Dada una función f(x): F(x) es primitiva de f(x)  F´(x)=f(x) Por ejemplo: Si f(x)= cosx  F(x)=senx Si f(x)= x 2  F(x)=x 3 /3 Si f(x)= e x  F(x)=e.

Presentación del tema: "Dada una función f(x): F(x) es primitiva de f(x)  F´(x)=f(x) Por ejemplo: Si f(x)= cosx  F(x)=senx Si f(x)= x 2  F(x)=x 3 /3 Si f(x)= e x  F(x)=e."— Transcripción de la presentación:

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2 Dada una función f(x): F(x) es primitiva de f(x)  F´(x)=f(x) Por ejemplo: Si f(x)= cosx  F(x)=senx Si f(x)= x 2  F(x)=x 3 /3 Si f(x)= e x  F(x)=e x Observemos que el problema de calcular la primitiva de una función es indeterminado, ya que existen infinitas primitivas de una misma función. Así, D(senx)=D(senx+1)=D(senx+k)=cosx. Todas estas primitivas se diferencian en una constante. O sea: “ Si F(x) es una primitiva de f(x)  F(x)+k también lo es.”

3 Llamamos integral indefinida de la función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función. Se representa con la notación:  f(x)dx = F(x)+k A veces nos pedirán una primitiva determinada, para lo cual hemos de hallar k, cosa que podemos hacer si nos dan unas condiciones iniciales. Por ejemplo: Hallar la primitiva de la función f(x)=x 2 +2x, sabiendo que toma el valor cero para x=1. F(x)+k=  (x 2 +2x)dx= x 3 /3 +x 2 +k ; F(1)=1/3 +1+k=-4/3 Luego:F(x)=x 3 /3 + x 2 - 4/3

4 Las propiedades de linealidad de las integrales, son dos, y se demuestran sin mas que tener en cuenta la definición de inte- gral y las propiedades de las derivadas de funciones:  (f(x)+g(x))dx =  f(x)dx +  g(x)dx  k.f(x)dx = k.  f(x)dx,, donde k es una constante.

5 Son las que se deducen inmediatamente de la definición de integral indefinida:

6 Continuación de integrales inmediatas

7 Ejemplos de integrales inmediatas.

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10 Al encontrarnos con una integral de la forma  f(x)dx, a veces interesa un cambio de variable de la forma: x=g(t)  dx=g´(t)dt que proporcione una integral más sencilla. La elección de x=g(t) depende de cada función particular. A continuación veremos unos ejemplos

11 Ejemplos de integración por cambio de variables

12  e 3x dx  Hacemos el cambio: 3.x = t  Derivando queda:dx = dt  dx = dt / 3  e t dt / 3 = (1/3).  e t dt = (1/3).e t + C = (1/3).e 3x + C  sen 5 x. cos x dx  Hacemos: sen x = t  Derivando: cos x dx = dt sen 6 x  sen 5 x.cos x dx =  t 5 dt = t 5+1 / (5+1) + C = ---------- + C 6

13  2.x. sen x 2 dx  Hacemos: x 2 = t  Derivando: 2.x dx = dt  2.x.sen x 2 dx =  sen t dt = - cos t + C = - cos x 2 + C Ejemplos de integración por cambio de variables