Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Presentación del tema: "Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales."— Transcripción de la presentación:

1 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos y geométricos

2 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Decaimiento radioactivo Ley de enfriamiento de Newton Drenado de un tanque Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

3 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Decaimiento radioactivo ¿Cómo calcular la desintegración? Hipótesis La rapidez, dy/dt, a la que se desintegran los núcleos de una sustancia es proporcional a la cantidad, y(t) de la sustancia restante en el tiempo t Modelo matemático

4 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Problema en hospital El tecenio 99m se utiliza en la detección de cáncer de mama. Esta sustancia decae radioactivamente de acuerdo con el modelo de decaimiento radioactivo, donde k = -0.1155/h. La corta vida del tecenio 99m no pone en peligro al paciente. Sin embargo, el radio-isótopo debe fabricarse en un ciclotrón. Como los hospitales no tienen ciclotrones, las dosis de tecenio 99m deben ordenarse de antemano con los proveedores médicos.ciclotrón calcule la cantidad del radionúclido que debe solicitar el hospital para lograr administrar la dosis adecuada. Suponga que debe administrarse una dosis de 5 milicuries (mCi) de tecenio 99m a un paciente. Estime el tiempo de entrega desde el lugar de producción hasta la llegada a la sala de tratamiento del hospital como 24 horas y calcule la cantidad del radionúclido que debe solicitar el hospital para lograr administrar la dosis adecuada.

5 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ciclotrón Un ciclotrón es un tipo de acelerador de partículas en forma circular. El ciclotrón fue inventado por Ernest O. Lawrence de la universidad de Berkeley en 1929

6 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Decaimiento del tecenio 99m

7 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ley de enfriamiento de Newton ¿Cómo varía la temperatura de un cuerpo en el tiempo? Hipótesis La razón de cambio en la temperatura T de un cuerpo en el instante t es proporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instante t y la temperatura del cuerpo en el instante t Modelo matemático

8 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas ¿A qué hora murió? Un detective llega a la escena de un crimen al medio día de un frío día de diciembre: 16°C. Inmediatamente toma la temperatura del cuerpo: 34.5°C. El detective sale a comer cuando regresa a las 13:00 encuentra que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C. ¿A qué hora ocurrió el homicidio?. Considere que la temperatura normal de una persona es de 37°C Modelo matemático

9 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Ecuación diferencial LINEAL de PRIMER ORDEN Coeficientes constantes No homogénea Solución general T h (t)T p (t)

10 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas t real = 12 - t Variación de la temperatura del cuerpo Hora de homicidio: 9:08

11 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Drenado de un tanque L = 10 ft h(t) = ? ¿Cuál es la variación de la altura respecto del tiempo en el agua en el tanque? r h 0 = 10 ft V V r0r0 V (a) (b)(c) ¿Cuál tanque se vacía más rápido?

12 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Modelo matemático A h es el área del orificio A w es el área del espejo del agua k es una constante empírica para considerar la forma del orificio g = 32 ft/s 2

13 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas V = 1000 ft 3 El área de la sección transversal del cilindro A es igual a la del cubo Todos los recipientes contienen el mismo volumen de agua

14 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Efecto de la constante k

15 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Problema de valores en la frontera Modelo matemático Condiciones de frontera

16 Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas Calcule la deflexión máxima en la viga considerando los datos siguientes: Material de la viga: Acero (E = 200 GPa) Dimensiones de su sección transversal: b = 0.30 m, h = 0.30 m Largo de la viga: L = 6 m Carga distribuida: 19,620 N/m