Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María EconometríaEconometría Modelos Pronósticos Prof. Dr. Héctor Allende.

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1 Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María EconometríaEconometría Modelos Pronósticos Prof. Dr. Héctor Allende

2 Héctor Allende O. 2 Modelos de Box-Jenkins. RECORDEMOS X proceso estocástico ssi la función es tal que sucesión de variables aleatorias Dado X (p.e.), se definen: X, se dice p.e. e. estricto ssi Un X un p.e. e. débil ssi Se llaman autocovarianza de X y autocorrelación de X a:

3 Héctor Allende O. 3 Propiedades: Procesos de medias móviles (MA). Sea X un p.e. Se dirá MA(q) si existe un ruido blanco y reales tal que Propiedades: 1) Todo es un MA(q) es p.e.e.

4 Héctor Allende O. 4 4.2 Procesos Autoregresivos (AR). Sea X un p.e., se dirá autoregresivo general de orden p si existe un ruido blanco y reales tal que Propiedades: AR(p) Un no es en general estacionario. Un AR(P) es estacionario ssi las raíces de están fuera del círculo unitario. Todo X p.e. AR(p): Autoregresivos de media móvil (ARMA(p;q)). X se dirá un ARMA(p,q) general si existe un ruido blanco reales

5 Héctor Allende O. 5 Anotando Se tiene que: Propiedades: ARMA(p,q) 1. X  ARMA(p,q) es estacionario ssi no tiene raíces dentro del círculo unitario. 2. X  ARMA(p,q) es invertible ssi no tiene raíces dentro del círculo unitario. 3. X  ARMA(p,q) es donde función de autocovarianza cruzada. 4. X  ARMA(p,q) 

6 Héctor Allende O. 6 X se dirá un ARIMA(p,d,q) ssi es un p.e.e. ARMA(p,q) con Tres formas de visualizar un ARIMA. Ejemplo: ARIMA(1,1,1) 4.4 Proceso ARIMA.

7 Héctor Allende O. Diremos que X es un ARIMA estacional de orden P,D,Q y período “ s” si con raíces fuera del disco unitario grados P y Q: X  ARIMA(P,D,Q) s Es decir Obs: Diremos que X es un proceso ARIMA estacional multiplicativo de ordenes P,D,Q, p,d,q y período “ S” si existen polinomios de grados P, Q, p y q respectivamente, con sus raíces fuera del círculo unitario y un ruído blanco A: Notación: X  ARIMA(p,d,q)  (P,D,Q) s 7 4.5 ARIMA estacional.

8 Héctor Allende O. 8 Método de Box-Jenkins. Se postula una clase de modelos ARIMA Identificación del modelo tentativo: p, d, q, P, D, Q Estimación de Parámetros del modelo tentativo Verificación de diagnóstico ¿Es adecuado el modelo? Uso del modelo con fines de: Control, Predicción.

9 Héctor Allende O. 9 4.5 Identificación de modelos ARIMA. Sea X p.e.e.

10 Héctor Allende O. 10 4.6 Estimación de parámetros. Se pueden utilizar los siguientes métodos de estimación:  Mínimos cuadrados condicionados [Box and Jenkins].  Máxima verosimilitud [ Denby and Martin].  GM-estimadores [ Allende and Heiler].  Etc. 4.7 Verificación y diagnóstico. Dado Todos se basan en el análisis de los residuos. Se postula :

11 Héctor Allende O. 11 Test de bondad de ajuste. Test de Ljung-Box (1978). Función de autocovarianza residual Test robusto de Portmanteau (Allende; Galbiati, 1996).

12 Héctor Allende O. 12 4.8 Predicciones en modelos ARMA. Sean los mejores predictores lineales de dado Por la linealidad de los predictores tenemos que el mejor predictor de Además,

13 Héctor Allende O. 13 4.9 Predicciones en modelos ARIMA. Consideremos la predicción de un modelo ARIMA(p,d,q) El mejor predictor lineal de a partir de o bien

14 Héctor Allende O. 14 Luego, el mejor predictor lineal de es Nota: Los errores de predicción no están correlacionados hacia adelante

15 Héctor Allende O. 15 4.9 Algorítmo de Predicción en ARIMA(p,d,q). Usando A partir de n tenemos Usando podemos estima:

16 Héctor Allende O. 16 Actualización de las predicciones  Luego, un intervalo de confianza para

17 Héctor Allende O. 17 Ejemplo: Dada la serie