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Publicada porIgnacio Ríos Coronel Modificado hace 8 años
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f P (30; 45) 33 P Q ( x ; y ) T Q (x; y) T = f (x;y)
P 30º latitud Norte 45º longitud Oeste P T (ºC) P (30; 45) P Q ( x ; y ) T Q f f : R R (x; y) T = f (x;y) R2 = { (x; y) / x R ; y R }
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f (r; h) V = f (r ;h ) C1 r = 1 ; h = 6 C2 r = 3 ; h = 4
18,850 1,5 5,5 38,877 2 5 62,832 2,5 4,5 88,357 3 4 113,097 3,5 134,696 150,796 159,043 157,080 142,550 6,5 0,5 66,366 C3 (5;2) C2 (3;4) C1 (1;6) V = π . r2.h Cilindro (r ;h) f : R+x R R (r; h) V = f (r ;h ) π .r2.h f
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(r; h) V = f : R+x R+ R V = π .r2.h CMAX ?? r = 4.5 ; h = 2.5 r
1 6 18,850 1,5 5,5 38,877 2 5 62,832 2,5 4,5 88,357 3 4 113,097 3,5 134,696 150,796 159,043 157,080 142,550 6,5 0,5 66,366 r h V 4 3 150,80 4,1 2,9 153,15 4,2 2,8 155,17 4,3 2,7 156,84 4,4 2,6 158,14 4,5 2,5 159,04 4,6 2,4 159,54 4,7 2,3 159,61 4,8 2,2 159,24 4,9 2,1 158,40 5 2 157,08 r h V 4,6 2,4 159,54 4,62 2,38 159,59 4,64 2,36 159,62 4,66 2,34 159,64 4,68 2,32 4,7 2,3 159,61 4,72 2,28 159,58 4,74 2,26 159,52 4,76 2,24 159,45 4,78 2,22 159,35 4,8 2,2 159,24 V 159,5426 159,5919 159,6239 159,6385 159,6355 159,6149 159,5764 159,5199 159,4453 159,3524 159,2410 ¿VMÁX ?
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R z = f (x; y) f P CAMPOS ESCALARES ó FUNCIONES de “VARIAS VARIABLES”
CAMPOS ESCALARES o FUNCIONES de “2 variables” DEFINICIÓN-1: Dado D ⊆ R2 ; una función f de “dos variables”, es « una regla o ley que a cada par ordenado (x ;y) D asigna un único número z R ” ». f R2 R D Regla o Ley z = f (x; y) (x; y) y π f z D z = f ( x; y ) P (x; y) x
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f CAMPO ESCALAR o FUNCIÓN de “2 variables ” z = f ( x; y ) π D R z x
x R
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f CAMPOS ESCALARES ó FUNCIONES DE “VARIAS VARIABLES”
FUNCIONES DE “2 variables” DEFINICIÓN-1: Dado D R2 ; una función f de “dos variables”, es « una regla o ley que a cada par ordenado “(x ;y) D” asigna un único número z R ” ». y f z D z (x; y) x Dominio “natural” de la función: Dn
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y =- x -1 r: x =1 1) (x; y) / y = -x P(x;y) r D -1 1 y = - x -1 ; -1 2) (x; y) x +y +1 > 0 (x;y) D = semiplano (0; 0) ≥ 0 (0:0) D
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Existen otros conjuntos importantes asociados a las funciones
Uno de ellos: el conjunto “Im f ”. (Imagen de f ) R B´ z = f(x;y) B Im f Observaciones: ► Im f R ► Im f “menor” codominio posible
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Existen otros conjuntos importantes asociados a las funciones
Uno de ellos: el conjunto “graf f ” “C”; curva plana (en gral). RECUERDO D R f : D R x y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados 1er componente x D ; 2da componente y = imagen de x por f . Lo indicamos: graf f = { P(x;y) R2 / xD ; y = f (x) } f (x) = graf f = { (x ; ) / x R } C B A
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Existen otro conjunto importante asociado a las funciones
Uno de ellos: el conjunto “graf f ”. f función escalar (continua) graf f = CURVA PLANA f campo escalar ( 2 vs.) graf f = ………………. CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D R f : D R x y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados er coordenada x D ; 2da coordenada y = imagen de x por f . graf f = { P(x;y) R / x D ; y = f (x) } ternas ordenadas R2 1er y 2da coordenada (x; y) D 3er coordenada z = imagen de (x; y) por f . (x; y) z P(x;y; z) R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } Superficie ?? Curva en R3 ? Sólido ???
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D R f : D R π R2 graf f = { P(x;y) R2 / x D ; y = f (x) }
CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D R f : D R x y Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados / er coordenada x D ; 2da coordenada y = imagen de x por f . graf f = { P(x;y) R / x D ; y = f (x) } las ternas ordenandas / R2 1er y 2da coordenada (x; y) D 3er coordenada z = imagen de (x; y) por f . (x; y) z SUPERFICIE P(x;y; z) R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } z = f (x; y) con f (x; y) = 8 – 2 x – 4y graf f = {(x ;y; z) / (x ;y) R2 ; z = 8- 2x - 4y } C (x; y) z P(x;y;z) (4; 0) A(4;0;0) (0; 2) B(0;2;0) (0; 0) 8 C(0;0;8) (1; 1) 2 P(1;1;2) P π B (1;1) A graf f = { P(x ;y; z) / 2x+ 4y + z = 8 } = π
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CAMPO ESCALAR de “2 vs.” D R f : D R x y graf f = { P(x;y) R / x D ; y = f (x) } graf f = R2 P(x; y; z) R3 / (x; y)D ; z = f (x; y) } SUPERFICIE (x; y) z S = graf f D R2 f : D R (x; y) z = f (x; y) P (x;y;z) z = f (x;y) B y x D (x ;y)
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D = R2 graf f = { (x ;y; z) / (x ;y) R2 ; z = 6 - 3x - 2y }
graf f = { (x ;y; z) / 3x + 2y + z = 6 } S = PLANO Problema: Hallar D para que el graf f sea la porción de plano en el 1er octante. 6 D = (x ;y) / 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ 3- 3/2 x D 2 3 x y y 3 D y = 3 – 3/2 x 2 x
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graf g = { (x ;y; z) / (x ;y) D ; z = } = S ? D
graf g = { (x ;y; z) / x2 + y2 + z2 = 9 ; z ≥ 0 } = S ? graf g = Sup. Esférica Superior D = { (x ;y) / 9 – (x2 + y2) ≥ 0 } D = { (x ;y) / x2 + y2 ≤ 9 } círculo r = 3 ; C (0;0) Im g = { z R / z = ; x2 + y2 ≤ 9 } = [ 0; 3 ] z = z ≥ 0 z 2 = 9 – (x2 + y2) 9 - (x2 + y2) ≤ 9 z ≥ 0 z 2 ≤ 9 z ≥ 0 | z | ≤ 3 0 ≤ z ≤ 3
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graf h = { (x ;y; z) / (x ;y) D ; z = 4 x2 + y2 } = S ?
graf h = PARABOLOIDE ( elíptico )
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intersección de superfs.
graf h = S = PARABOLOIDE ( elíptico ) DEF : “TRAZA” CURVA C / C= S (plano coord. o paralelo a él) π) z = 16 16 C: Curva como intersección de superfs. C C: 4.x2 + y2 = 16 (elipse en π: z = 16) C: ; (z = 16) C: ; t [ 0; 2 ] ; t [0; 2] Ecuación vectorial Ecuacs. Paramétrs
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intersección de superfs.
graf h = S = PARABOLOIDE ( elíptico ) DEF : “TRAZA” CURVA C / C= S (plano coord. o paralelo a él) verticales x = 0 ó y = 0 son parábolas 16 C: Curva como intersección de superfs. C: z = y2 ; (x=0) (parábola en πyz ) C: ; t R πyz) x = 0 C ; t R Ecuacs. Paramétrs Ecuación vectorial
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e
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f es definida positiva en R2? f tiene máximo abs. en R2 ?.
Observa que del gráfico de f y del hecho de conocer las funciones escalares elementales que forman este campo escalar se pueden concluir muchas propiedades del mismo. Dirías que: f es definida positiva en R2? f tiene máximo abs. en R2 ?. f es “continua” en R2 ?. la ecuación de la “traza” de la superficie en el plano xz es z = x ??
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¿qué más dirías?? Dirías que: f no tiene signo definido ?.
f es “continua” en R2 ?. c) la “traza” de la superficie en el plano xz es una “sinusoide”? d) la “traza” de la superficie en un plano paralelo al xz es una “sinusoide”? d) | f (x; y) | 2 , (x; y) R2 ¿qué más dirías??
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¿qué más dirías?? Dirías que: f no tiene signo definido ?.
f es “continua” en R2 ?. c) f no está “acotada” ??. ¿qué más dirías??
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Ck : lugar geométrico de todos los “puntos del plano x y”
f : D R ; D R2 ; graf f = S “Ck = CURVA de NIVEL ” π) z = 45 45 π) z = 20 20 C30 C45 C20 C35 Ck : lugar geométrico de todos los “puntos del plano x y” donde f (x; y) = k ; o sea donde z = k . Equivalentemente, donde el graf f tiene “altura” igual a “k”
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Ck = proyección de C sobre el plano xy.
f : D R ; D R2 ; graf f = S “Ck = CURVA de NIVEL ” π) z = 45 45 C π) z = 20 20 C C45 C20 Observaciones: C = S k ( TRAZA, resulta de interceptar las dos sup.) Ck = proyección de C sobre el plano xy.
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k Im f Ck = { (x; y) D / f (x ; y) = k } πx y
(3) DEFINICIÓN : “CURVA de NIVEL = Ck ” f : D R ; D R2 ; graf f = S Ck es la “proyección” sobre el πx y de C (traza correspondiente a S π(z =k)) k Im f Ck = { (x; y) D / f (x ; y) = k } πx y π) z = 45 45 π) z = 20 20 C45 C20
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D FIGURA 6
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π) z = k C k
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