Función de transferencia de procesos muestreados

Presentación del tema: "Función de transferencia de procesos muestreados"— Transcripción de la presentación:

1 Función de transferencia de procesos muestreados

2 Transformada z El muestreador ideal está definido como un muestreador que abre y cierra de manera instantánea, en tiempo cero cada T segundos. En donde la señal de pulsos unitarios que representa la acción del muestreador es sustituida por un tren de impulsos unitarios que modela mejor el comportamiento del muestreador.

3 Transformada z Dicho tren de impulsos se define como
La salida del muestreador ideal es comenzando el muestreo en t=0.

4 Transformada z La transformada de Laplace de la señal muestreada es
Las gráficas muestran las señales de entrada y salida de un muestreador ideal.

5 Transformada z La transformada de Laplace no es una función de transferencia racional de ‘s’. Cuando aparecen términos de la forma que no son únicamente factores multiplicativos, es probable que surjan dificultades al tratar de determinar la transformada inversa de Laplace. Por lo tanto, es deseable transformar la función irracional F*(s) en una racional F(z).

6 Transformada z Para poder llevar acabo esta representación, se transforma la variable compleja ‘s’ en otra que denominaremos variable compleja ‘z’. Una selección obvia para esta transformación es

7 Transformada z En donde F(z) se conoce como la transformada z de f*(t)

8 Transformada z A continuación se muestra la relación de los planos s y z.

9 Transformada z Todos los puntos que están en el semi-plano izquierdo del plano s corresponden a puntos dentro del circulo unitario del plano z. Todos los puntos en el semi-plano derecho del plano s corresponden a puntos fuera del circulo unitario del plano z. Todos los puntos sobre el eje imaginario del plano s, corresponden a puntos sobre el circulo unitario |z|=1 del plano z.

10 Transformada z Transformada z de una función escalón

11 Transformada z Transformada z de una función exponencial

12 Transformada z Propiedades de la transformada z Linealidad

13 Transformada z Propiedades de la transformada z
Corrimiento a la derecha (retraso en el tiempo de n periodos de muestreo) Se observa que la variable (1/z) corresponde a un retraso de un periodo de muestreo en el dominio del tiempo; por lo tanto (1/z) se considera como un operador de retraso en los sistemas de control digital.

14 Transformada z Propiedades de la transformada z
Corrimiento a la izquierda (adelanto en el tiempo de n periodos de muestreo)

15 Transformada z Ejemplo: Función escalón atrasada un periodo
Función escalón adelantada un periodo

16 Transformada z Propiedades de la transformada z Traslación compleja

17 Transformada z Ejemplo: Obtener la transformada z de
De las tablas de transformadas se obtiene la transformada z de f(t)

18 Transformada z Usando la propiedad de la traslación compleja

19 Transformada z Propiedades de la transformada z Valor inicial
Si la transformada en z de f(t) es F(z) y existe el límite de F(z) cuando z tiende a infinito, entonces

20 Transformada z Propiedades de la transformada z Valor final
Si la transformada en z de f(t) es F(z) y existe el límite de F(kT) cuando k tiende a infinito, entonces

21 Transformada z Ejemplo:
Encontrar la transformada z, el valor inicial y el valor final de la siguiente función del tiempo

22 Transformada z Su transformada z:

23 Transformada z Su valor inicial: Su valor final:

24 Transformada z Propiedades de la transformada z Convolución

25 Cálculo algebraico de la transformada z
En el análisis de sistemas lineales es común que la función de transferencia F(s) ya esté dada, y lo que tenga que determinarse sea la transformada z, F(z). Por lo que a continuación se presenta un desarrollo para obtener F(z) directamente de F(s) sin pasar por f(t).

26 Transformada z La transformada z se obtiene de la siguiente ecuación
Polo simple:

27 Transformada z Polo múltiple:

28 Transformada z Ejemplo: Presenta dos polos simples

29 Transformada z

30 Transformada z Ejemplo: Polo de multiplicidad 2

31 Transformada z inversa
Transformada en z inversa Potencias crecientes de División directa Fracciones parciales Método de la formula de inversión

32 Transformada z inversa
Potencias crecientes de De la definición de transformada z En general tenemos que

33 Transformada z inversa
Igualando términos tenemos:

34 Transformada z inversa
Igualando los coeficientes de las potencias crecientes de De los resultados anteriores se deduce que

35 Transformada z inversa
Ejemplo: aplicando la formula:

36 Transformada z inversa
División directa Se realiza directamente la división y se encuentra una serie de potencias de cuyos coeficientes corresponden a f(kT).

37 Transformada z inversa
Ejemplo:

38 Transformada z inversa
Fracciones parciales Usualmente se expande F(z)/z Cuando F(z) tiene polos diferentes

39 Transformada z inversa
Ejemplo:

40 Transformada z inversa

41 Transformada z inversa
Cuando F(z) tiene polos repetidos

42 Transformada z inversa
Aislando A3

43 Transformada z inversa
Aislando A2

44 Transformada z inversa
Método de la formula de inversión De la teoría de variable compleja: Esta es una integral de contorno sobre una trayectoria cerrada C que encierra el origen y todos los polos de F(z).

45 Transformada z inversa
donde pi son los polos de Polo simple Polo múltiple

46 Transformada z inversa
Ejemplo:

47 Transformada z inversa
Ejemplo: un polo simple en un polo en Para el polo simple

48 Transformada z inversa
Para el polo múltiple

49 Transformada z modificada
La transformada z modificada Los comportamientos entre los puntos de muestreo pueden ser investigados usando la transformada z modificada. Esta es la transformada z ordinaria, solamente retrasada mT segundos, lo cual es una fracción del periodo de muestreo, ya que 0 < m < 1

50 Transformada z modificada
La transformada z modificada aplicando la propiedad de corrimiento

51 Transformada z modificada
Obtener la transformada z modificada de

52 Transformada z modificada
Transformada z modificada inversa La mayor ventaja de la transformada z modificada es que proporciona información sobre una función del tiempo entre los instantes de muestreo. La transformada inversa de F(z,m) da los valores de f(t) entre los instantes de muestreo para cierto valor de m.

53 Transformada z modificada
La función F(z,m) se puede desarrollar en una serie de potencias en mediante la división directa Retomando el ejemplo anterior, el desarrollo de F(z,m) es el siguiente El coeficiente del termino en la serie infinita representa el valor de f(t) entre los

54 Transformada z modificada
instantes de muestreo t=(k-1)T y t=kT, donde k=1,2,... y 0<m<1. Durante el primer periodo de muestreo, la función f(t) está descrita por el coeficiente Cuando m=0 se obtiene el valor de f(0); cuando m=1 se obtiene el valor de f(T). De manera similar, para el k-ésimo periodo de muestreo, k=1,2,...,

55 Transformada z modificada
En general, la respuesta entre dos instantes de muestreos consecutivos se obtiene asignando valores a m entre 0 y 1

56 Realizar tareas 1 y 2