Cálculo diferencial e integral de una variable 1 Introducción a las E.D.O.

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1 Cálculo diferencial e integral de una variable 1 Introducción a las E.D.O.

2 Cálculo diferencial e integral de una variable 2 Modelos matemáticos que conducen a la resolución de EDO. Conocido (en general de forma experimental) las leyes que rigen el fenómeno, se desea formular un modelo matemático que lo describa. La descripción matemática de estos fenómenos le llamaremos modelo matemático.

3 Cálculo diferencial e integral de una variable 3 La acción de obtener un modelo se llama modelar y este proceso debe comenzar con: Identificación de las variables que intervienen en el problema. Formular un conjunto razonable de hipótesis acerca del problema.

4 Cálculo diferencial e integral de una variable 4 Cultura Mochica Todos los organismos vivos absorben carbono radiactivo, forma inestable de carbono que tiene una vida media de unos 5.730 años. Durante su vida, un organismo renueva de forma continua su provisión de radiocarbono al respirar y al comer. Tras su muerte, el organismo se convierte en un fósil y el carbono 14 decae sin ser reemplazado. Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil. Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Todos los organismos vivos absorben carbono radiactivo, forma inestable de carbono que tiene una vida media de unos 5.730 años. Durante su vida, un organismo renueva de forma continua su provisión de radiocarbono al respirar y al comer. Tras su muerte, el organismo se convierte en un fósil y el carbono 14 decae sin ser reemplazado. Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil. Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

5 Cálculo diferencial e integral de una variable 5 èDesintegración radiactiva Si x es la cantidad de sustancia no desintegrada en el instante t de tiempo entonces la velocidad de desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia que se desintegra. La E. D. O que rige este fenómeno físico es donde k < 0 es la constante de desintegración que varia de una sustancia a otra.

6 Cálculo diferencial e integral de una variable 6 Crecimiento de una población Experimentalmente puede comprobarse que: La rapidez con que una población P crece, en un instante t cualquiera, es proporcional a la población presente en dicho instante La rapidez con que una población P crece, en un instante t cualquiera, es proporcional a la población presente en dicho instante. Inmediatamente podemos escribir donde k > 0 es una constante de proporcionalidad La disciplina que estudia la población se conoce como demografía y analiza el tamaño, composición y distribución de la población, sus patrones de cambio a lo largo de los años en función de nacimientos, defunciones y migración, y los determinantes y consecuencias de estos cambios. El estudio de la población proporciona una información de interés para las tareas de planificación (especialmente administrativas) en sectores como sanidad, educación, vivienda, seguridad social, empleo y conservación del medio ambiente. Estos estudios también proporcionan los datos necesarios para formular políticas gubernamentales de población, para modificar tendencias demográficas y conseguir objetivos económicos y sociales. Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. La disciplina que estudia la población se conoce como demografía y analiza el tamaño, composición y distribución de la población, sus patrones de cambio a lo largo de los años en función de nacimientos, defunciones y migración, y los determinantes y consecuencias de estos cambios. El estudio de la población proporciona una información de interés para las tareas de planificación (especialmente administrativas) en sectores como sanidad, educación, vivienda, seguridad social, empleo y conservación del medio ambiente. Estos estudios también proporcionan los datos necesarios para formular políticas gubernamentales de población, para modificar tendencias demográficas y conseguir objetivos económicos y sociales. Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

7 Cálculo diferencial e integral de una variable 7 Un cultivo tiene una cantidad inicial P 0 de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad medida de bacterias es. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el momento t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial. Ejemplo 1

8 Cálculo diferencial e integral de una variable 8 Ejemplo 2 Un reactor de reproducción convierte el uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se tiene que se ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial, A 0, de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de ese isótopo, si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante. Ejemplo 3 Se analizó un hueso fosificado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil.

9 Cálculo diferencial e integral de una variable 9 Trayectorias ortogonales.

10 Cálculo diferencial e integral de una variable 10 Definición Dada una familia uniparametrica de curvas del plano F(x,y,C) = 0 se dice que la familia G(x,y,C) = 0 es una familia de trayectorias ortogonales de la otra si todas las curvas de una se cortan ortogonalmente con todas las curvas de la otra.

11 Cálculo diferencial e integral de una variable 11 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia a) b) Ejemplo 4 Muestre que las familias de curvas son ortogonales.