Ángulo inscrito en una circunferencia

Presentación del tema: "Ángulo inscrito en una circunferencia"— Transcripción de la presentación:

1 Ángulo inscrito en una circunferencia
Tangente Cuerda Diámetro Radio Secante . Elementos de la Circunferencia B C O   A . Ángulo inscrito en una circunferencia  = ½  Tema 6. LUGARES GEOMÉTRICOS Y la CIRCUNFERENCIA como Lugar Geométrico P A B Arco mayor Arco menor Sector circular .  Ángulos y Arcos de la Circunferencia Ángulo Central C ma mc mb a c b A B M L  G K . N .P El Baricentro

2   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Definición Lugar Geométrico :Llámese LUGAR GEOMÉTRICO al conjunto de puntos y sólo de aquellos que cumplen ciertas propiedades dadas. Para demostrar que una curva es un lugar geométrico hay que probar dos cosas: 1.- Que cualquier punto de la curva cumple con la(s) condición(es) dada(s). 2.- Que todo punto del plano que cumple la(s) condición(es) dada(s) está sobre la curva.

3   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema: La mediatriz de un segmento es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos. Para demostrar este teorema es necesario probar que todos los puntos cumplen las dos condiciones: 1.- Que cualquier punto de la curva cumpla con la condición dada. Hipótesis l es mediatriz de AB P  l P  Tesis PA = PB A B M Proposiciones Justificaciones 1.- AM  MB M es pto. medio 2.- PM Lado común l 3.- AMP  PMB = lAB 4.- △PAM  △PBM Por L.A.L. 5.- PA = PB Lados correspondientes △s en congruentes La tesis es verdadera Luego, se cumple la primera condición, cualquier punto de la curva cumple con la condición dada, es verdadera.

4   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Segunda condición: Que cualquier punto que cumpla la condición este sobre la curva . Hipótesis Tesis P  l P . l es mediatriz de x PA  PB . A B Por Reducción al absurdo, Supongamos que P  l Proposiciones Justificaciones l 1.- AP corta a l en x A y P están en semiplanos distintos de l, ADP 2.- xA = xB x está en la mediatriz. Teor. Direc. 3.- PA = xA + xP Suma de segmentos 4.- PA = xB + xP Sustitución de 1 en 2 5.- PA = PB Por hipótesis 6.- xB + xP = PB Sustitución de 4 en 5 Esto contradice el teorema: en todo triángulo un lado siempre es menor que la suma de los otros dos lados. En consecuencia la hipótesis temporal es falsa. Luego, la tesis es verdadera y P  l En conclusión el Teorema: La mediatriz de un segmento es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados, es verdadero.

5   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema. La bisectriz de un ángulo es el L.G. de los puntos del ángulo o de su interior que equidistan de sus lados. Para demostrar este teorema es necesario probar que todos los puntos cumplen las dos condiciones: 1.- Que cualquier punto de la curva cumpla con la condición dada. S ) Hipótesis W es bisectriz del ∠SAT P  W Tesis PS = PT . P W Lado Común A T Proposiciones Justificaciones 1.- ∠ SAW  ∠ TAW Hipótesis (W es Bisectriz del ∠SAT) 2.- PS y PT distancia a los lados Por construcción 3.- AP es lado común Propiedad reflexiva 4.- △APS  △ APT A.L.A 5.- PS = PT Conclusión Luego, se cumple la primera condición, cualquier punto de la curva cumple con la condición dada, es verdadera.

6   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Segunda condición: Que cualquier punto que cumpla la condición este sobre la curva ) Hipótesis W es bisectriz del ∠SAT PS = PT S W P . Tesis P  W A T S W . x Por Reducción al Absurdo P  W . P A B 1.- PS = xS + xP Como S y P están a ambos lados de W  PS corta a W en x 2.- xS = xB Por estar x en la bisectriz (teorema directo)   3.- PS = xB + xP Sustitución de 2 en 1 4.- PS = PT Hipótesis 5.- PT = xB + xP Igualación entre 3 y 4 6.- PB < xB + xP Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros 7.- PB < PT Sustitución 5 en 6. Lo que no es cierto ya PB es la hipotenusa del △BPT y por tanto PT > que cualquiera los catetos. Luego, PS=PT en consecuencia P  W T En conclusión el Teorema: . La bisectriz de un ángulo es el L.G. de los puntos del ángulo o de su interior que equidistan de sus lados. es verdadero.

7 PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado CIRCUNCENTRO. Hipótesis: Mc C c  ABC con Ma, Mb, Mc mediatrices A  B Tesis Ma, Mb, Mc se interceptan en C Mb b a Ma 1.- AC  BC ya que Mc es mediatriz del lado c 2.- CC  B C ya que Ma es mediatriz del lado a 3.- AC  CC Igualación 1 y 2 4.- C está es la Mediatriz de b Luego, Ma, Mb, Mc se interceptan en C C Proposiciones Justificaciones La tesis es verdadera En conclusión el Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado CIRCUNCENTRO, es verdadero

8   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Corolario: El CIRCUNCENTRO es un punto que equidista de los vértices del triángulo. Ca Cb Cc Mb B Ma C    Mc A  C Corolario: En un triángulo rectángulo el CIRCUNCENTRO es el punto medio de la Hipotenusa. Ca Cb

9 Luego, I está en la intersección de W, W y W
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema: Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado INCENTRO. Hipótesis ABC con W, W, W bisectrices Tesis W, W, W se cortan en I A b c I  B a C Proposiciones Justificaciones 1.- Ia = Ic Ya que I pertenece a la Bisectriz W del ∠ABC 2.- Ia = Ib Ya que I pertenece a la Bisectriz W del ∠ACB 3.- Ic = Ib Igualación entre 1 y 2 4.- I  W Ya que I equidista de los lados del ∠BAC Luego, I está en la intersección de W, W y W La tesis es verdadera En conclusión el Teorema: Las bisectriz de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado INCENTRO,, es verdadero

10   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Corolario: El INCENTRO es un punto interior del triángulo que equidista de sus lados. A b c I  B a C Ia  Ib  Ic

11 . Hipótesis  ABC con ha, hb y hc alturas Tesis
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema: Las alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO. Hipótesis  ABC con ha, hb y hc alturas D A E hb . Tesis ha, hb y hc se cortan en O b O c hc ha Proposiciones Justificaciones C B a 1.- DE ∥ a 2.- DF∥ b 3.- EF ∥ c Por Construcción F 4.- AD = a ACBD es un paralelogramo por 1, 2 y 3 5.- DB = b 6.- EC = c ABCE es un paralelogramo por 1, 2 y 3 7.- AE = a 8.- BF = b ACFB es un paralelogramo por 1, 2 y 3 9.- CF = c

12 . Hipótesis  ABC con ha, hb y hc alturas Tesis
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema: Las alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO. Hipótesis  ABC con ha, hb y hc alturas D A E . hb Tesis ha, hb y hc se cortan en O b O c hc ha Proposiciones Justificaciones B C 10.- AD = AE = a Igualación 4 y 7 11.- DB = BF = b Igualación 5 y 8 12.- EC = CF = c Igualación 6 y 9 a 13.- A es Pto medio de DE 14.- B es Pto medio de DF por 10, 11 y 12 15.- C es Pto medio de EF F 16.- ha  DE 17.- hb  DF Por 1, 2 y 3 18.- hc  EF 19.- ha, hb y hc son mediatrices del △DEF Por ser s en el punto medio de cada lado 20.- ha, hb y hc se intersectan en O Por ser mediatrices del △DEF Conclusión En conclusión el TeoremaLas alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO, es verdadero

13   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Corolario: En un triángulo rectángulo, el ORTOCENTRO coincide con el vértice del ángulo recto.  O

14 △ABC con ma, mb y mc medianas Tesis Ma, mb y mc se cortan en G
Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma. Hipótesis △ABC con ma, mb y mc medianas Tesis Ma, mb y mc se cortan en G BG = 2/3 mb,CG = 2/3 mb y AG=2/3 ma   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I A c ma M N  mb b  G  K . mc . P B  a L C Proposiciones Justificaciones 1.- K es Pto medio de BG 2.- P es Pto medio de GC Por construcción 3.- MN∥ BC, MN = ½ BC Por ser MN Ptos medios de 2 lados del △ABC 4.- KP ∥ BC, KP = ½ BC Por ser MN Ptos medios de 2 lados del △GBC 5.- MN ∥ KP 2 rectas ∥s a una misma recta son ∥s entre sí 6.- MN = KP Igualación entre 2 y 3

15   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma. Hipótesis △ABC con ma, mb y mc medianas Tesis Ma, mb y mc se cortan en G BG = 2/3 mb,CG = 2/3 mb y AG=2/3 ma A A c ma M N  mb b  G  K . mc .P B  a L C Proposiciones Justificaciones 7.- MNPK es un paralelogramo Tiene dos lados paralelos y congruentes. 8.- G es pto medio de NK y de MP Las diagonales de un paralelogramo se bisecan 9.- BK = KG = GN y CP = PG = GM K y P son ptos medios de BG y GC 10.- BG = 2/3 mb y CG = 2/3 mb y ma, mb y mc se cortan en G La tesis es verdadera (El corte de ma con mb y mc se realiza de manera similar) En conclusión el Teorema: : Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma, es verdadero

16 . . C . C . P1 . P2 . LA CIRCUNFERENCIA
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I LA CIRCUNFERENCIA Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado Centro. La distancia constante se denomina Radio. Círculo: Es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro de la circunferencia es menor que el radio. Los puntos del círculo también se conocen como puntos interiores o interior de la circunferencia. C . r .P P1 . C r O . O . P1 . P2 . P C: circunferencia O : centro r: radio P ∈ interior C(O, r)⇔ d(O, P) < r P1 ∈ C(O, r)⇔ d(O, P) = r Notación: C(o,r) P: Punto de la circunferencia, P∈ C P1: Punto que pertenece al interior o círculo P2: Punto que pertenece al exterior de la circunferencia

17 Circunferencias Concéntricas: Son las que tienen el mismo centro.
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Circunferencias congruentes: son las que tienen radios iguales r1 O . O2 . r2 O1 . r1 r2 r1 = r O1 O2

18 ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Radio: Segmento que va desde el centro a la circunferencia. Cuerda: Segmento que une 2 puntos de la circunferencia Diámetro: Cuerda que pasa por el centro. DEFINICIONES: Secante: Una recta es secante si y sólo si corta a la circunferencia en dos puntos Tangente: Una recta es tangente si y sólo si corta a la circunferencia en un solo punto. radio. Exterior Una recta es exterior si y sólo si no la corta a la circunferencia en ningún punto. . Tangente Cuerda . Diámetro . Radio . Secante Exterior

19 ÁNGULOS Y ARCOS DE LA CIRCUNFERENCIA
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I ÁNGULOS Y ARCOS DE LA CIRCUNFERENCIA Ángulo Central: (<AOB) :el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia. P A Arco menor Arco menor: puntos de la circunferencia que son interiores al ángulo central . .  Notación : AB arco menor. Arco mayor: es el resto de la circunferencia Notación: APB arco mayor B Sector circular Sector circular: es el área del círculo comprendida entre los lados del ángulo central y el arco menor Arco mayor Sea  un ángulo central y AB el arco que subtiende. La medida de los arcos se define como sigue: a) m ( AB) = , si AB es arco menor b) m (AB ) = 180, si AB es una semicircunferencia c) m (APB) = 360- , si APB es un arco mayor

20 . D .  SEMICIRCUNFERENCIA
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I SEMICIRCUNFERENCIA Semicircunferencia: Es aquel arco cuyo ángulo central es llano. . A C. . D .  Semicircunferencia 1 Semicircunferencia 2 B Todo ángulo central llano determina dos semicircunferencias. Por tanto todo diámetro también. Las semicircunferencias se denotan igual que se hace para los arcos mayores En este caso el diámetro AB determina las semicircunferencias ACB y ADB

21   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Punto extremo de un radio. Es aquel punto de dicho radio que está contenido en la circunferencia. Teorema: toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por su punto de tangencia t C1 Hipótesis: C1 es una circunferencia r es el radio t es tangente a C1 Tesis: T . . 0 r P . Proposiciones Justificaciones Sea P un punto de t exterior a la circunferencia 2. OP> OT Por ser P u punto exterior es la distancia de 0 a t Por ser la distancia más corta La tesis es Verdadera En conclusión, el Teorema: Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por su punto de tangencia, es Verdadero

22 Teorema: Si una recta es perpendicular al radio de una circunferencia
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema: Si una recta es perpendicular al radio de una circunferencia por su extremo, entonces es tangente a la circunferencia. t Hipótesis: C es una circunferencia de radio r t es una recta t  radio en P . 0 r P Tesis: t es tangente a C Demostración: Por Reducción al absurdo t no es tangente a C 1. T corta a C en doso mas puntos: P y R Hipótesis Temporal 2. ΔOPK es isósceles Def. de Δ Isósceles . 0 . 0 t r 3. OPR =  ORP Por hipótesis P . r Esto es absurdo ya que el Δ OPK tiene 2 ángulos rectos, en consecuencia la hipótesis temporal es falsa. R . Por tanto, la tesis es verdadera En conclusión, el Teorema: Si una recta es perpendicular al radio de una circunferencia por su extremo, entonces es tangente a la circunferencia, es Verdadero

23 . . . . .  Axioma de la medición de arcos.
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Axioma de la medición de arcos. Si A, P, B y Q son puntos que pertenecen a una circunferencia y están dispuestos de forma tal que APB sea un arco menor (o una semicircunferencia) y AQB el arco mayor correspondiente (o la otra semicircunferencia), y sea α = mAOB , entonces se cumple que: mAPB =α . . Q A mAQB = 360 −α .  . P . B Comentarios: observe que mAPB + mAQB = Si en particular APB y AQB son semicircunferencias, entonces mAPB = mAQB =180

24   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Axioma de la suma de arcos. Un punto interior divide a un arco en otros dos cuya suma es igual a la medida del primero. Esto es: mAPB =α mAQB = 360 −α . . Q A .  . P . En este caso: B mAB = mAP + mPB , como también que mAQB = mAQ + mQB .

25 Ejemplo: Calcule la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es 10
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Longitud de la circunferencia. La longitud de una circunferencia se calcula mediante la siguiente ecuación: S= π . d Donde: S : es la longitud de la circunferencia π : es una constante igual a d : Es el diámetro de la circunferencia Ejemplo: Calcule la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es 10 S = π.10 s = 31.42 s d o s d = 10 o Esta ecuación también puede expresarse en función del radio r: S = 2r . π R = 5 s En el caso de ejemplo el radio es 5, entonces: S = π o Por tanto la longitud de la circunferencia la misma: S = π = 31.42

26   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Longitud de un arco. La longitud de un arco AB, es el producto de la medida del arco mAB expresada en grados por el radio del arco. A Notación: sAB, “se lee longitud del arco AB” s  B . r Luego, o Ejemplo: Calcule la longitud s del arco AB, cuyo radio y medida son 2 y 45º, respectivamente. A S = 1.57 45o B . r = 2 o Nota: Cuando la medida del arco es constante el tamaño del radio es ditectamente proporcional a la longitud del arco.

27   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I A Radián. Representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Notación: rad. s . 1 radian B radio θ =360 s El ángulo completo θcircunfer que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes es: r:radio La mitad del ángulo θsemicircunfer que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes es: θsemicircunfer = π rad = 180 . r:radio θ =180 s La longitud de un arco se obtiene de multiplicar su medida (angular) expresada en radianes por el radio. sAB = mABrad ⋅ r

28   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Área del círculo (A): El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia perimetral del círculo dado. Está dada por las expresiones: . . diámetro radio A A Área de un sector circular. El área está dada por . P . r Q A= ½ mPQRrad ⋅ r2 . A . O R r

29 . 0 AB  CD  AB = CD PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA a) En una circunferencia o en circunferencias congruentes, dos cuerdas son iguales si y sólo si subtienden arcos iguales A C C1= C2 r1 r2 .O1 .02 AB  CD  AB = CD r1 r2 B D b) Todo diámetro perpendicular a una cuerda es mediatriz de la misma, bisectriz del ángulo central correspondiente y divide al arco en 2 arcos iguales. D . 0 r1 r1 LC A s B Q

30   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I C) En toda circunferencia o en circunferencias congruentes dos cuerdas son iguales si y sólo si, equidistan de centro B P . 0 C A P’ D

31 POSICIONES RELATIVAS DE LAS CIRCUNFERENCIAS
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I POSICIONES RELATIVAS DE LAS CIRCUNFERENCIAS Sea d la distancia entre los centros 01 y 02 de las circunferencias C1 y C2 de radios r1 y r2 ( r1 < r2) respectivamente. Entonces: = r1 + r2 1. C1 y C Son tangentes exteriormente sii t 01 02 r1 r2 r1 r2 d = r2 – r1 2. C1 y C2 son tangentes interiormente sii t r1 r2 01 02 r2 r1 d

32 3. Dos circunferencias son exteriores sii:
> r1 + r2 3. Dos circunferencias son exteriores sii:   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I 01 r1 r2 02 r1 r2 d 4. C1 es interior a C2 sii < r2 – r1 r2 02 01 r1 r2 r1 d 5. C1 y C2 son secantes sii r2 - r1 < < r1+ r2 r1 r2 02 01 r1 r2 d

33 ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son secantes a ella. .  Ángulo Suministrito: es aquel cuyo vértice está en la circunferencia siendo un lado secante y el otro tangente. . 

34 ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA Ángulo interior: Es aquel cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia. .  Ángulo exterior: Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y sus lados son secantes, tangentes o uno secante y el otro tangente. .   .  .

35   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema. Si dos rectas tangentes a una circunferencia de centro O se cortan en un punto P , dicho punto equidista de los puntos de tangencia y los ángulos que determina el segmento OP con ambas tangentes son congruentes. t Hipótesis: C es una circunferencia de radio r y centro O t y s son tangentes en A y B y se cortan en P . A r . r O Tesis: PA  PB α = α’ α LC r . P α´ B s Proposiciones Justificaciones 1.- OA  OB Por ser radios de la Circunferencia 2.- r t en A t y s son tangentes a C en el punto extremo de r 3.- r s en B Por ser radios de la Circunferencia 4.- PO es lado común Propiedad reflexiva 5.- △ POA  △ POB 4to Criterio de congruencia, (2 lados y el ángulo que se opone al mayor de ellos 6.- PA  PB Las 2 tesis son Verdaderas Lados y ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7.- α = α’ En conclusión, el Teorema: Si dos rectas tangentes a una circunferencia de centro O se cortan en un punto P , dicho punto equidista de los puntos de tangencia y los ángulos que determina el segmento OP con ambas tangentes son congruentes, es Verdadero

36   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I TEOREMA: Todo ANGULO INSCRITO en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente. A Caso A.- Un lado pasa por el centro  .  B C O  = ½  A Caso B.- El centro es interior al ángulo .  B  O  = ½  C A Caso C.- El centro es exterior al ángulo C   O . B  = ½ 

37 Caso A.- Un lado pasa por el centro A
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I TEOREMA: Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente. Caso A.- Un lado pasa por el centro Hipótesis - C1 con ángulo  inscrito -  es ángulo central correspondiente Tesis  = ½  A    B D O 1.- por ser radios 2.- < BAO = por ser BAO isósceles > 3.- por ser ángulo exterior 4.- por ser exterior 5.-  = ½  despeje La tesis 1 es Verdadera En conclusión el Teorema: Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente, es verdadero.

38   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Colorario: Todo ángulo inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del arco que subtiende. A  C B Cororario: Todos los ángulos inscritos en un mismo arco de circunferencia son congruentes. A 1 2 C 3 B B’ B’’ Cororario: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto .O A  C B

39   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I TEOREMA: Todo ángulo semi inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente. Hipótesis  es un ángulo semiinscrito en C  es ángulo central correspondiente Tesis  = ½  A C   B D . O Proposiciones Justificaciones 1.- DB es diámetro Por construcción 2.- <ABD = AB  al radio BD en su punto de tangencia 3.- = 90 - <CBD suma de <s y despeje 4.- <CBD= ½ <COD El < inscrito es la mitad del < central correspondiente 5.- = 90 -1/2 <COD Sust. de 4 en 3. 6.- = 1/2(180- <COD) Factor Común 1/2 7. = ½  sustitución La tesis es Verdadera En conclusión el Teorema: Todo ángulo semi inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente, es verdadero.

40   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema. Todo ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de los arcos que interceptan dicho ángulo y su opuesto por el vértice. C1 Hipótesis: D C es interior a C1 β O . Tesis: θ A B Proposiciones Justificaciones 1.- AC es una cuerda Construcción 2.- α = β + θ α es exterior al ∆ OAD 3.- β = 1/2 AB Todo ángulo inscrito a una C es igual a la mitad del Arco limitado por sus lados 4.- θ = 1/2 DC 5.- α = 1/2 AB + 1/2 DC Sustitución de de 2 y 3 en 1 6.- α = 1/2 (AB + DC) Factor común La tesis es Verdadera En conclusión el Teorema: Todo ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de los arcos que interceptan dicho ángulo y su opuesto por el vértice, es verdadero.

41   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema. Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados. C1 Hipótesis α es exterior a C1 A θ C Tesis α = ½ (AB – CD) β α B P1 D Proposiciones Justificaciones 1.- AD es una cuerda Construcción 2.- β = α + θ α es exterior al ∆ PAD 3.- α= β - θ despeje de α 4.- β = 1/2 AB Todo ángulo inscrito a una C es igual a la mitad del Arco limitado por sus lados 5.- θ = 1/2 DC 6.- α = 1/2 AB - 1/2 DC Sustitución de de 2 y 3 en 1 7.- α = 1/2 (AB - DC) Factor común La tesis es Verdadera En conclusión el Teorema: Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados., es verdadero.

42 . . . . C está circunscrita en el ∆ABC
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Circunferencia Circunscrita: es la circunferencia que pasa por los vértices del polígono y su radio se denota por R. del mismo modo, un polígono inscrito en una circunferencia es el que tiene todos sus vértices en la circunferencia. Si el polígono es un triángulo, el centro de la circunferencia es el CIRCUNCENTRO. A . . . C . C B C está circunscrita en el ∆ABC

43 C está inscrita en el ∆ABC
  O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Circunferencia Inscrita: es la circunferencia que es tangente a los lados de un polígono y su radio se designa con r. Si la circunferencia está inscrita a un triángulo, el centro de la circunferencia es el INCENTRO. A C   I  B  C C está inscrita en el ∆ABC

44   O A B C Radio Tangente Cuerda Diámetro Ma Mb Mc a b  I Teorema. A todo polígono regular se le puede inscribir una circunferencia y circunscribir otra. En un mismo polígono regular las circunferencias inscrita y circunscrita son concéntricas. Definición. En todo polígono regular definimos: Centro: Es el centro de las circunferencias inscrita y circunscrita. Radio: Es el radio de la circunferencia circunscrita o distancia del centro a cualquier vértice. Apotema: Es el radio de la circunferencia inscrita o distancia del centro a cualquier lado. C2 Radio . apotema O C1 C1: Está inscrita al polígono C2: Está cincunscrita al polígono