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CURVAS PLANAS y CÓNICAS

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Presentación del tema: "CURVAS PLANAS y CÓNICAS"— Transcripción de la presentación:

1 CURVAS PLANAS y CÓNICAS
Espiral, Óvalo y Ovoide. Elipse, Parábola e Hipérbola. Rectas tangentes. I.E.S. La Asunción © Mario Ortega González

2 Curvas planas. Espiral. La espirales son curvas planas que se van abriendo continuamente. Las que vamos a dibujar nosotros realmente son falsas espirales, por que su crecimiento es por facetas, son arcos hechos con dos o más centros Trazar un espiral de dos centros. La distancia entre centros es de 5mm. Procedimiento: Dibujamos una línea recta y situamos los dos centros. El espacio queda dividido en dos, en uno haremos los arcos con un centro y biceversa con el otro. El primer radio que usaremos es de 5mm. y el centro será O2, después iremos al otro centro y dibujaremos el siguiente arco con radio hasta el final del anterior, y así iremos alternando uno y otro sucesivamente.

3 Curvas planas. Espiral. Trazar una espiral cuyos 6 centros equidistan 5mm. Procedimiento: Dibujamos un hexágono de 5mm. de lado y en cada vértice situamos un centro. Prolongando los lados trazamos seis ángulos que delimitan los espacios para cada arco y centro. Con centro en 2 y radio hasta 1 trazamos el primer arco y luego sucesivamente vamos cambiando de centro y aumentando el radio hasta el final del arco anterior.

4 Curvas planas. Óvalo. 12.1. Dibujar un óvalo conociendo el eje menor.
El Óvalo es una curva plana cerrada formada por cuatro o más arcos y es simétrica respecto de sus dos ejes. Procedimiento: Dibujamos la mediatriz del eje menor. En los extremos del eje menor tenemos dos de los cuatro centros que vamos a usar. Trazamos una circunferencia con diámetro el eje menor y su cruce con la mediatriz determina los dos centros que faltaban. Unimos los centros y ponemos los límites de los cuatro arcos. Por último, con centro en O1 radio A,B dibujamos el primer arco, con O2 hacemos lo mismo y con O3 y O4 cerramos la curva.

5 Curvas planas. Óvalo. 12.2. Trazar un óvalo conociendo el eje mayor.
Procedimiento: Dividimos en tres partes el eje mayor y tenemos dos centros, O3 y O4. Trazamos dos circunferencias de radio un tercio del eje mayor y sus cortes nos dan los dos centros que faltaban O1 y O2 . Con rectas que pasan por los centros dibujamos los límites de los cuatro arcos Los arcos de O3 y O4 ya los tenemos, solo nos falta cerrar los otros dos.

6 Curvas planas. Ovoide. Trazar un ovoide conociendo el eje asimétrico. El Ovoide es una curva plana cerrada. Es simétrica respecto de su eje mayor y está dividida en en semicírculo y semióvalo por su eje menor o asimétrico. Procedimiento: Dibujamos la mediatriz de C,D y tenemos el lugar geométrico del eje simétrico. En los extremos del eje tenemos dos centros, O3 y O2 y en la mitad del eje otro O1. Trazamos la circunferencia de diámetro C,D y tenemos por un parte la semicircunferencia y por otra el centro O4 en su cruce con la mediatriz. Con los centros dibujamos las líneas límites de los arcos y luego los trazamos.

7 Curvas planas. Ovoide. 12.5. Dibujar un ovoide conociendo el eje simétrico. Procedimiento: Dividimos el eje en 6 partes, en la quinta hay un centro, O4 y en la segunda trazamos el lugar geométrico del eje asimétrico y también tenemos el centro O1 de la semicircunferencia. Con dos unidades como radio localizamos en el exterior del eje asimétrico los centros O2 y O3. Ahora dibujamos los límites de los arcos uniendo los centros y los trazamos.

8 Curvas cónicas. Definición y clases.
Definición: Son curvas planas de 2º grado Son el resultado de la intersección de un plano con un cono de revolución. Clasificación: Elipse. Es la intersección de un plano oblicuo. Parábola. Es la intersección de un plano paralelo a una generatriz. Hipérbola. Es la intersección de un plano al eje del cono.

9 Curvas cónicas. Elipse. 13.1. Conociendo los ejes, dibujar una elipse mediante radios vectores. La elipse es una curva plana dividida simétricamente por sus ejes que está generada por dos focos situados en el eje mayor. Las dos distancias desde un punto hasta el foco son los radios vectores y la característica fundamental de esta cónica es que la suma de los radios vectores de cualquier punto de la curva es igual al eje mayor.

10 Curvas cónicas. Elipse. Procedimiento: Trazamos un arco de radio el semieje mayor A,B y tenemos los focos. En el eje mayor localizamos puntos al azar y haciendo centro en los focos vamos dibujando parejas de arcos que siempre sumarán el eje A,B, por ejemplo el punto 1’ se obtiene con los radios A,1 y 1,B. Como la curva es simétrica repetiremos la misma operación en los cuatro sectores. Una vez obtenido un números de puntos suficiente dibujaremos con el lápiz la curva para después rotularla con la ayuda de una plantilla. 13.1. Conociendo los ejes, dibujar una elipse mediante radios vectores.

11 Curvas cónicas. Parábola.
Dados: la directriz, el eje y el vértice. Dibujar una parábola mediante radios vectores. Esta curva está estructurada por el eje y la directriz que se cortan en el punto D, y por un vértice y el foco. La característica principal de la parábola es que todos sus puntos equidistan del foco y la directriz.

12 Curvas cónicas. Parábola.
Dados: la directriz, el eje y el vértice. Dibujar una parábola mediante radios vectores. Procedimiento: Hallamos el Foco. Como V es un punto de la curva la distancia V,D será igual la V,F. Trazamos puntos cualquiera en el eje y los utilizamos de dos formas como paralelas que son lugares geométricos para mantener la distancia a la directriz, y como radios para los arcos de radio equidistante. Por ejemplo: el punto 4’ esta en una paralela a la directriz desde 4 y en un arco de centro el foco cuyo radio es 4,D.

13 Curvas cónicas. Hipérbola.
13.5. Dados: el eje real y el imaginario. Dibujar la hipérbola mediante radios vectores. En la hipérbola hay un eje real A,A’ que va de vértice a vértice y un eje imaginario B,B’ que nos define la apertura de la curva; esta apertura está limitada por las asíntotas que son la prolongación de las diagonales del rectángulo formado con los ejes. Los focos se obtienen con la circunferencia circunscrita del citado rectángulo al cortar el eje real. Todos los puntos de la hipérbola cumplen la siguiente característica: la resta de sus radios vectores es igual al eje real A,A’.

14 Curvas cónicas. Hipérbola.
13.5. Dados: el eje real y el imaginario. Dibujar la hipérbola mediante radios vectores. Procedimiento: Dibujamos un rectángulo con paralelas a los ejes como lados y dibujamos las asíntotas. Con la circunferencia circunscrita del rectángulo hallamos F y F’ en la prolongación del eje real. Localizamos puntos al azar en el eje real y luego usamos las medidas hasta los vértices A y A’ como radios para hacer los arcos con centro en los focos. Unimos con lápiz HB y después rotulamos con plantilla.

15 Rectas tangentes a las Curvas Cónicas
Recta tangente a la Elipse pasando por un punto Rectas tangentes a la Elipse pasando por un punto exterior Recta tangente a la Parábola pasando por un punto Rectas tangentes a la Parábola pasando por un punto exterior Recta tangente a la Hipérbola pasando por un punto Rectas tangentes a la Hipérbola pasando por un punto exterior © Mario Ortega González

16 Tangentes a la Elipse Recta tangente a la elipse en el punto T.

17 Tangentes a la Elipse Recta tangente a la elipse en el punto T.
La recta tangente es la bisectriz de los radios vectores que pasan por T.

18 Tangentes a la Elipse Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior.

19 Tangentes a la Elipse Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior. Procedimiento de circunferencia focal. Hallamos la intersección entre la cicunferencia focal (radio eje mayor) y la de radio P,F2, trazamos rectas desde los puntos de intersección hasta los focos y obtenemos: por un lado con el foco mas lejano los puntos de tangencia, y con el otro foco los segmentos cuyas mediatrices son las rectas tangentes.

20 Tangentes a la Parábola
Recta tangente a la parábola desde un punto.

21 Tangentes a la Parábola
Rectas tangente a la parábola desde un punto. La recta tangente es la bisectriz del ángulo que forman las distancias desde T al foco y la directriz.

22 Tangentes a la Parábola
Rectas tangente a la parábola desde un punto exterior.

23 Tangentes a la Parábola
Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior. Trazamos la circunferencia de radio P,F, esta produce dos intersecciones con la directriz, desde estos puntos dibujamos las perpendiculares que nos dan los puntos de tangencia y con las distancias a F obtenemos las mediatrices que son las rectas tangentes.

24 Tangentes a la Hipérbola
Recta tangente a la hipérbola desde un punto.

25 Tangentes a la Hipérbola
Recta tangente a la hipérbola desde un punto. Como en la elipse la recta tangente que pasa por T es la bisectriz de los radios vectores.

26 Tangentes a la Hipérbola
Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior.

27 Tangentes a la Hipérbola
Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior. Hallamos la intersección de la circunferencia focal con la de radio P,F1, con estos dos puntos pasando por F2 obtenemos los puntos de tangencia y con las distancias a F1, las mediatrices, que son las rectas tangentes.

28 Fin I.E.S. La Asunción. © Mario Ortega González


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