@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 Tema 3 * 4º ESO Opc B ECUACIONES Y SISTEMAS.

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2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 Tema 3 * 4º ESO Opc B ECUACIONES Y SISTEMAS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B2 Tema 3.4 * 4º ESO Opc B ECUACIONES EXPONENCIALES

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B3 Ecuaciones exponenciales Hay tres tipos de ecuaciones exponenciales que se pueden resolver sin necesidad de aplicar logaritmos: f(x) g(x) 1ºTienen iguales las bases:a = a Resolución: Se igualan los exponentes y se resuelve la nueva ecuación. f(x) g(x) k 2ºLas bases están relacionadas: a = b, donde a = b Resolución: Se sustituye una base y se resuelve la nueva ecuación, que tendrá ahora igualdad de bases. f(x) g(x) h(x) 3ºHay sumas o restas de potencias: a + b + c = 0 Resolución: Se aplican las propiedades de las potencias al objeto de conseguir un factor común de una potencia de igual base y exponente.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B4 Ecuaciones exponenciales (I) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. x+3 2x+5 5 = 5 Al ser igual la base:x + 3 = 2x+5  3 – 5 = 2x – x, x = - 2 x – 3 x 2 – 5 3 = 3 Al ser igual la base:x – 3 = x 2 – 5  0 = x 2 – x – 2 Resolviendo la ecuación: 1 +/- V(1 + 8) 1 +/- 3 x = ---------------------- = ------------ = 2 y - 1 2

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B5 Ecuaciones exponenciales (II) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 2x+3 2x+5 4 = 2 Al ser 4 = 2 2 2(2x+3) 2x+5 4x+6 2x+5 2 = 2  2 = 2 Al ser iguales las bases, deben ser iguales los exponentes: 4x+6 = 2x+5  4x-2x = 5-6  2x = -1  x = -1/2

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B6 Ecuaciones exponenciales (II) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. x 2 - 17.x+30 6 = 1 Como 6 0 = 1, podemos poner: x 2 - 17.x+30 6 = 6 0 Al ser iguales las bases, serán iguales los exponentes: x 2 - 11.x+30 = 0 Resolviendo la ecuación, queda x = 2, x = 15

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B7 Ecuaciones exponenciales (III) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 5 x + 5 x-1 + 5 x-2 = 31 No se pueden sumar tal como están. Como en el exponente hay una diferencia, significa que proviene de división de potencias de igual base: 5 x 5 x 5 x + --------- + -------- = 31 5 25 25.5 x + 5.5 x + 5 x = 25.31 (25+5+1).5 x = 25.31 31.5 x = 25.31 Luego 5 x = 25  x = 2

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B8 Tema 3.3 * 4º ESO Opc B ECUACIONES LOGARÍTMICAS

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B9 Ecuaciones Logarítmicas (I) Resuelve la ecuación: log x - log (x-1) = log 3 Por la propiedad de la división de logaritmos: x log ------- = log 3  x /(x -1) = 3  x = 3x – 3  3 = 2x  x = 1,5 x – 1 Resuelve la ecuación: log x + log (x - 1) = 3 Por las propiedades de la potencia y multiplicación de logaritmos: log x + log (x -1) = 3  log x. (x -1) = log 1000 x 2 - x = 1000  x 2 - x – 1000 = 0 Ecuación de segundo grado que resolveríamos: 1+/-√(1 + 4000) 1+/-63,25 x1 = 32,125 x=---------------------- = -------------- = 2 2 x2 = – 31,125, que no vale.

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B10 Ecuaciones Logarítmicas (II) Resuelve las ecuaciones: log 3 x - log 9 x = log 27 3 Hacemos un cambio de base: log 3 x log 3 x log 3 3 --------- -- --------- = ----------- log 3 3 log 3 9 log 3 27 log 3 x log 3 x log 3 3 --------- - --------- = ---------- 1 2 3 6.log 3 x - 3.log 3 x = 2.log 3 3 3.log 3 x = 2  log 3 x 3 = 2  3 2 = x 3 Y por último: 9 = x 3  x = raíz cúbica de 9 = 2,08

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B11 Aplicación de logaritmos Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x+3 x 5 = 8 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x+3 x Log 5 = Log 8 (x+3).Log 5 = x.Log 8 (x+3).0,698970 =x.0,903090 x.0,698970 + 2,096910=x.0,903090 2,096910=x.0,903090 - x.0,698970 2,096910 = 0,204120.x x = 2,096910 / 0,204120 x = 10,2729

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B12 Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x – 2 √x 3 = 5 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x – 2 √x Log 3 = Log 5  (x – 2).Log 3 = √x.Log 5  (x-2).0,477121 = √ x. 0,698970 (x-2) = √ x. 1,464972 Al ser ecuación radical, se eleva todo al cuadrado: x 2 -4x+4 = 2,1461.x  x 2 – 6,1461.x+4 = 0  Ecuación de 2º grado que resolvemos: 6,1461 +/- √ (37,7745 – 16) 6,15 +/- 4,67 10,82 / 2 = 5,41 x = ------------------------------------- = --------------- = 2 2 1,48 / 2 = 0,74 Y comprobamos con la calculadora que x = 0,74 no es válida Aplicación de logaritmos

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B13 Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x + 4 x 2 5 = 3 Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x + 4 x 2 Log 5 = Log 3  (x + 4).Log 5 = x 2.Log 3 (x + 4).0,698970 = x 2. 0,477121  (x + 4).1,4650 = x 2 x 2 – 1,465 x – 5,86 = 0  Ecuación de 2º grado que resolvemos: 1,465 +/- √ (2,1461 + 23,44) 1,465 +/- 5,06 6,525 / 2 = 3,2625 x = ---------------------------------------- = --------------------- = 2 2 - 3,595 / 2 = - 1,7975 Y comprobamos con la calculadora que x = - 1,7975 no es válida Aplicación de logaritmos