TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

Presentación del tema: "TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS"— Transcripción de la presentación:

1 TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS
Homología y Afinidad

2 Ejercicio Nº 41 Dada una par de segmentos homológicos AB y A'B' y el punto doble P, hallar el homológico del punto C

3 1º Unimos A y B así como A' y B' el punto de corte es un punto del eje
1º Unimos A y B así como A' y B' el punto de corte es un punto del eje. 2º Unimos el punto anterior 1 con el punto dado P = P' y tenemos el eje.

4 3º Unimos A' y A así como B' y B y obtenemos el punto O centro de Homología. 4º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje, si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el punto solicitado

5 4º Unimos el punto C con O.

6 5º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje, si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el punto solicitado

7 Ejercicio Nº 42 De una homología se conocen el centro, O, el eje, e, y la pareja de puntos homólogos A-A'. Hallar el homólogo del punto B.

8 1º Tomamos un punto cualquiera C y hallamos el homólogo C' por medio del punto A-A', Unimos C con O, unimos C con A y prolongamos C-A hasta que corte el eje en el punto 1, unimos 1 con A' y determinamos el punto C' al cortarse con la recta C-O

9 2º Unimos B con C y nos da el punto 2 al cortarse con el eje, si unimos el punto C' con el punto 2 y determinamos el punto B' solicitado.

10 Ejercicio Nº 43 En una homología se conocen el centro, O, el eje, e y la recta limite RL, hallar la figura homológíca del triángulo ABC

11 1º El punto C es un punto doble por estar situado en el eje por lo tanto C=C'.

12 2º Prolongamos el lado A-C hasta que corte a la recta limite RL en el punto 1.Unimos el punto anterior 1 con el centro de homología O.

13 3º Por el punto C trazamos una paralela a la recta anterior O1, unimos O con A y el punto de corte con la recta anterior nos determina el punto A' homologo del A .

14 4º Unimos el punto A' con el punto 2 que corta en B' a la recta O-B y tenemos resuelto el problema

15 Ejercicio Nº 44 Hallar la figura homológica del paralelogramo ABCD conociendo el centro, O, el eje, e, y la recta limite RL‘

16 1º El punto A es un punto doble por encontrarse en el eje por lo tanto A=A'.

17 2º Trazamos la recta límite RL sabiendo que la distancia entre el eje, el centro de homología y las rectas límites RL y RL' es como se acota en la figura.

18 3º Prolongamos el lado CD hasta que corte a la recta limite RL en el punto 1, unimos el punto 1 con el centro O y por el punto 2 trazamos una paralela a O1 que corta a la recta CO en el punto C' homologo del C.

19 4º Prolongamos el lado CB hasta que corte al eje en el punto 3 unimos 3 con C' que corta al lado AB en el punto B' que es el punto que nos falta.

20 5º Unimos D con O y obtenemos el vértice D’ homologo del D

21 6º Unimos los vértices A’, B’, C’ y D’ y tenemos la figura homologa buscada

22 Ejercicio Nº 45 Transformación homológica de un cuadrilátero en un cuadrado Sea el cuadrilátero ABCD y queremos que su transformada sea un cuadrado.

23 1º Se determina la recta Limite y el Centro de homología
1º Se determina la recta Limite y el Centro de homología. Si Prolongamos los lados opuestos AB y CD, su punto de intersección 1 es un punto de la RL, si prolongamos BC y AD obtenemos el punto 2 que es otro punto de RL, Se traza RL.

24 2º Prolongamos las diagonales que cortan a RL en los puntos 3 y 4
2º Prolongamos las diagonales que cortan a RL en los puntos 3 y 4.El centro de homología debe ser un punto en que se vean los segmentos 1-2 y 3-4 bajo un ángulo recto trazamos dos lugares geométricos que son dos semicircunferencia de diámetros 1-2 y 3-4 que se cortan en el punto C, Centro de homología.

25 3º El eje se coloca a cualquier distancia solamente influye para la longitud del lado del cuadrado. Unimos el centro de homología con los puntos 1, 2, 3 y 4. Los lados del cuadrado serán paralelos a la dirección C-1 y C-2 como se ve en la figura. Por el eje se trazan paralelas a C-1 y a C-2 tal como vemos y ya tenemos el cuadrado, las diagonales no hace falta trazarlas.

26 Como se ve no hace falta tampoco unir el centro de homología con los puntos A, B, C y D para determinar los homólogos pero se hace para que se vea que cumple la homología

27 Ejercicio Nº 46 Transformación homológica de la circunferencia en una elipse Datos centro C, eje e y la recta limite RL, así como la circunferencia de centro O que corta el eje en los puntos J y K.

28 Por C trazamos una recta cualquiera CN, por el punto N se trazan las tangentes a la circunferencia t1 y t2, cuyos puntos de tangencia son T1 y T2, centro

29 Prolongamos la recta T1-T2 se obtiene el punto M desde el que se trazan las otras dos tangentes t3 y t4 cuyos puntos de tangencia son T3 y T4

30 Si unimos T3 y T4 dan otra cuerda que pasa por N
Si unimos T3 y T4 dan otra cuerda que pasa por N . Las direcciones CN y CM son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse

31 Las direcciones CN y CM son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse de centro Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2 Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4 Hallamos los puntos de tangencia de T1, T2, T3 y T4, puntos T'1, T'2, T'3 y T'4.

32 Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2 Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4

33 Hallamos los homólogos de los puntos de T1, T2, T3 y T4, uniendo estos con el centro de homología y donde corte a las rectas anteriores determinan los punto homólogos T'1, T'2, T'3 y T'4.

34 Trazamos la elipse

35 Ejercicio Nº 47 En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y la razón de afinidad K = A‘L / AL = -3/4 hallar la figura afín del hexágono regular ABCDEF

36 1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es doble C=C' trazamos perpendiculares al eje dado. Por ser una afinidad ortogonal la dirección de afinidad es perpendicular al eje

37 2º Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm
2º Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm.) punto s y trazamos una recta r cualquiera concurrente en B y tomamos 4 unidades (cm.) punto t, unimos s y t.

38 3º Llevamos la distancia B-3 sobre la recta r punto 3' por este trazamos la paralela a s-t que corta a la perpendicular por B en 4 la relación B-3/B-4, esta en la proporción dada en la razón de afinidad 3/4.

39 3º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B' afín del punto B y que esta en la razón de 3/4.

40 4º Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con el eje unimos este punto con B' y determinamos el vértice A'.

41 5º Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos con A' y determinamos el vértice D'.

42 6º Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos lo unimos con D' y obtenemos el vértice F'.

43 7º Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'

44 Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura afin del exágono dado.

45 Ejercicio Nº 48 Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce B'

46 1º Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C y D trazamos paralelas al eje.

47 2º Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto de corte con el eje con B' y obtenemos el vértice A'.

48 3º Unimos a continuación C con B y el punto de corte con el eje lo unimos con B' y obtenemos el vértice C'.

49 4º Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' y obtenemos el vértice que nos falta D'

50 Ejercicio Nº 49 En una homología se da el centro O, la recta limite RL y el eje e. Hallar la figura homóloga del polígono ABCDEF.

51 1º Prolongamos los lados A-B y A-F, hasta que corten a la recta limite RL en N y M respectivamente. Unimos el centro O con N y M.

52 2º Por el punto A trazamos paralelas a ON y OM unimos el centro O con B y F que cortan a las paralelas a ON y OM respectivamente en B' y F'

53 3º Como BF que contiene a los vértices C y E es paralela al eje su homóloga también lo es, por lo que la recta B'-F' es paralela al eje, unimos B'-F' y nos da el punto C' al cortar a la recta que une O y C, y E’ al cortar la recta O-E.

54 4º Unimos D y C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' que corta a la recta que une O con D en el vértice D'.

55 5º Unimos E’ y D’ y tenemos la figura afín de la dada.

56 Ejercicio Nº 50 Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado por el lado AB =30 mm., en una homología de centro O, eje e y siendo A' el punto homólogo de A. Realizar el dibujo a escala 2:1

57 1º Dibujamos los datos dados a escala 2:1

58 2º Trazamos el Triángulo equilátero de lado dado hacemos centro en A con radio AB, hacemos centro B con el mismo radio y determinamos el otro vértice C. (se podría construir el triángulo por el otro lado)

59 3º Unimos el centro O con A, C y B en estas rectas tienen que estar sus homólogos

60 4º Prolongamos A-B hasta que corte el eje punto 1, unimos el punto 1 con A' y obtenemos B'.

61 5º Unimos A' o B' con el punto que la recta AC o la BC corta al eje y obtenemos el punto C'.

62 Ejercicio Nº 51 Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A y A', se pide obtener las figura afín de la dada.

63 1º La dirección de afinidad es la recta A-A'

64 2º Por los vértices restantes B, C, D, E, F, G y H trazamos paralelas a la dirección de afinidad d.a.

65 3º Prolongamos AB hasta el eje punto 1 unimos este con A' y nos determina el vértice B'.

66 4º Unimos B con G que pasa por C y F hasta que corte el eje por este punto unimos con B' y obtenemos los vértices C', F' y G' 5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'. 6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

67 5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.

68 6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

69 Ejercicio Nº 52 Hallar la figura afín del cuadrado ABCD conociendo el eje y el punto A' afín del A.

70 1º La dirección de afinidad es la recta A-A'.

71 2º Por los vértices del cuadrado B, C, y D, se trazan las rectas paralelas a la dirección afinidad A-A'.

72 3º Se prolonga el lado AB que corta al eje en el punto 1, unimos este punto 1 con el punto A' y obtenemos el punto B'.

73 4º Unimos los vértices de las diagonales AC y BD que cortan al eje en los puntos 2 y 3 unimos estos puntos con A' y con B' y obtenemos los puntos C' y D', que son los otros dos vértices de la figura afín.

74 5º También como vemos podríamos trazar por B' y A' paralelas al eje y obtendríamos los vértices C' y D' si tenemos presente que al ser A-D y B-C paralelas al eje también lo son sus afines A'-D' y B'-C' Se une los vértice y tenemos la figura afín del cuadrado dado.

75 Ejercicio Nº 53 Dado el trapezoide ABCD y el punto doble P = P', hallar el eje y el centro de homología, para que se transforme en un cuadrado el trapezoide ABCD.

76 1º Prolongamos los lados del trapezoide que no se corta AB y CD que se cortan en el punto M, AD y BC que se cortan en el punto N, los puntos M y N son puntos de la recta limite RL.

77 2º Prolongamos las diagonales que cortan a la RL en los punto F y Q

78 3º Por P = P' trazamos una paralela a RL que es el eje de homología.

79 4º Para determinar el centro de homología con la condición de que el trapezoide se transforme en un cuadrado tenemos que tener un punto que vea a las diagonales y a los lados que se cortan con un ángulo de 90º, para eso trazamos la mediatriz de MN y trazamos una semicircunferencia de diámetro MN, hacemos lo mismo con los punto de corte de las diagonales FQ y donde se corte ambas semicircunferencias resulta el centro de homología O.

80 5º Unimos O con M y con N que son las direcciones de los lados del cuadrado

81 6º Prolongamos las rectas MDC y NDA hasta que corten al eje por los puntos de corte con el eje trazamos paralelas a OM y ON respectivamente, donde se corten ambas paralelas es el vértice D'.

82 7º Por los puntos de corte con el eje de las rectas MDC y NDA trazamos paralelas a OM y ON respectivamente, donde se corten ambas paralelas es el vértice D'.

83 8º Unimos el centro de homología O con los vértices A, B, C y D y obtenemos los vértices homólogos A’, D’ y C’

84 9º Unimos C’ con el punto de corte del lado B-C con el eje y obtenemos el vértice B’, se podria hacer lo mismo uniendo A’ con el punto de corte del lado A-B.

85 Ejercicio Nº 54 Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A', se pide hallar la figura afín de la dada. Realizar el dibujo a escala 2:

86 1º Reproducimos los datos dados a la escala solicitada 2:1

87 2º Determinamos la dirección de afinidad que es la recta A-A'.

88 3º Por los vértices B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad.

89 4º Unimos A' con el punto de corte del lado AB con el eje punto 1 y lo prolongamos hasta que corte a la paralela trazada por B y nos determina el vértice B'.

90 5º Unimos B' con el punto de corte del lado BC con el eje punto 2 prolongando obtenemos el punto C'.

91 6º prolongamos el lado DC hasta que corte al eje en el punto 3 unimos este con C' y obtenemos el vértice D'.

92 Ejercicio Nº 55 Dada la afinidad determinada en la figura determinar los ejes de la elipse afín de la circunferencia dada y trazar la elips

93 1º La dirección de afinidad (d. a
1º La dirección de afinidad (d.a.) es la recta que une P y P' puntos donde se cortan r-s y r'-s'.

94 2º Determinamos el eje de afinidad por los puntos dobles donde se cortan r - r' y s-s' puntos 1-1' y 2-2'.

95 3º Por C trazamos una paralela al eje de afinidad que corta a r en el punto 3, por este punto trazamos la recta 3-3' paralela a la dirección de afinidad que corta en 3' a r', y por 3' una paralela al eje, por C otra paralela a la dirección de afinidad que se corta con la anterior en C' afín del C.

96 4º Trazamos el diámetro ED perpendicular al AB, por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que nos determina directamente A' y B‘.

97 4º Prolongamos el diámetro ED hasta que corte al eje de afinidad este punto lo unimos con C' y determinamos los punto D' y E'.

98 5º Por C' levantamos una perpendicular a A'-B' y llevamos la distancia C'-A', punto M’
1º Determinamos el eje de afinidad por los

99 6º Unimos el punto M’ con E' y trazamos una circunferencia en el punto medio de E'-M’ que pase por E' y M’ unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N.

100 7º Unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N

101 8º Trazamos dos circunferencias de centro C' y radios C'-N y C'-N‘.

102 9º Por C' trazamos las paralelas a N-E' y N-M que son las direcciones de los ejes de la elipse y nos determinan los puntos H', I', G', F'.

103 7º Para determinar mas puntos se trazan diámetros cualesquiera y en sus puntos de corte con las circunferencias de diámetros los ejes de la elipse paralelas a los ejes tal como vemos en la figura

104 Ejercicio Nº 56 Hallar la figura afín de la circunferencia dada sabiendo que el punto afín del centro es el punto O'. Realizar el dibujo a escala 2:1

105 1º Dibujamos los datos a escala 2:1

106 2º La dirección de afinidad es la recta O-O' que une los centros.

107 3º Hallamos la mediatriz de O-O', donde esta corta al eje de afinidad punto G trazamos una circunferencia de diámetro O-O', que corta al eje en los puntos M y N que son puntos de los ejes.

108 4º Unimos N y M con O y O' y estas rectas son los ejes perpendiculares de la elipse y de la circunferencia.

109 5º determinamos los extremos de los ejes de la circunferencia A-B y C-D. Por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que al cortase los las rectas M-O' y N-O' nos determinan los extremos de los ajes de la elipse.

110 6º Por ultimo se dibuja la elipse 6º Por ultimo se dibuja la elipse