BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA

Presentación del tema: "BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA"— Transcripción de la presentación:

1 BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FISICO MATEMATICAS DOCTORADO EN FISICA APLICADA RESTRICCIONES COSMOLOGICAS A EXTENSIONES NO CONMUTATIVAS DEL MODELO ESTANDAR Tesista: Mónica Sánchez Arteaga Asesores: Dr. Cupatitzio Ramírez Romero Dr. Mario Alberto Maya Mendieta Junio 2010

2 TEORÍA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA
RESUMEN TEORÍA NO CONMUTATIVA Se describe un método para obtener teorías de campo no conmutativas a través del mapeo de Moyal-Weyl y éste lo que hace es dar un mapeo de campos conmutativos en campos no conmutativos, que corresponde a transformar las coordenadas conmutativas en no conmutativas. Y se describe otro método para teorías de norma a través del mapeo de Seiberg-Witten, para cualquier grupo de norma. El mapeo de Seiberg-Witten lo que hace es transformar los campos conmutativos a los campos no conmutativos. TEORÍA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA El formalismo de tiempo imaginario t=iT, aplicado a sistemas estadísticos, proporciona una forma de evaluar a la función de partición a temperatura T usando un método perturbativo a través de diagramas de Feynman, el cual es análogo al empleado en teoría cuántica de campos convencional a temperatura cero. Pero, el llamado formalismo de tiempo real tiene la propiedad de descomponer de forma simple a los propagadores, es decir, contienen una parte a temperatura cero y otra parte que depende de la temperatura. Se extiende este último formalismo introduciendo no conmutatividad con la intención de calcular los diagramas de Feynman no conmutativos a temperatura finita.

3 TEORIA NO CONMUTATIVA EVIDENCIA DEL ESPACIO TEMPORAL NO CONMUTATIVO
Dirac demuestra en teoría cuántica de campos se reemplazan las funciones definidas clásicamente por los operadores de acuerdo a A esto se le conoce como condición de Dirac. Una relación cualitativa del producto de operadores se obtiene de la relación de incertidumbre En general, dos operadores hermíticos A y B, con la relación de conmutación Tiene la relación de incertidumbre

4 Espacio no conmutativo: las coordenadas espacio temporales son reemplazadas por los generadores Hermitianos de un álgebra no conmutativa, los cuales obedecen la relación de conmutación (1) se llama tensor de no conmutatividad, es una constante y es antisimétrico. La relación de incertidumbre para este caso es : (2) Debido a esta relación, un punto espacio temporal es reemplazado por una celda de Planck y como resultado se obtiene un espacio borroso en lugar de un conjunto de puntos bien definidos en el espacio tiempo. De esta manera uno puede pensar en coordenadas espacio temporales ordinarias como parámetros de orden macroscópicos obtenidos por un espacio granulado en escalas más pequeñas. La escala fundamental esta definida como: (3)

5 OPERADORES DE WEYL (1) (2) (3) (4) (5)
Dada la función f(x) y sus correspondientes coeficientes de Fourier : (1) Se introduce el símbolo de Weyl de la forma (2) Sustituyendo (1) en (2) tenemos (3) Se define el mapeo entre campos y operadores como (4) Entonces tenemos (5) El operador es Hermitiano. Lo que hace el mapeo es transformar las coordenadas del espacio tiempo clásico a las coordenadas del espacio tiempo no conmutativo.

6 Por ejemplo, si tomamos un vector de un espacio vectorial y le aplicamos una transformación lineal:
En el espacio no conmutativo, juega el papel de la matriz de transformación de algebra lineal Si consideramos conmutativa en lugar de y, entonces de la ecuación (3) tenemos: Usando las propiedades de la delta de Dirac tenemos: En resumen, en el caso conmutativo , entonces se reduce a una función delta de Dirac: (6) Por lo que el operador de Weyl se convierte en el campo: (7)

7 Una forma sencilla para pasar de a es la siguiente: Trabajando con la transformada inversa de Fourier: Definimos la integral: (8) entonces: (9) tiene la propiedad de que es simétrica. Si consideramos no conmutativa entonces: Desarrollando el producto

8 (10) (11) (12) Definimos el producto simétrico de operadores como:
En general (10) Usando la definición de la integral (8) y la definición de producto simétrico de operadores (10) tenemos: (11) Por lo tanto, una forma sencilla para pasar de a es a través del producto simétrico de operadores y la definición de la integral: (12)

9 CUANTIZACIÓN DE WEYL En el marco de la cuantización, Weyl da una receta de cómo asociar un operador con una función clásica de variables canónicas. Esta receta se puede utilizar para asociar un elemento del espacio no conmutativo en términos de un conjunto de generadores con una función de variables clásicas Usando para los elementos del espacio no conmutativo y x para las variables clásicas conmutativas , se tiene: Sustituyendo la forma de Trabajando con la segunda integral y usando: y Tenemos:

10 MAPEO DE MOYAL-WEYL (13) (14) Integrando por partes
Finalmente obtenemos (13) se le llama producto estrella o producto de Moyal-Weyl y esta definido como: (14) MAPEO DE MOYAL-WEYL Una función no conmutativa esta definida como: El mapeo de Moyal-Weyl hace que una función conmutativa normal sea mapeada a una función no conmutativa: El producto de dos funciones conmutativas es mapeado al producto estrella de f y g no conmutativas

11 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL PRODUCTO ESTRELLA
Asociativa Distributiva En el espacio infinito, la divergencia se hace cero, por lo que: Cíclica Lo anterior se tomó de artículos que mostraremos al final y se logró reproducir los cálculos. Esto con la finalidad de familiarizarnos con la notación y poder entender el significado físico de los resultados.

12 TEORIAS DE NORMA NO ABELIANAS SOBRE ESPACIOS NO CONMUTATIVOS
Seiberg y Witten argumentaron que las teorías de norma no conmutativas son equivalentes a las teorías de norma conmutativas y en particular en las que existe un mapeo de un campo de norma conmutativo a uno no conmutativo, que son compatibles con la estructura de norma de cada uno. Tomemos en cuenta las teorías de norma sobre espacios no conmutativos, definidas por * La ecuación que define el mapeo de Seiberg-Witten requiere de que la invariancia de norma se conserve en el siguiente sentido. Dados el campo de norma conmutativo ai y el parámetro de norma de la teoría conmutativa α, la transformación de norma infinitesimal es: Dados el campo de norma no conmutativo Ai y el parámetro de norma no conmutativo Λ, la transformación de norma infinitesimal es: * En una teoría de norma sobre coordenadas no conmutativas, la transformación de norma conmutativa es reemplazada por: (1)

13 El hecho de que dos funciones no conmuten refleja las propiedades algebraicas del espacio de coordenadas. Como consecuencia, dos transformaciones del tipo (1) no pueden ser reducidas al conmutador matricial de los generadores del álgebra de Lie: Esto implica que los parámetros L y S no pueden ser valores del álgebra de Lie, tienen que ser valores del álgebra envolvente: Los puntos indican una suma sobre una base del vector espacial. Productos completamente simetrizados forman tal base: Conmutadores de las transformaciones de norma infinitesimales: Reescribiendo la transformación de norma no conmutativa: Para la estructura del álgebra envolvente tenemos: * (2) Para resolver esta ecuación es necesario expander el producto estrella en serie de potencias, introduciendo un parámetro h:

14 Expansión de Λα[a] en el parámetro h:
A orden cero en h, la ecuación (2) se convierte en: donde A primer orden en h, la ecuación (2) es: verificándose que una solución para esta ecuación es: A segundo orden en h, la ecuación (2) es: Se verificó que una solución para esta ecuación es:

15 Teoría de campos a temperatura finita
FORMALISMO DE TIEMPO IMAGINARIO CONCEPTOS GENERALES DE EQUILIBRIO TERMODINAMICO: El comportamiento estadístico de un sistema cuántico en equilibrio térmico es estudiado a través de un ensamble adecuado. Se define la matriz de densidad para el sistema como: donde β representa el inverso de la temperatura en equilibrio y H es el Hamiltoniano correspondiente al sistema. Por ejemplo, para el ensamble gran canónico: donde μ es el potencial químico y N son los operadores de número para el sistema en estudio. Dada la matriz de densidad, podemos definir la función de partición del sistema como: La temperatura aparece cuando tenemos un conjunto muy grande de partículas y la información de la interacción la encontramos en la función de partición a través del Hamiltoniano.

16 El promedio en el ensamble de cualquier observable A se define como:
(3) esta ecuación nos dice que a cada observable se le asocia un operador. El promedio térmico de la función de cualesquiera dos operadores A y B, con diferentes coordenadas puede escribirse de como: (4) Para cualquier operador de Schrödinger arbitrario A, tenemos el operador de Heisenberg AH(t) definido como: (5) Entonces, para una función de correlación térmica general de dos operadores de Heisenberg AH(t) y BH(t), podemos escribir (6) Esta se le conoce como relaciones de Kubo-Martin-Schwinger (KMS).

17 FORMALISMO DE MATSUBARA
El formalismo de Matsubara proporciona una manera de evaluar la función de partición perturbativamente a través de diagramas de Feynman, el cual es análogo al empleado en teoría cuántica de campos convencional a temperatura cero. Si en la definición de la matriz de densidad, el Hamiltoniano total de un sistema puede separarse en una parte libre y otra de interacción, entonces podemos escribir: (7) y la matriz de densidad toma la forma: (8) donde ρ₀(β) es la matriz de densidad para la parte libre y S(β) es la matriz de densidad para la parte de interacción. Las ecuaciones de evolución en el intervalo 0 ≤ τ ≤ β de ρ₀(β) y S(β) son: (9) con la definición HI′(τ)≡ρ₀′(β)H′ρ₀(β) que, comparando con la teoría cuántica de campos a temperatura cero, ésta define una representación de las interacciones:.

18 Si τ fuese compleja, entonces para valores imaginarios de τ, la tranformación τ→iτ′, es unitaria, es decir, Por este motivo, al formalismo de Matsubara se le conoce como formalismo de tiempo imaginario. integrando (9) se obtiene que: (10) Las funciones de Green en dos puntos pueden definirse, en la representación de Heisenberg, como: (11) El orden τ, es sensible a la paridad de Grassmann, definida como: (12) donde el signo menos en el segundo término es para campos fermiónicos y el signo más para campos bosónicos. La relación entre la representación de interacción y la representación de Heisenberg toma la forma: (13) Las función de Green en el intervalo 0 ≤ τ , τ′ ≤ β puede escribirse como: (14) el subíndice "0" indica que los promedios estadísticos son calculados en un ensamble no interactuante.

19 FRECUENCIA DE MATSUBARA
De la definición de paridad de Grassmann, así como de la relación entre las representaciones de Heisenberg y Schrödinger, se puede mostrar que las funciones de Green dependen sólo de la diferencia τ-τ′. Por lo que el argumento de las funciones tiene el intervalo –β ≤ τ-τ′ ≤ β. Como quiera que estén definidas las funciones de Green con un intervalo a tiempo finito, la correspondiente transformación de Fourier puede involucrar solo frecuencias discretas. En general, podemos escribir: (16) donde ωn=(nπ)/β con n=0,±1,±2⋯ Los modos de integración pares contribuyen a las funciones de Green bosónicas mientras que los impares contribuyen a las funciones de Green fermiónicas.. Esto puede verse si consideramos: (17) y para τ > 0, (18) entonces, podemos escribir la segunda relación de (16) como: (19)

20 (20) Entonces concluimos que:
Estos se les conoce como las frecuencias Matsubara. Escribiendo todas las coordenadas tenemos: (20)

21 Ahora estamos listos para obtener la forma del propagador de cualquier teoría. Por ejemplo, si tomamos la ecuación de Klein-Gordon bosónica, la función de Green a temperatura cero satisface: (21) Cuando se rota hacia el tiempo imaginario, t → -iτ y G → -g. Entonces, la función de Green a temperatura finita satisface la ecuación siguiente: (22) Sustituyendo la primera ecuación de (20) así como la forma discreta de las funciones delta de Dirac, tenemos que la función de Green en el espacio de momentos, se convierte en (23) con la correspondiente ωn. La función de Green para los fermiones puede ser obtenida de la misma forma.

22 ¿Cuál es el objetivo del trabajo?
Con el formalismo de tiempo imaginario encontramos los propagadores de bosón y fermión a temperatura finita. Pero, necesitamos que los propagadores contengan una descomposición simple, es decir, contengan una parte a temperatura cero y otra parte que dependa de la temperatura la cual, como veremos después, es una propiedad de la formulación de tiempo real a temperatura finita de teoría de campos. Extenderemos este formalismo introduciendo no conmutatividad con la intención de calcular los diagramas de Feynman no conmutativos a temperatura finita. ¿Cuál es el objetivo del trabajo? Con la unión estas dos teorías queremos calcular los propagadores de bosón y fermión no conmutativos a temperatura finita. Con esto se espera tener una publicación y si queda tiempo, vamos a determinar la razón de decaimiento del proceso en teorías no conmutativas a temperatura finita y examinar las cotas establecidas por los valores de los parámetros cosmológicos.

23 REFERENCIAS [1] R. J. Szabo, Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces. arXiv:hep-th/ (2006). [2] Weigert. Baker-Campbell-Hausdorff Relation for Special Unitary Groups SU(N). Journal of Physics A. 30(24) [3] Bjorken-Drell, Relativistic Quantum Mechanics, Editorial McGraw-Hill, 1945. [4] J. Madore. Gauge Theory on Noncommutative Spaces. arXiv:hep-th/ (2000). [5] B. Jurco. arXiv:hep-th/ (2001). [6] D. Brace. Noabelian Gauge Theories on Noncommutative Spaces. arXiv:hep-th/ (2001). [7] B. Jurco. Construction of non-Abelian Gauges Theories on Noncommutative Spaces. The European Physical Journal C21, (2001). [8] A. Das. Finite Temperature Field Theory. Editorial Word Scientific, 1999. [9] J. I. Kapusta. Finite Temperature Field Theory. Editorial Cambridge University Press [10] M. Sánchez y M. Maya. Contribución de Modelos 331 y LR al decaimiento del Z en un medio a temperatura T. Trabajo presentado en el LII Congreso Nacional de Física 2009. [11] D. Brace et al. arXiv:hep-th/ (2001). [12] B Jurco et al. The European Physical Journal C (0771) 2001.