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Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa.

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2 Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición. Y se habla de ella como matemática práctica.

3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS CATETO OPUESTO A CATETO CONTIGUO A HIPOTENUSA SENOCOSECANTE COSENOSECANTE TANGENTECOTANGENTE

4 12 35 H TEOREMA DE PITÁGORAS EJEMPLO :

5 SISTEMA SEXAGESIMAL La circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada una de ellas es un grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En la calculadora aparece con la denominación DEG Notación: 30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’ MEDIDAS DE ÁNGULOS:

6 RADIANES Un radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia Una circunferencia mide 2 radios y como cada radio da lugar a un radián: 360º equivalen a 2 radianes ¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián? 360º ___________ 2 rad xº___________ 1 rad x = 360º/2 = 57,29º SISTEMA CENTESIMAL Cada cuadrante se divide en 100 partes. En la calculadora aparece con la denominación GRA. Actualmente apenas se utiliza.

7   Ángulos equivalentes : Como 360º ____ 2  rad entonces 180º ____ rad 90º ____ /2 rad 30º ____ /6 rad 60º ______2/6 =/3 rad 270º ______ 3/2 rad Ejemplo: Cuántos radianes son 300º 180º ____ rad 300º ____ x rad entonces x=300º/180º = 5/3 rad

8 De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la unidad. De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos: R = 1 Circunferencia goniométrica : Observamos que entonces que

9 Construimos triángulos rectángulos semejantes que contengan al ángulo   Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que:  Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se calculen. Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo diferencian de los demás ángulos.

10 SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 a A sen  cos  sen  cos  sen  cos  sen  cos  b B g C d D -1 0 1 El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 1 ++ __ SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO _ _ + +

11 TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 A a tg  cotg  tg  cotg  tg  cotg  tg  cotg  g C d D B b La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor. + _ + _ TANGENTE Y COTANGENTE

12 Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad: IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS Como consecuencia de la primera igualdad se cumple: -1 ≤ sen  ≤ 1 -1 ≤ cos  ≤ 1 Dividiendo ambos miembros entre cos 2 a: Y dividiendo entre sen 2 a: Como hemos visto antes tenemos que

13 2 3 EJEMPLO 1 Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que sen  =2/3 calcula el cos  y tan 

14 EJEMPLO 2 Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que cos α=0,63 calcula el sen α y tan α

15 EJEMPLO 3 Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que tagα=2 calcula el sen α y cosα

16 RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º ( ) ( ) Triángulo rectángulo isósceles Triángulo rectángulo mitad de un triángulo equilátero

17 R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º sen  cos  sen  1 Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 cos 90º = 0 Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, sen 0º = 0 cos 0º = 1 radio= 1 1 P(x,y) O X Y 

18 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º Ángulo coseno seno tangente 0º100 90º01 ∞ 180º- 100 270º0 ∞

19 1) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1 er CUADRANTE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS º º -  sen  = cos ( 90º -  ) cos  = sen ( 90º -  ) tg  = ctg ( 90º - ) FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

20 º º -  sen (180º -  ) = sen  tg (180º -  ) = - tg  cos (180º -  ) = - cos  2) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 2 0 CUADRANTE b) ÁNGULOS  y /2 +  sen ( /2 +  ) = cos  cos ( /2 +  ) = - sen  tg ( /2 +  ) = - cotg  a) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

21 a)  y 180º +  sen (180º +  ) = - sen  cos (180º +  ) = - cos  tg (180º +  ) = tg  b)  y 270 -  sen (270º-) = - cos  cos (270º-) = - sen a tg (270º-a) = cotg a 3) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 3 er CUADRANTE

22 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CASO 1 : DATOS, HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27º y la hipotenusa 46m. Halla los dos catetos )

23 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CASO 2 : DATOS ; LOS DOS CATETOS Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17cm y 40cm. Hallar los ángulos del triángulo )

24 PROBLEMA 1. Cuando los rayos del sol forman 40º con el suelo, la sombra de un árbol mide de 18m. ¿Cuál es su altura? PROBLEMA 2. Una escalera de 3m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forman la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

25 ÁNGULOS VERTICALES Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual ÁNGULO DE ELEVACIÓN ÁNGULO DE DEPRESIÓN HORIZONTAL VISUAL ) )

26 Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 53 0 y 37 0 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis? EJEMPLO : SOLUCIÓN ) ) 70 h h ) x ) +


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