión A = {-1, 0, 1….}, por comprensión: A = {todos los x tales que x³ = x} que también se puede expresar simbólicamente A = {x|x³ = x} lo cual se lee A es el conjunto de los elementos x tales que x³ = x.

6 Un conjunto no se modifica si se cambia el orden de sus elementos.
Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota con el símbolo Ø. Si A y B son dos conjuntos, y sucede que todo elemento de A es también elemento de B, se dice que A es un subconjunto de B o bien que A está contenido en B y se escribe A ⊂ B Cuando A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B El conjunto A es un subconjunto propio de B si A ⊂ B y además B ⊄ A Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos y se escribe A = B

7 Operaciones con conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos. Esto es A ⋃ B = { x | x є A o bien x є B} La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez. Esto es A ⋂ B = { x | x є A y x є B} La diferencia de dos conjuntos A menos B se define como el conjunto de todos los elementos que están en A y que no están en B. Esto es A – B = { x | x є A y x ∉ B} Dos conjuntos A y B son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, esto es A ⋂ B = Ø Si A es un conjunto y Ø el conjunto vacío, entonces A ⋃ Ø = A y A ⋂ Ø = Ø Si A y B son conjuntos tales que A ⊂ B, entonces A ⋃ B = B y A ⋂ B = A

8 Igualdades El símbolo (=) se lee “es igual a” y divide a la expresión (igualdad) en dos partes llamadas miembros: lo que esta antes del signo igual es el primer miembro y lo que esta después se llama segundo miembro. A su vez, si una igualdad en la que aparecen números y letras es cierta para cualquier valor de las letras, decimos que se trata de una identidad; en caso contrario decimos que se trata de una ecuación. El símbolo ≠ se lee “no es igual a” o bien “es diferente de”. En cualquier igualdad se pueden intercambiar los miembros, esto es: a=b => b=a Dos números iguales a un tercero son iguales entre sí: a=b y b=c => a=c

9 1.5.- Intervalos Abierto: (a,b) = {xєℝ|a<x<b} = {xєℝ|x>a y x<b} Cerrado: [a,b] = {xєℝ|a≤x≤b} = {xєℝ|x≥a y x≤b} Semiabiertos o semicerrados Semi abierto por la derecha [a,b) = {xєℝ |a≤x<b} = {xєℝ|x≥a y x<b} Semi abierto por la izquierda (a,b] = {xєℝ|a<x≤b} = {xєℝ|x>a y x≤b} Infinitos (a,∞) = { xєℝ | x>a }, [a,∞) = { xєℝ | x≥a } (-∞,a) = { xєℝ | x<a } , (-∞,a] = { xєℝ | a≤x }

10 Debido a que los intervalos son conjuntos (de números) podemos realizar con ellos las operaciones que se efectúan con cualquier par de conjuntos. Por ejemplo: la unión, la intersección y la diferencia. Si A y B son dos intervalos cualesquiera, entonces Unión de A ⋃ B = { xєℝ | xєA o bien xєB} Intersección de A ⋂ B = { xєℝ | xєA y xєB} Diferencia de A y B = { xєℝ | xєA y x no pertenece a B} Sea A = (-5,4) y B = [-3,8]. La diferencia A-B será (-5, -3) Si A es un intervalo cualesquiera, entonces: A ⋃ Ø = A A ⋂ Ø = Ø A ⋃ ℝ = ℝ A ⋂ ℝ = A ******

11 1.6.- Valor absoluto Sobre la recta numérica, la distancia de un número a al origen, que se denota mediante d(a,0), se conoce como valor absoluto y se expresa de la siguiente manera: d(a,0) = |a|. Propiedades: -a si a < 0 |a| = { a si a > 0 |a| ≥ 0, |a| = 0  a = 0, √(a)² = a, |a| = |-a| - |a| ≤ a ≤ |a|, |a∙b| = |a| ∙ |b|, |a|ⁿ = |aⁿ| para n є ℤ |a/b| = |a|/|b| con b ≠ 0, |a+b| ≤ |a| + |b| desigualdad del triángulo |a-b| ≤ |a| + |b| , |a-b| ≥ |a| - |b| Corolarios de la des. del T

12 Demostraciones 1.- |a-b| = |a+(-b)| ≤ |a|+|-b| Por la des. del triángulo => |a-b| ≤ |a|+|b| Por def. de valor absoluto 2.- |a| = |a-b+b| = |(a-b) + b| ≤ |a-b| + |b| Por la desigualdad del triángulo ⇒|a| - |b| ≤ |a-b|+|b| - |b| Restando |b| en ambos lados ⇒|a| - |b| ≤ |a-b| ⇒ |a-b| ≥ |a| - |b| Para la clase: Si |a| ≤ c y |b| ≤ d => |a+b| ≤ c + d

13 Distancia entre dos puntos
Definimos la distancia entre dos puntos a y b como: d(a,b) = |a-b| Propiedades de la distancia d(a,0) = |a-0| = |a|, d(a,a) = 0, d(a,b) ≥ 0 d(a,b) = d(b,a), Desigualdad del tríangulo en notación de distancia d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)

14 Si el número x es igual a M o bien a –M, entonces, la distancia de x al origen es M.
|x|= M  x = ± M El conjunto de números cuya distancia al origen es menor que M consta de aquellos puntos x que están a la derecha de –M y a la izquierda de M. d(x,0) < M  |x|<M  -M < x < M xє(-M,M) *** El conjunto de números x cuya distancia al origen es mayor que M consta de aquellos puntos que están a la izquierda de –M o bien a la derecha de M. d(x,0) > M  |x| > M  x < -M o bien x > M  x є (-∞,-M) ⋃ (M, ∞)

15 Los puntos cuya distancia a b es menor que M son aquellos que están a la derecha de b-M y a la izquierda de b+M. d(x,b) < M  |x-b|< M  -M < x-b < M  b-M < x < b+M  x є (b-M, b+M) Los puntos cuya distancia a b es mayor que M son aquellos que están a la izquierda de b-M o a la derecha de b+M d(x,b) > M  |x-b|> M  x-b < -M o bien x-b > M  x < b-M o bien x > b+M  x є (-∞, b-M) ⋃ (b+M, ∞)

16 1.7.- Resolución de desigualdades
Resolver una desigualdad con una incógnita (x) significa hallar los ℝ tales que la desigualdad se cumple. Llamaremos conjunto solución al conjunto de tales x. Para resolver una desigualdad son útiles las siguientes propiedades: 1.- Para pasar un término de un miembro al otro, se le cambia de signo, es decir, si es + pasa al otro miembro con – y viceversa. a+b ≥ c  a ≥ c-b Se puede pasar un factor diferente de 0 de un miembro al otro poniéndolo como divisor y viceversa, tomando en consideración lo siguiente: A) Si el factor es + el sentido de la desigualdad se mantiene a∙b ≥ c y b > 0  a ≥ c/b y b > 0

17 Desigualdades del tipo ax+b ≥ 0 con a ≠ 0 y b є ℝ
2.- Si el factor es negativo el sentido de la desigualdad se invierte a∙b ≥ c y b < 0  a ≤ c/b y b < 0 Desigualdades del tipo ax+b ≥ 0 con a ≠ 0 y b є ℝ ax+b ≥ 0 => ax ≥ 0-b  ax ≥ - b, tenemos dos casos: Si a>0 entonces x ≥ -b/a, Conj. Solución = [-b/a, ∞) Si a<0 entonces x ≤ -b/a, CS = (-∞, -b/a] Geométricamente resolver la desigualdad ax+b ≥ 0 con a≠0 significa hallar las x tales que la recta y=ax+b corta a la recta y=0 o bien esta situada por encima de ella. Ejemplo: Resolver la desigualdad 2x-5 ≥ 0 2x-5 ≥ 0  2x ≥ 0+5  2x ≥ 5, como 2 > 0, entonces 2x ≥ 5  x ≥ 5/2, el CS = [5/2,∞)

18 Resolver la desigualdad ¾ x + 2/5 < 0
¾ x + 2/5 < 0  ¾ x < 0 – 2/5  3/4x < -2/5, Como ¾ > 0, entonces ¾ x < -2/5  x < -(2/5)(4/3)  x < -8/15, CS = (-∞, -8/15) Desigualdades del tipo ax + b ≥ cx + d Resolver este tipo de desigualdades significa hallar otra desigualdad equivalente, esto es, que tenga el mismo conjunto solución, pero donde x aparezca solo en uno de los miembros. ax + b ≥ cx + d  ax-cx ≥ d-b  (a-c)x ≥ d-b Nuevamente tenemos dos casos: Si a-c > 0, entonces x ≥ (d-b)/(a-c), CS = [(d-b)/(a-c), ∞) Si a-c < 0, entonces x ≤ (d-b)/(a-c), CS = (-∞, (d-b)/(a-c)]

19 Resolver la desigualdad 5/4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2.
Geométricamente resolver la desigualdad ax + b ≥ cx + d significa hallar las x tales que la recta y = ax + b corta a la recta y = cx + d o bien está por encima de ella. Resolver la desigualdad /4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2. 5/4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2  5/4 x - 8/3 x > 2/3 – 3/2 -17/12 x > -5/6  x < 10/17, CS = (-∞, 10/17]. Desigualdades del tipo a₁x + b₁ ≥ a₂x + b₂ ≥ a₃x + b₃ Geométricamente, resolver este tipo de desigualdades significa hallar las x tales que la recta y = a₂x + b₂ se encuentra entre las rectas y = a₁x + b₁ y y = a₃x + b₃.

20 Resolver la desigualdad 18-5x > 2x + 3 ≥ 4-3x.
18-5x > 2x y x + 3 ≥ 4-3x Resolviendo la primera desigualdad 18-5x > 2x  -5x -2x >  -7x > -15  x < 15/  CS₁ = (-∞, 15/7) Resolviendo la segunda desigualdad 2x + 3 ≥ 4-3x  x + 3x ≥  5x ≥ 1  x ≥ 1/  CS₂ = [1/5, ∞) El conjunto solución de la doble desigualdad es: CS = CS₁ ⋂ CS₂ = (-∞, 15/7) ⋂ [1/5, ∞) = [1/5, 15/7)

21 Desigualdades del tipo | ax + b| ≤ M con M>0
Por la definición tenemos que –M ≤ ax + b ≤ M y se cumple cuando ax + b ≥ -M y ax + b ≤ M Resolver la desigualdad |3x – 5| ≤ 4 3x – 5 ≥ y x – 5 ≤ 4  3x ≥ y x ≤ 4 + 5  x ≥ 1/ y x ≤ 3  CS₁ = [1/3, ∞) y CS₂ = (-∞, 3] CS = CS₁ ⋂ CS₂ = [1/3, ∞) ⋂ (-∞, 3] = [1/3, 3]. Es posible usar otro método: -4 ≤ 3x-5 ≤ 4  ≤ 3x ≤  1 ≤ 3x ≤ 9  1 (1/3) ≤ (1/3) 3x ≤ (1/3)  /3 ≤ x ≤ 3 Por lo que el CS = [1/3, 3]

22 Desigualdades del tipo |ax + b| ≥ M con M >0
Resolver la desigualdad | 5/3 x + ¾ | > 2/5 Esta desigualdad se cumple cuando 5/3 x + ¾ < -2/5 o bien cuando /3 x + ¾ > 2/5 Resolviendo la primera ecuación 5/3 x + ¾ < -2/  5/3 x < - 2/5 - 3/4  5/3 x < - 23/20  x < -23/20 (3/5)  x < -69/  CS₁ = (-∞, -69/100) Resolviendo la segunda desigualdad 5/3 x + ¾ > 2/5  5/3 x > 2/5 – ¾  5/3 x > -7/  x > 3/5 (-7/20)  x > -21/  CS₂ = (-21/100, ∞) CS = CS₁ ∪ CS₂ = (-∞, -69/100) ∪ (-21/100, ∞) = ℝ - [-69/100, -21/100].

23 Desigualdades del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ 0
Resolver la desigualdad: (3x+4)/(2x-5) ≥ ***** Puede suceder que x -5 > o que x – 5 < 0. Si 2x-5 > entonces x+4 ≥ 0, así que 2x-5 > y 3x + 4 ≥  2x > y x ≥ -4  x > 5/2 y x ≥ -4/  x є (5/2, ∞) y x є [-4/3, ∞)  x є [-4/3, ∞) ⋂ (5/2, ∞) = (5/2, ∞) => CS₁ = (5/2, ∞) Si 2x - 5 < 0, entonces 2x – 5 < 0 y 3x + 4 ≤ 0  2x < y x ≤ -4  x < 5/2 y x ≤ -4/3  x є (-∞, 5/2) y x є (-∞, -4/3]  x є (-∞, 5/2) ⋂ (-∞, -4/3] = (-∞, -4/3] => CS₂ = (-∞, -4/3] . Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es CS = CS₁ ⋃ CS₂ = (5/2, ∞) ⋃ (-∞, -4/3] = ℝ – (-4/3, 5/2).

24 Desigualdades del tipo (ax + b)/(cx + d)≥k
Resolver la desigualdad (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 Tenemos dos casos: Si 4x-5 < 0 entonces (la desigualdad se invierte) (2x+3)/(4x-5) ≥ -6  [(2x+3)/(4x-5) ]∙ (4x-5) ≤ -6 (4x-5)  2x+3 ≤ -24x  x+24x ≤ 30 -3  26 x ≤ 27  x ≤ 27/26 Pero 4x – 5 < 0  4x < 5  x < 5/4. Se debe cumplir entonces que x < 5/ y x ≤ 27/26. Ambas desigualdades se cumplen cuando x ≤ 27/26 Por lo tanto el CS₁ = (-∞, 27/26].

25 Si 4x -5 es > 0 entonces (la desigualdad no cambia de sentido)
(2x+3)/(4x-5) ≥ -6  [(2x+3)/(4x-5)]∙ (4x-5) ≥ -6(4x-5)  2x+3 ≥ -24x  x+24x ≥ 30-3  26 x ≥  x ≥ 27/26 Pero 4x-5 > 0  4x > 5  x > 5/4. Se debe cumplir que x > 5/ y x ≥ 27/26. Ambas desigualdades se cumplen cuando x > 5/4. Se tiene en este caso CS₂ = (5/4, ∞) Finalmente CS = CS₁ ⋃ CS₂ = (-∞, 27/26] ⋃ (5/4, ∞) = ℝ – (27/26, 5/4]

26 Otras desigualdades Desigualdades de la forma |(2x+3)/(4x-5)| ≤ 6
Esta desigualdad no es del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ k pero se puede reducir a resolver dos desigualdades de este tipo usando las propiedades de valor absoluto. |(2x+3)/(4x-5)| ≤  ≤ (2x+3)/(4x-5) ≤ 6  -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 El CS de la desigualdad original será la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades (2x+3)/(4x-5) ≥ (1) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 (2) (para hallar el CS ver transparencia anterior) CS₁ = (-∞, 27/26] ⋃ (5/4, ∞) = ℝ – (27/26, 5/4] CS₂ = (-∞, 5/4) ⋃ [3/2, ∞) = ℝ – [5/4, 3/2). Finalmente realizamos la intersección de CS₁ y CS₂ CS= CS₁ ⋂ CS₂ = ℝ – (27/26, 5/4] ⋂ ℝ – [5/4, 3/2) = ℝ – (27/26, 3/2)

27 Cómo graficar la función ax²+bx+c
La función representa una curva llamada parábola. Si a>0 entonces sus ramas se abren hacia arriba (Concavidad hacia arriba) y si a<0 entonces se abren hacia abajo (Concavidad hacia abajo). El vértice de la parábola es el punto mas bajo de la curva si ésta se abre hacia arriba y es el punto mas alto si se abre hacia abajo. Para hallarlos se usa el método de completar un cuadrado. Ejemplo: Halle el máximo o mínimo de la función y = 2x²-4x+10 = 2[(x²-2x)+5] = 2[(x²-2x+1)+5-1] = 2[(x-1)²+4]. Como a>0 entonces las ramas se abren hacia arriba y por lo tanto lo que buscaremos será un mínimo. Si la primera expresión dentro de los corchetes no es cero entonces es positiva. Por consiguiente, el valor de y crece según el valor numérico de x-1 y el valor de y será mínimo cuando esta expresión sea cero, esto es, cuando x=1. Por tanto el valor mínimo de y es y = 2[(1-1)²+ 4] = 8 Los ceros de una función de segundo grado son las abscisas de los puntos en donde la gráfica cruza el eje de las x, es decir cuando y = 0. Como se pueden hallar?

28 Breviario cultural ax² + bx + c = 0 x=-b/2a ± [√b²-4(a)(c)]/2a Sea r= =-b/2a + √b²-4(a)(c)/2a y s = -b/2a - √b²-4(a)(c)/2a r + s = -b/a y rs = c/a => b=-a(r+s) y c = ars. Por otro lado ax²+bx+c = ax²- a(r+s)x + ars = a[x²-(r+s)x+rs]= a(x-r)(x-s) Este método es apropiado cuando los coeficientes son números grandes.

29 Desigualdades de la forma ax²+bx+c ≥ 0 con a ≠ 0
Resolver la desigualdad 2x²+x-6 ≥ 0 Primero hallamos las raíces de la ecuación 2x²+x-6=0 x=-1/4 ± √1²-4(2)(-6)/4= (-1±7)/4 x₁ = 3/2 x₂ = -2, con las raíces factorizamos el trinomio 2x²+x-6 = 2 (x-3/2)[x-(-2)] = 2(x-3/2)(x+2). Luego resolvemos la desigualdad 2x²+x-6 ≥ 0  2(x-3/2)(x+2) ≥ 0  (x-3/2)(x+2) ≥ 0  x-3/2 ≤ 0 y x+2 ≤ 0 o bien x-3/2 ≥ y x+2 ≥0  x ≤ 3/2 y x ≤ o bien x ≥ 3/ y x ≥ -2  x є (-∞, 3/2] y x є (-∞, -2] o bien x є [3/2, ∞) y x є [-2,∞)  x є (-∞, 3/2] ⋂ (-∞,-2] o bien x є [3/2,∞) ⋂ [-2,∞) => x є (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞). Por lo tanto, el conjunto sol. de la desigualdad es CS = (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞) = ℝ – (-2, 3/2)

30 Desigualdades de la forma a₁x²+b₁x+c₁≥a₂x²+b₂x+c₂ con a₁ ≠ a₂
a₁x²+b₁x+c₁ ≥ a₂x²+b₂x+c₂ => a₁x²+b₁x+c₁-(a₂x²+b₂x+c₂) ≥ o => (a₁-a₂) x² + (b₁-b₂)x + (c₁-c₂) ≥ 0 Esta es una desigualdad del tipo anterior y por lo tanto se resuelve de la misma manera. Ejemplo, resolver la siguiente desigualdad: 3x²-4x+5 ≤ 9x-3x²+10 3x²-4x+5 ≤ 9x-3x²+10  3x²-4x+5-(9x-3x²+10) ≤ 0  6x²-13x-5 ≤ Resolviendo la ecuación 6x²-13x-5 = 0 como antes, obtenemos las raíces x₁ = 5/2 y x₂ = -1/3. La factorización del trinomio nos da 6(x-5/2)(x+1/3) Resolviendo la desigualdad 6x²-13x-5 ≤ 0  6(x-5/2)(x+1/3) ≤ 0  (x-5/2)(x+1/3) ≤ 0  x-5/2 ≤ y x+1/3 ≥ o bien x-5/2 ≥ y x+1/3 ≤ 0 x ≤ 5/ y x ≥ -1/ o bien x ≥ 5/ y x ≤ -1/3 x є (-∞, 5/2] ∩ [-1/3, ∞) o bien x є [5/2, ∞) ∩ (-∞, -1/3] CS = [-1/3, 5/2] ∪ ∅ = [-1/3, 5/2]