Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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1 Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES EXACTAS

2 Diferencial total Dada la función z=f(x,y), se dice que la expresión: es su diferencial total.

3 Ejemplo Si z=4x2y-2xy3+3x Entonces: dz = (8xy-2y3+3)dx + (4x2-6xy2)dy
Es el diferencial total de la función z.

4 Ecuación diferencial exacta
La igualdad: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si y sólo si el primer miembro de la igualdad es una diferencial total.

5 Solución de una ED exacta
Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es obtener una función f(x,y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada.

6 Solución de una ED exacta...
Usando la notación de la diferenciación parcial, tenemos: Si volvemos a derivar estas ecuaciones, pero ahora con respecto a la otra variable: Si las derivadas parciales son continuas: lo que significa que:

7 Teorema La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 sea exacta es que:

8 Método de solución Dada una ecuación diferencial, vemos si es exacta.
Aplicamos la definición: Integramos con respecto a x o con respecto a y:

9 Método de solución… Al resultado lo derivamos con respecto a y o con respecto a x: Igualamos de nuevo el resultado a N(x,y) o a M(x,y). Integramos por última vez esta ecuación.

10 Solución de ED exactas Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. 2. 3. 4.

11 Factores integrantes A veces, para una ecuación diferencial no exacta M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es posible encontrar un factor integrante m(x,y) de modo que: m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0 sea una diferencial exacta.

12 Factores integrantes…
En un intento por encontrar m, regresamos al criterio de exactitud. La ecuación: m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0 es exacta si y sólo si: (mM)y=(mN)x. Por la regla para la derivada del producto, tenemos que: mMy+myM = mNx+mxN pero también: mxN-myM=(My-Nx)m

13 Factores integrantes…
En la ecuación mxN-myM=(My-Nx)m M, N, My y Nx son funciones conocidas de x y y, la dificultad para determinar la incógnita m(x,y) es que se debe resolver una ecuación diferencial parcial. Como no estamos preparados para ello, se hace una suposición “simplificadora”. Suponga que m es una función de una variable.

14 Factores integrantes…
Suponga, por ejemplo, que m depende sólo de x. En este caso: Así: mxN-myM=(My-Nx)m se puede escribir como Estamos en una situación sin solución si el cociente (My-Nx)/N depende de x y y. Sin embargo si después de simplificar, el cociente depende sólo de x, entonces la ecuación es una ED ordinaria de primer orden.

15 Factores integrantes…
Esto nos conduce a que: De manera análoga, se deduce que si m depende sólo de la variable y, entonces: En este caso, si el cociente (Nx-My)/M depende solamente de y, entonces la ecuación se puede resolver para m y en este caso:

16 Problemas Resuelva la ecuación diferencial mediante la determinación de un factor integrante adecuado. 1. 2. 3.