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Superficies INGENIERÍA INDUSTRIAL OCTUBRE 2010 Objetivo: Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución. Cilindros, superficies.

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2 Superficies INGENIERÍA INDUSTRIAL OCTUBRE 2010

3 Objetivo: Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución. Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución. Tema

4 Clasificación de las superficies en el espacio: Esfera Plano Superficies cilíndricas o cilindros Superficies cilíndricas o cilindros Superficies cuadráticas Superficies cuadráticas Superficies de Revolución Superficies de Revolución

5 Esfera Una esfera con centro en (x 0, y 0, z 0 ) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x 0, y 0, z 0 ) es r. La ecuación canónica de una esfera es: (x-x 0 ) 2 + (y-y 0 ) 2 + (z-z 0 ) 2 = r 2.

6 Plano Un plano que contiene el punto P(x 1, y 1, z 1 ) es el conjunto de todos los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector n = (a, b, c) n = (a, b, c) La ecuación de un plano en el espacio es: a (x-x 1 ) + b (y-y 1 ) + c (z-z 1 ) = 0 (forma canónica) a x + by + cz + d = 0 (ecuación general)

7 Superficies Cilíndricas (Cilindros) El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro. Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto. Cilindro Circular Recto x 2 + y 2 = 4

8 Cilindros (cont.) La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

9 Superficies cuadráticas Su ecuación es de la forma: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz+ + Gx + Hy + Iz + J = 0 + Gx + Hy + Iz + J = 0 Existen 6 tipos: 1. Elipsoide Elipsoide 2. Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de una hoja 3. Hiperboloide de dos hojas Hiperboloide de dos hojas Hiperboloide de dos hojas 4. Cono elíptico Cono elíptico Cono elíptico 5. Paraboloide elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide elíptico 6. Paraboloide hiperbólico Paraboloide hiperbólico Paraboloide hiperbólico

10 Elipsoide Trazas xy: Elipse xz: Elipse yz: Elipse

11 Hiperboloide de una hoja xz: Hipérbola yz: Hipérbola Trazas xy: Elipse

12 Hiperboloide de dos hojas xz: Hipérbola (|x|>0) Elipse yz: (x=0) No existe Trazas xy: Hipérbola

13 Cono Elíptico (|z|>0) Elipse xz: (y=0) Rectas (|y|>0) Hipérbola yz: (x=0) Rectas (|x|>0) Hipérbola Trazas xy: (z=0) Punto

14 Paraboloide Elíptico (z>0) Elipse xz: Parábola yz: Parábola Trazas xy: (z=0) Punto

15 Paraboloide Hiperbólico (|z|>0) Hipérbola yz: Parábola xz: Parábola Trazas xy: (z=0) Recta

16 Superficies de Revolución Si la gráfica de una función con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas: 1. En torno al eje x: y 2 + z 2 = [r(x)] 2 2. En torno al eje y: x 2 + z 2 = [r(y)] 2 3. En torno al eje z: x 2 + y 2 = [r(z)] 2

17 Ejemplo de Superficies de Revolución f(x) = x 2 +1 Al girar la gráfica de la función f(x) = x 2 +1 en torno al eje x se genera la gráfica de la función y 2 + z 2 = (x 2 + 1) 2 y 2 + z 2 = (x 2 + 1) 2. radio

18 Resumes de superficies

19 Conos: El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen una relación de la forma x2x2 y2y2 z2z2 a2a2 b2b2 c2c2 x2x2 y2y2 z2z2 a2a2 b2b2 c2c2 x2x2 y2y2 z2z2 a2a2 b2b2 c2c = 0, = 0 Cono Elíptico y x z

20 Paraboloide Eliptico El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma. x 2 y 2 x 2 z 2 y 2 z 2 + = c 2 z, + = b 2 y, + = a 2 x a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 y x z

21 ( x – h ) 2 ( y – k ) 2 + = c 2 ( z – j ) a 2 b 2 Si a = b, se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z. La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espacio tiene la forma:

22 Paraboloide Hiperbólico El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma. x 2 y 2 x 2 z 2 y 2 z 2 - = c 2 z, - = b 2 y, - = a 2 x a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 x y z

23 La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma ( x – h ) 2 ( y – k ) 2 - = c 2 ( z – j ) a 2 b 2

24 Hiperboloide de una Hoja El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z = 1, - + = 1, = 1 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 x y z

25 La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es ( x – h ) 2 ( y – k ) 2 ( z – j ) = 1 a 2 b 2 c 2 Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z. ( x – h ) 2 ( y – k ) 2 ( z – j ) = 1 a 2 b 2 c 2

26 Hiperboloide de dos Hojas La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es ( x – h ) 2 ( y – k ) 2 ( z – j ) = 1 a 2 b 2 c 2 Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z. x y z

27 El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z = 1, = 1, = 1 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2

28 Continúe investigando Continúe investigando


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