OSCILACIONES FISI 3012 Copyright © H Pérez-Kraft

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1 OSCILACIONES FISI 3012 Copyright © 2005-8 H Pérez-Kraft
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2 OSCILACIONES OBJETIVOS
Estudiar las características del movimiento vibracional, específicamente del movimiento armónico simple Aprender y reconocer los términos que describen al movimiento vibracional Analizar el movimiento armónico simple de un resorte y de un péndulo a base de sus ecuaciones de posición, velocidad y aceleración Reconocer de cuáles factores depende el período del movimiento armónico simple de un resorte y de un péndulo

3 OSCILACIONES Diferenciar entre oscilaciones continuas, amortiguadas y forzadas Reconocer cuándo un sistema puede entrar en resonancia y qué ocurre cuando un sistema entra en resonancia Analizar el movimiento armónico simple en el contexto de la energía

4 OSCILACIONES CONCEPTOS Movimiento vibracional
Movimiento que se caracteriza por el hecho de que un sistema se mueve de un lado hacia otro a partir de una posición de equilibrio Se conoce también como Movimiento oscilatorio Movimiento cíclico Movimiento periódico Movimiento senosoidal Movimiento armónico simple

5 OSCILACIONES Para que un sistema lo ejecute se requiere un agente de restauración Una fuerza o un torque que lo tienda a regresar a su posición de equilibrio tienda a restaurar el equilibrio del sistema En el caso del resorte, es la fuerza elástica (Fe) Fe = - kx ~ x es la distancia a la cual se encuentra de su posición de equilibrio ~ k es una constante del resorte que se conoce como la “constante de fuerza” del resorte o rigidez ~ el negativo surge porque, cuando las posiciones son positivas, la dirección de la fuerza es negativa y viceversa

6 OSCILACIONES En el caso del péndulo simple, es un torque generado por su propio peso t = - m g L sin ø ~ m es la masa del péndulo ~ L es la longitud del péndulo ~ ø es el ángulo que forma la cuerda con una vertical ~ el negativo surge también porque, cuando las posiciones angulares son positivas, la dirección del torque es negativo y viceversa

7 OSCILACIONES TERMINOLOGIA Posición de equilibrio del sistema Ciclo (c)
posición en donde el sistema esta quieto y al que eventualmente llega cuando cesan las vibraciones Ciclo (c) trayectoria cerrada que continuamente se repite se completa cada vez que el sistema regresa a su punto de partida Amplitud (A) la distancia máxima a partir de la posición de equilibrio del sistema en un ciclo, un sistema recorre una distancia equivalente a cuatro veces su amplitud

8 OSCILACIONES Frecuencia (f) Frecuencia angular (w) Periodo (T)
cuantas vibraciones un sistema completa por unidad de tiempo f = n/t (en ciclos/sec) Frecuencia angular (w) w=2pf (en rad/sec) Periodo (T) cuanto tiempo se tarda un sistema en completar una vibración T = t/n = 1/f

9 OSCILACIONES Movimiento armónico simple
La aceleración del sistema es proporcional a su posición El periodo del movimiento es independiente de la amplitud

10 OSCILACIONES SISTEMAS Resorte
Cuando estiramos un resorte a partir de su posición de equilibrio y luego lo soltamos, ocurren cambios no-uniformes tanto en su desplazamiento como en su velocidad y como en su aceleración Esto es asi porque la fuerza que mueve al resorte es la fuerza elástica que no es una fuerza constante Fe = - kx esta es la fuerza que lo acelera, de manera que, como SF = ma entonces a = - (k/m) x

11 OSCILACIONES Cuando estiramos un resorte a partir de su posición de equilibrio y luego lo soltamos, ocurren cambios no-uniformes tanto en su desplazamiento como en su velocidad y como en su aceleración F Fe x=0 En el momento en el cual soltamos al resorte x = +A v = 0 a = - (k/m) x = - (k/m) [+A] = - amax +A

12 OSCILACIONES x=0 x = 0 a = - (k/m) x = - (k/m) [0] = 0
Cuando pase por la posición de equilibrio del resorte, al cabo de 1/4 de ciclo x=0 x = 0 v = - vmax a = - (k/m) x = - (k/m) [0] = 0

13 OSCILACIONES x=-A x=0 x = -A Fe
Cuando llegue al extremo izquierdo de su movimiento, al cabo de 1/2 ciclo Fe x=-A x=0 x = -A v = 0 a = - (k/m) x = - (k/m) [-A] = + (k/m) A = + amax

14 OSCILACIONES x=0 x = 0 a = - (k/m) x = - (k/m) [0] = 0
Cuando nuevamente pase por su posición de equilibrio, al cabo de 3/4 de ciclo x=0 x = 0 v = + vmax a = - (k/m) x = - (k/m) [0] = 0

15 OSCILACIONES Fe x=0 x = +A a = - (k/m) x = - (k/m) [+A] = - amax +A
Cuando regrese a su punto de partida a la derecha de su posición de equilibrio, al cabo de 1 ciclo Fe x=0 x = +A v = 0 a = - (k/m) x = - (k/m) [+A] = - amax +A

16 OSCILACIONES ¼ c ½ c ¾ c 1 c t x v a Resumiendo todos estos valores:
+A -amax ¼ c -vmax ½ c -A +amax ¾ c +vmax 1 c

17 OSCILACIONES Si construímos una gráfica de x vs t x t
representa la gráfica del la función del coseno, por eso x(t) = A cos q = A cos wt = A cos 2pft en términos generales la podemos expresar como x(t) = A cos (wt + f) = A cos (2pft + f) y, más generalmente, x(t) = A cos (2pft + f) + B sin (2pft + f)

18 OSCILACIONES La gráfica de v vs t v t
representa la gráfica del la función del seno con una diferencia de fase de p radianes, por eso v(t) = - vmax sin q = - vmax sin wt = - vmax sin 2pft la cual en términos generales podemos expresar como v(t) = - vmax sin (wt + f) = - vmax sin (2pft + f)

19 OSCILACIONES La gráfica de a vs t a t
representa la gráfica del la función del coseno con una diferencia de fase de p radianes también, por eso a(t) = - amax cos q = - amax cos wt = - amax cos 2pft la cual en términos generales podemos expresar como a(t) = - amax cos (wt + f) = - amax cos (2pft + f)

20 OSCILACIONES Matemáticamente x(t) = A cos (2pft + f) v(t) = dx(t) /dt
v(t) = - 2pfA sin (2pft + f) = - vmax sin (2pft + f) vmax = 2pfA a(t) = dv(t) /dt a(t) = - 4p²f² A cos (2pft + f) = - amax cos (2pft + f) amax=4p²f² A a(t) = - 4p²f² [A cos (2pft + f)] = - 4p²f² x(t) Combinando las dos definiciones para la aceleración del resorte - (k/m) x = - 4p²f² x k/m = 4p²f² f² = (k/4p² m) = (1/T)²

21 OSCILACIONES T² = 4 p² m/k MAS del resorte f² = (k/4p² m) = (1/T)²
El periodo del movimiento armónico simple del resorte depende únicamente de la rigidez del mismo y de la masa total envuelta en su movimiento vibracional ~ a mayor masa, mayor periodo, mas lento se mueve a menor masa, menor periodo, mas rápido se mueve ~ a mayor rigidez, menor periodo, mas rápido se mueve ~ a menor rigidez, mayor periodo, mas lento se mueve ~ es independiente de la amplitud de su movimiento MAS del resorte

22 OSCILACIONES Energía en el movimiento vibracional del resorte
Cuando el resorte se encuentra a cierta distancia de su posición de equilibrio posee energía potencial elástica Ue = ½ k x² = ½ k [A² cos² (wt+f)] Si está oscilando también posee energía cinética K = ½ m v² = ½ m [w² A² sin² (wt+f)] = ½ m (k/m) A² sin² (wt+f)] = ½ k A² sin² (wt+f)] Su energía mecánica es igual a M = K + Ue = ½ k A² sin² (wt+f) + ½ k A² cos² (wt+f) = ½ k A² [sin² (wt+f) + cos² (wt+f)] = ½ k A²

23 OSCILACIONES Gráfica de Ue y K vs t K=½mvmax² Ue=½kA²

24 OSCILACIONES Por lo tanto, en su movimiento vibracional, si solo la fuerza elástica realiza trabajo, la energía mecánica del sistema se conserva y, en cualquier punto de la trayectoria del resorte, M = Ue + K = ½ k x² + ½ m v² M = ½ k A² cuando se encuentre en los extremos del su movimiento M = ½ m vmax² cuando pase por su posición de equilibrio ½ k x² + ½ m v² = ½ k A² = ½ m vmax² Si hay fuerzas disipativas actuando sobre el resorte el mismo regresara a su posición de equilibrio En esta posición el resorte no se encontrara deformado Cuando el resorte regresa a su posición de equilibrio habrá perdido toda su energía mecánica

25 OSCILACIONES Péndulo simple
Varios péndulos Péndulo simple Es un sistema que vibra angularmente alrededor de un eje y tiene toda su masa concentrada en el extremo opuesto al eje de la vibración Su agente de restauración es un torque generado por su propio peso t = - m g L sin ø ~ m es la masa del péndulo ~ L es la longitud del péndulo ~ ø es el ángulo que forma la cuerda con una vertical

26 OSCILACIONES T Wt L(longitud de la cuerda) L (brazo) t = - Wt L(brazo)
Lbrazo = Llongitud de la cuerda sin q T L(longitud de la cuerda) L (brazo) Wt t = - Wt L(brazo) t = - Wt L(longitud de la cuerda) sin q t = - m g L sin q q

27 OSCILACIONES Podemos observar que, diferente al resorte en donde la fuerza de restauración es directamente proporcional a su posición en relación a su posición de equilibrio, el torque de restauración sobre el péndulo no es directamente proporcional a su posición angular en relación a su posición de equilibrio t es directamente proporcional a sin q sin q no es directamente proporcional a q pero para ángulos menores de 10° sin q = q expresado en radianes El torque de restauración va a ser directamente proporcional a la posición angular del péndulo solo para ángulos < 10° porque para estos ángulos t = - m g L q (en radianes)

28 OSCILACIONES El péndulo solo ejecuta movimiento armónico simple mientras la amplitud de su movimiento vibracional no sobrepase los 10° Obtenemos el periodo del movimiento armónico simple del péndulo simple a base de un análisis similar al hecho para el resorte Análisis t = I a = - m g L sin q (m L² ) a = - m g L sin q a = - (g/L) sin q Para ángulos menores de 10° a = - (g/L) q

29 OSCILACIONES La ecuación establecida anteriormente para el MAS
a = - 4p²f² x se transforma, usando las ecuaciones de transformación, en aR = - 4p²f² qR a = - 4p²f² q De manera que, si comparamos estas ecuaciones, - 4p²f² q = - (g/L) q 4p²f² = g/L De aquí, entonces, f² = g/[4p²L] = 1/T² T² = 4p²L/g T = 2p √(L/g)

30 OSCILACIONES El periodo del péndulo simple solo depende de la longitud del péndulo y del valor de la aceleración de la gravedad en donde se encuentre el péndulo simple A mayor longitud del péndulo, mayor su periodo, mas lento se mueve A menor longitud del péndulo, menor su periodo, mas rápido se mueve Si g es pequeño, mayor su periodo, mas lento se mueve Si g es grande, menor su periodo, mas rápido se mueve Es independiente de la masa del péndulo y de la amplitud de su movimiento Siempre y cuando q<10° MAS del péndulo simple

31 OSCILACIONES Péndulo físico
Es un sistema que vibra angularmente alrededor de un eje pero su masa no está concentrada en el extremo opuesto al eje de la vibración sino que más bien constituye un sistema con extensión en el espacio Igualando la ecuación que obtuvimos al analizar el péndulo simple t = - m g d sin ø  - m g d f con la Segunda Ley de Newton para movimiento rotacional t = I a obtenemos que I a = - m g d f a = - (m g d / I) f

32 OSCILACIONES De manera que, si comparamos estas ecuaciones,
4p²f² = m g d / I De aquí, entonces, f² = (m g d) / (4 p² I) = 1/T² T² = 4p² I / (m g d) T = 2p √(I / mgd)

33 OSCILACIONES Tipos de oscilaciones Continuas Amortiguadas
La amplitud del movimiento no disminuye Amortiguadas La amplitud del movimiento disminuye Tipos ~ subamortiguadas = si el sistema completa unas cuantas oscilaciones antes de llegar a su posición de equilibrio ~ críticamente amortiguada = si se tarda poco tiempo en llegar a su posición de equilibrio ~ sobre amortiguadas = si se tarda mucho tiempo en llegar a su posición de equilibrio

34 OSCILACIONES Forzadas Frecuencia natural de vibración
Se le aplica continuamente energía externa para que la amplitud del movimiento no disminuya La energía se le aplica mediante un impulso externo Si la frecuencia del impulso externo es igual a la frecuencia natural de vibración del sistema, dicho sistema entrara en un estado de resonancia (vibrará con una amplitud grande) Frecuencia natural de vibración La frecuencia a la cual entraría en vibración naturalmente cualquier sistema si este se pone en vibración Esencialmente dependen de las propiedades físicas del material Cualquier sistema que se construya ya tiene predestinada su frecuencia natural de vibración

35 OSCILACIONES Resonancia
Algunos sistemas tienen varias frecuencias naturales de vibración El resorte y el péndulo tienen solo una f = √ (k/4p² m) f = √g/[4p²L] Las cuerdas, las columnas de aire y sistemas similares tienen varias Se conoce también como la frecuencia de resonancia del sistema Resonancia Estado de un sistema que se caracteriza por el hecho de que las oscilaciones que experimenta tiene una amplitud bien grande Se produce cuando la frecuencia de un impulso externo es igual a la frecuencia natural de vibración del sistema

36 T=?; f=?; w=?; k=?; vmax=?; Fmax=? T = 0.500 s
(#3,p.468) Un oscilador consiste de un bloque con una masa de kg conectado a un resorte. Cuando es puesto a oscilar con una amplitud de 35.0 cm, el oscilador repite su movimiento cada s. Encuentre: (a) su periodo; (b) la frecuencia; (c) la frecuencia angular; (d) la constante del resorte; (e) la rapidez máxima; y (f) la magnitud de la fuerza máxima sobre el bloque por el resorte. m=0.500 kg A=35.0 cm t=0.500 s T=?; f=?; w=?; k=?; vmax=?; Fmax=? T = s f = 1/T = (1/0.500) Hz = 2.00 Hz w = 2pf = (2)(p)(2) rad/sec = 12.6 rad/sec T = 2p √(m/k)  k = 4p²m/T² = 4p²(.5)/(.5²) Nt/m = 79.0 Nt/m vmax = wA = (12.6)(.35) m/c = 4.41 m/s Fmax = m amax = m w² A = (.5)(12.6)²(.35) Nts = 27.8 Nts

37 a = - 4p²f²x  f²=-a/(4p²x) f²=-(-123)/[(4)(p²)(0.1)] Hz  f = 5.6 Hz
(#19,p.469) Un oscilador consiste de un bloque pegado a un resorte (k=400 Nt/m). En algún tiempo t, la posición (medida desde la posición de equilibrio del sistema), velocidad y aceleración del bloque son x=0.100 m, v=-13.6 m/s, y a=-123 m/s². Calcule: (a) la frecuencia de la oscilación; (b) la masa del bloque; y (c) la amplitud del movimiento. k=400 Nts/m x=0.100 m v=-13.6 m/s a=-123 m/s² f=?; m=?; A=? a = - 4p²f²x  f²=-a/(4p²x) f²=-(-123)/[(4)(p²)(0.1)] Hz  f = 5.6 Hz f = √(k/m)/(2p)  m = k / (4p²f²) m = (400)/[(4)(p²)(5.58²)] kg = 0.33 kg x=A cos(wt+f) v=-wA sin(wt+f) a=-w²A cos(wt+f) v/x = -w tan (wt+f) tan(wt+f) = -v/(wx) = -(-13.6)/[(2p(5.6))(0.1)] = 1.32 rad A = x/cos(wt+f) = (0.1)/cos (1.32) = 0.40 m

38 amax=?; vmax=?; a y v cuando x=0.20 mm amax = -4p²f²A
(#26,p.469) El extremo de una de las dos partes oscilantes de un diapasón que ejecuta movimiento armónico simple con una frecuencia de 1000 Hz tiene una amplitud de 0.40 mm. Encuentre: (a) la magnitud de la aceleración máxima y (b) la magnitud de la rapidez máxima del extremo de esta parte del diapasón. Encuentre (c) la magnitud de la aceleración y (d) la rapidez del extremo de esta parte del diapasón cuando este extremo se haya desplazado 0.20 mm. f=1000 Hz A=0.40 mm amax=?; vmax=?; a y v cuando x=0.20 mm amax = -4p²f²A amax = -(4p²)(1000²)(0.0004) m/s² = -15,800 m/s²  16,000 m/s² vmax = -2pf A vmax = - (2p) (1000) ( ) m/s = m/s  2.5 m/s a = -4p²f²A cos(wt+f) = -4p²f²x a = -(4p²)(1000²)(0.0002) m/s² = -7,900 m/s²  7,900 m/s² v = - 2pf A sin (wt+f) a=-4p²f²A cos(wt+f)  cos(wt+f)=-a/(4p²f²A)  (wt+f)=1.05 rad v=-(2p)(1000)(0.0004) sin(1.05) = m/s  2.2 m/s

39 T = 2p √(Lo/g)  Lo = T²g/4p²
(#36,p.470) Una artista del trapecio sentada en su trapecio está meciéndose hacia el frente y hacia atrás con un periodo de 8.85 s. Si ella se levanta, levantando así el centro de masa de sistema trapecio-artista por 35.0 cm, ¿cuál será el nuevo periodo del sistema? Considere al trapecio y artista como un péndulo simple. T=8.85 s con L=Lo L=(Lo-0.35)m Tnuevo=? T = 2p √(Lo/g)  Lo = T²g/4p² Lo = (8.85²)(9.8)/(4p²) m = m L = m – 0.35 m = m T = 2p √(L/g) = 2p √(19.09/9.8) s = 8.77 s

40 m=5.00 kg k=1000 Nt/m x=50.0 cm vo=10.0 m/s f=?; Uo=?; Ko=?; A=?
#51,p.471) Un objeto de 5.00 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está pegado a un resorte con una constante de 1000 Nt/m. El objeto es desplazado 50.0 cm horizontalmente desde su posición de equilibrio y se le imparte una velocidad inicial de 10.0 m/s hacia la posición de equilibrio. (a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? ¿Cuáles son (b) la energía potencial inicial del sistema bloque-resorte, (c) la energía cinética inicial, y (d) la amplitud de la oscilación? m=5.00 kg k=1000 Nt/m x=50.0 cm vo=10.0 m/s f=?; Uo=?; Ko=?; A=? f = √(k/m)/(2p) f √(1000/5)/(2p) = 2.25 Hz Uo = ½kx² Uo = ½(1000)(.5²) J = 125 J Ko = ½mv² Ko = ½(5)(10²) J = 250 J

41 m=5.00 kg k=1000 Nt/m x=50.0 cm vo=10.0 m/s
#51,p.471) Un objeto de 5.00 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está pegado a un resorte con una constante de 1000 Nt/m. El objeto es desplazado 50.0 cm horizontalmente desde su posición de equilibrio y se le imparte una velocidad inicial de 10.0 m/s hacia la posición de equilibrio. (a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? ¿Cuáles son (b) la energía potencial inicial del sistema bloque-resorte, (c) la energía cinética inicial, y (d) la amplitud de la oscilación? (cont.) m=5.00 kg k=1000 Nt/m x=50.0 cm vo=10.0 m/s f=2.25 Hz; Uo=125 J; Ko=250 J; A=? M = ½kA²  A² = 2M/k M = Ko + Uo = 125 J J = 375 J A² = (2)(375)/( 1000)  A = 0.87 m = 87 cm

42 vmax = 2pfA = 2p(1.6)(0.05) m/s = 0.50 m/s
(#56,p.471) Un resorte vertical se alarga 9.6 cm cuando un bloque de 1.3 kg es colgado de su extremo. (a) Calcule la constante del resorte. Este bloque es luego desplazado 5.0 cm adicionales hacia abajo y soltado del reposo. Encuentre: (b) el periodo; (c) la frecuencia; (d) la amplitud; y (e) la rapidez máxima del MAS que resulta. x=9.6 cm m=1.3 kg xmax=5.0 cm vi=0 m/s k=?; T=?; f=?; A=?; vmax=? k = F/x = Wt/x = mg/x k = (1.3)(9.8)/(0.096) Nt/m = 133 Nt/m T = 2p √(m/k) T = 2p √(1.3/133) sec = 0.62 sec f = 1/T = (1/0.62) Hz = 1.6 Hz A = 5.0 cm vmax = 2pfA = 2p(1.6)(0.05) m/s = 0.50 m/s