Marco Aurelio Alzate Monroy

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1 Marco Aurelio Alzate Monroy
Fractales, Caos y Complejidad en Redes de Comunicaciones Marco Aurelio Alzate Monroy Maestría en Ciencias de la Información y las Comunicaciones Universidad Distrital Grupo de Investigación en DSP de la Universidad Distrital Grupo de Investigación en Telecomunicaciones de la Universidad Distrital Capítulo de Procesamiento de Señales de la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital

2 Plan Primera Parte Segunda Parte Tercera Parte 1. Modelos de Tráfico
2. Fractales 3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones 4. Caos en la dinámica de TCP/IP 5. Complejidad en Redes Segunda Parte 6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga 7. Predecibilidad del Tráfico Fractal Tercera Parte 8. Análisis Wavelet 9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes 10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala 11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes 12. Conclusiones Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Plan

3 Primera Parte 1. Modelos de Tráfico (10) 2. Fractales (9)
3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones (17) 4. Caos en la dinámica TCP/IP (17) 5. Complejidad en Redes (15) Maestría en Ciencias de la Información y las Comunicaciones Universidad Distrital Grupo de Investigación en DSP de la Universidad Distrital Grupo de Investigación en Telecomunicaciones de la Universidad Distrital Capítulo de Procesamiento de Señales de la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital

4 Modelamiento de Tráfico e Ingeniería de Redes
Los objetivos de la ingeniería de redes eran simples: Voz: Maximice la eficiencia para una tasa de bloqueo dada Datos: Maximice la eficiencia para un retardo promedio dado Pero ahora…. Diferentes Calidades de Servicio: ATM: CBR, rt-VBR, nrt-VBR, UBR, ABR IP: Carga Controlada, Calidad garantizada, Servicios diferenciados Diferentes parámetros de Calidad: Retardo de tansferencia, variación en el retardo, tasa de pérdidas, tasa de errores… Estrategia: CONTROL DE TRAFICO Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Modelos de Tráfico (1/10)

5 Modelamiento de Tráfico e Ingeniería de Redes
Recursos de Comunicación, Información y Cómputo Demanda Es necesario cuantificar la demanda para poder dimensionar los recursos: } - Secuencia de instantes de llegada, {Tn, nZ} - Número de llegadas hasta el instante t, {N(t), t  R} - Secuencia de tiempo entre llegadas, {An, n Z} + Carga impuesta por cada llegada, {Ln, nZ} Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Modelos de Tráfico (2/10)

6 Dos Ejemplos de Tráfico
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7 { { Modelos de Renovación PROCESO DE BERNOULLI :
En 1920’s, Erlang usó exitosamente este modelo, haciendo t0 y ajustando el número de caras en cada dado para mantener una tasa fija de  “paquetes” por segundo: { PROCESO DE POISSON : Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Modelos de Tráfico (4/10)

8 Modelos Tradicionales de Tráfico
1. Procesos de Renovación: {An} es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Ejemplos: Procesos Determinísticos, de Poisson y de Bernoulli 2. Procesos Markovianamente Modulados: Procesos de renovación en los que la tasa de llegadas depende del estado de una cadena de Markov. Ejemplos: MMPP, MMDP Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Modelos de Tráfico (5/10)

9 Modelos Tradicionales de Tráfico
3. Modelos de flujo continuo: Las unidades individuales son infinitesimales y se modela la tasa de flujo como una función aleatoria del tiempo. Ejemplo: Procesos de Difusión 4. Modelos Autoregresivos: El número de llegadas en el siguiente intervalo de tiempo se podría predecir del número de llegadas en los anteriores p intervalos, con un residuo de predicción iid. 5. Etc. LA AUTOCORRELACIÓN DECAE MUY RAPIDAMENTE (EXPONENCIALMENTE): g(k) = A exp(-|k|) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Modelos de Tráfico (6/10)

10 La Autocorrelación Decae Lentamente
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11 Evidencia de Autosemejanza en Redes
- W.Leland, M.Taqqu, W.Willinger and D.Wilson, "On the Self-similar Nature of Ethernet Traffic” Proceedings of the ACM SIGCOMM'93 (extended version in IEEE/ACM Transactions on Networking, February 1994) - M. Arlitt and C.Williamson “Internet Web Servers: Workload Characterization” IEEE/ACM Transactions on Networking, Vol.5 No. 5, pp - J. Beran, R. Sherman, M.S.Taqqu and W.Willinger “Long-range Dependence on Variable Bit Rate Video Traffic” IEEE Transactions on Communications, Vol. 43, pp - M.Crovella and A.Betsavros “Self-similarity in WWW Traffic: Evidence and Possible Causes” Proceedings of the 1996 ACM Sigmetrics, May 1996 - A.Feldman, A.Gilbert, P.Huang and W.Willinger “Dynamics of IP traffic” Proceedings of the 1999 ACM Sigcom, pp Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Modelos de Tráfico (8/10)

12 Efectos en el Desempeño
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13 Un Nuevo Modelo de Tráfico
Necesitamos un nuevo modelo de tráfico capaz de Capturar el hecho de que la variabilidad en la demanda no cambia con la escala Predecir el desempeño de las actuales redes de comunicaciones Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Modelos de Tráfico (10/10)

14 Autosemejanza N = r -D  D = log(N) / log(1/r)
r=1/2, N=2, D=1 r=1/3, N=3, D=1 r=1/2, N=4, D=2 r=1/3, N=9, D=2 r=1/2, N=8, D=3 r=1/3, N=27, D=3 La forma exacta de estos objetos es “invariante a la escala” o Autosemejante N = r -D  D = log(N) / log(1/r) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (1/9)

15 Fractales por Construcción
D = log(4)/log(3) = 1.26 N = 8, r = 1/4, D = log(8)/log(4) = 1.5 N = 3, r = 1/2, D = log(3)/log(2) = 1.58 FRACTional dimensionAL : FRACTAL Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (2/9)

16 Fractales Naturales La dinámica de la naturaleza parece obedecer ciertas leyes sencillas: Ecuación Logística (MAP): xn+1 = Axn(1-xn) Segunda Ley de Newton (ODE): md2x/dt2 = F(x,dx/dt,t) Ecuación de Onda (PDE): 2x/t2 = c22x/r2 etc. Por ejemplo, el sistema dinámico xn+1 = xn2 - 1, donde xi , tiende a  para todo valor inicial x0 que no esté contenido en el siguiente conjunto de Julia, el cual tiene dimensión fractal ~1.24 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (3/9)

17 Conjuntos de Julia xn+1 = xn2 + c c=0 c=0.15 c=0.25 c=0.26 c=0.3 c=0.5
c=0.5i c= i c=-1.25 c= Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (4/9)

18 Conjunto de Mandelbrot
Todos los parámetros c para los cuales el correspondiente conjunto de Julia es conectado Puntos x que no escapan a infinito bajo la iteración x=x+x2 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (5/9)

19 Un Momento para admirar el Conjunto de Mandelbrot
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20 Geometría de la Naturaleza
Iterated Function Systems function Helecho(N) % Este programa dibuja el helecho de Barnsley mediante % la transformación T(x,y) = (a*x+b*y+e, c*x+d*y+f). % N es el número de iteraciones % Marco A. Alzate, Universidad Distrital, 2002 X=zeros(N,2); % Secuencia de puntos X(1,:)=[0.5,0.5]; % Punto inicial for k=1:N % Para cada iteración r=rand; % Selecciona aleatoriamente el paso if r< % T1(x,y) con probabilidad 0.01 X(k+1,:)=T(X(k,:),0,0,0,.16,0,0); elseif r< % T2(x,y) con probabilidad 0.85 X(k+1,:)=T(X(k,:),.85,.04,-.04,.85,0,1.6); elseif r< % T3(x,y) con probabilidad 0.07 X(k+1,:)=T(X(k,:),.2,-.26,.23,.22,0,1.6); else % T4(x,y) con probabilidad 0.07 X(k+1,:)=T(X(k,:),-.15,.28,.26,.24,0,.44); end plot(X(:,1),X(:,2),'.') function U=T(X,a,b,c,d,e,f) U(1)=a*X(1)+b*X(2)+e; U(2)=c*X(1)+d*X(2)+f; Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (7/9)

21 Geometría de la Naturaleza
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (8/9)

22 Fractales en todas partes
1. Series de tiempo geofísicas: Variaciones de temperatura, caída de lluvias, flujos oceánicos, niveles de inundación en ríos, frecuencia de rotación de la tierra, manchas solares… 2. Series de tiempo en economía: Variaciones en el promedio industrial Dow Jones, ... 3. Series de tiempo fisiológicas: Variaciones en el pulso, EEG bajo estímulos placenteros, tasa de adquisición de insulina en pacientes diabéticos,… 4. Series de tiempo biológicas: Variaciones voltaícas en los nervios, transferencia de energía en canales sinápticos,… 5. Fluctuaciones electromagnéticas: ruido galáctico, intensidad de fuentes de luz, flujo magnético en superconductores,… 6. Ruido en dispositivos electrónicos: transistores BJT y FET, tubos al vacío, diodos Zener, túnel y Schottky, … 7. Variaciones de frecuencia en relojes atómicos, osciladores de cuarzo, resonadores superconductores, … 8. Fenómenos inducidos por el hombre: Tráfico en redes, variaciones de amplitud y frecuencia en música moderna y tradicional, … 9. Patrones de error en canales de comunicaciones 10. Generación de estímulos fisiológicamente placenteros como música o brisa, etc. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (9/9)

23 Fractales en todas partes
The unifying concept underlying fractals, chaos and power laws is selfsimilarity. Self-similarity, or invariance against changes in scale or size, is an attribute of many laws of nature and innumerable phenomena in the world around us. Self-similarity is, in fact, one of the decisive symmetries that shapes our universe and our efforts to comprehend it. Manfred Schroeder, 1991 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Fractales (9/9)

24 Otro Modelo de Tráfico (Número de llegadas en el intervalo [t,t+))
Otro objeto fractal: El Conjunto de Cantor Otro modelo de tráfico: El “Tráfico de Cantor” (Número de llegadas en el intervalo [t,t+)) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (1/17)

25 La Autosemejanza se Hereda
Proceso de incrementos, {X(t)} Proceso acumulativo, {Y(t)} Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (2/17)

26 Conceptos Fundamentales
Autosimilitud Estocástica: Alguna característica estadística del proceso es invariante a la escala Distintas definiciones. A nosotros nos interesan tres definiciones: - Si TODAS las estadísticas son invariantes a la escala, {Y(t)} es autosemejante con parámetro H, H-ss, si (La distribución de probabilidad es invariante a la escala!) - Si las estadísticas de segundo orden se comportan como si Y(t) fuera H-ss {X(t)} es estrictamente autosemejante de segundo orden, con parámetro H, si la función de autocorrelación obedece a - Al menos asintóticamente {X(t)} es asintóticamente autosemejante de segundo orden, con parámetro H, si la autocorrelación g<m> del proceso agregado satisface Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (3/17)

27 Movimiento Browniano Suponiendo Y(0)=0,
 El proceso acumulativo es autosemejante con parámetro H=1/2 Suponiendo Y(0)=0, Pero el proceso de incrementos es simplemente ruido blanco gausiano: Para sintetizar movimiento browniano, basta con integrar ruido blanco gaussiano: Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (4/17)

28 Movimiento Browniano Fraccional
 El proceso acumulativo es autosemejante con parámetro H Suponiendo Y(0)=0, X(t) = Y(t) - Y(t-1) : Ruido Gaussiano Fraccional Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (5/17)

29 Desplazamiento del Punto Medio
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30 Con H=1/2, la autocorrelación es cero (ruido blanco)
Parámetro de Hurst ¿Porqué 1/2 < H < 1? Con H=1/2, la autocorrelación es cero (ruido blanco) Con H=1, la autocorrelación es idénticamente 1 (Al observar una muestra se pierde toda la aleatoriedad) Con 1/2<H<1, el proceso muestra Dependencia de Rango Largo. Con H>1, {X(t)} ya no es estacionario Con H<1/2, la autocorrelación de X suma cero Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (7/17)

31 Más Conceptos Fundamentales
{X(t)} tiene dependencia de rango largo si su autocorrelación r(k)=g(k)/s2, se comporta asintóticamente como r(k) = c k-b cuando k, con 0 < b < 1 y c>0, de manera que r(k) no es sumable, esto es, Si {X(t)} es LRD, su densidad espectral de potencia diverge alrededor del origen, indicando mayores contribuciones de los componentes de baja frecuencia: {X(t)} es un ruido 1/f si su densidad espectral de potencia satisface la siguiente propiedad, donde c>0 y 0<a<1: {X(t)} es asintóticamente autosemejante de segundo orden con 1/2 < H < 1 {X(t)} es dependiente de largo rango con 0 < b = 2-2H < 1 {X(t)} es ruido 1/f con 0 < a = 1-b = 2H-1 < 1 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (8/17)

32 Dependencia de Rango Largo
LRD y Ruido-1/f Dependencia de Rango Largo Ruido 1/f Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (9/17)

33 Diagrama Varianza-Tiempo
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34 Distribuciones con Colas Pesadas
Una variable aleatoria Z tiene una distribución de cola pesada si cuando x, donde 0 < a < 2. Var[Z] =  Variabilidad extrema Ejemplo: Distribución de Pareto La autosimilitud del tráfico en redes se puede explicar a partir de las distribuciones de colas pesadas en variables relacionadas como longitud de archivos, tiempos de permanencia de las conexiones, etc. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (11/17)

35 Multiplexaje de Procesos On/Off
S3(t) X3(t) X2(t) X1(t) N fuentes on/off independientes, Xi(t) Períodos on iid (tren de paquetes) Períodos off iid Tráfico agregado Proceso Acumulativo Si los períodos de actividad y/o de inactividad tienen una distribución de cola pesada, YN(at) se comporta como un movimiento browniano fraccional para N y a grandes  El fbm es uno de los más usados modelos de tráfico. Pero hay más... Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (12/17)

36 Procesos FARIMA Modelo AR(p) (AutoRegressive):
Modelo MA(q) (Moving Average): Modelo ARMA(p,q): +  (n) x(n) z -1 a1 a2 ap-1 ap bq-1 bq b2 b1 Modelo ARIMA(p,d,q) (AR Integrated MA): d=1  x(t) = y(t) - y(t-1)  y(t) = ix(i) ARMA(p,q) con X(z) = (1 - z -1) d Y(z) d=2  x(t) = y(t) - 2y(t-1)+y(t-2)  y(t) = id(i)x(i) Modelo FARIMA(p,d,q) (Fractional ARIMA): ARIMA(p,d,q) con d(-0.5, 0.5) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (13/17)

37 Procesos M/G/Infinito
1 2 N(t) = Número de servidores ocupados en el instante t Llagadas Poisson con intensidad  3  N(t) es un proceso M/G/ 4 Infinitos servidores en los que la distribución de los tiempos de servicio tiene cola pesada con parámetro  Es una generalización del multiplexaje de procesos on/off Si 1 <  < 2, N(t) es asintóticamente autosemejante con H = (3 - )/2 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (14/17)

38 Modelos Wavelet Multifractales (MWM)
La transformada wavelet es ideal para detección, estimación y síntesis de fenómenos de escala: Los coeficientes wavelets son i.i.d. y la energía a cada escala conserva la autosemejanza. Uj,k Uj+1,2k Uj+1,2k+1 Uj+2,4k Uj+2,4k+1 Uj+2,4k+2 Uj+2,4k+3 Wj,k Wj+1,2k Wj+1,2k+1 Wj+2,4k Wj+2,4k+1 Wj+2,4k+2 Wj+2,4k+3 Fila j: Aproximación a la escala j Fila j: Detalle a la escala j+1 0(t) : Función de escala de Haar y0(t) : Función wavelet de Haar 1,0(t) = 2 0(2t-0) y1,0(t) = 2 y0(2t-0) 1,1(t) = 2 0(2t-1) y1,1(t) = 2 y0(2t-1) fj,k(t) = 2j/2f0(2jt-k) yj,k(t) = 2j/2y0(2jt-k) Cascada Multiplicativa Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (15/17)

39 Mapas Caóticos El tráfico Ethernet parece tener muchas propiedades determinísticas Caos es un fenómeno mediante el cual algunos sistemas dinámicos no lineales exhiben un comportamiento complejo que, aunque determinístico, aparenta ser aleatorio. Las trayectorias de sistemas caóticos suelen ser de naturaleza fractal y pueden usarse como generadores de estructuras fractales. Sería interesante poder capturar la complejidad del tráfico actual mediante sistemas de bajo orden que requieran sólo unos pocos parámetros. xn+1 donde f1(·) y/o f2(·) son “sensibles a las condiciones iniciales”, esto es, xn Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (16/17)

40 Areas de Investigación
- Detección, estimación y síntesis de autosemejanza Inferencia estadística Wavelets y multifractalidad - Modelamiento de tráfico basado en mediciones Aplicación de las técnicas anteriores al estudio del inmenso volumen de medidas de tráfico de altísima calidad y diversidad - Modelamiento físico Relación entre los mecanismos de generación y procesamiento de tráfico y sus características de autosemejanza - Análisis de colas con entrada autosemejante Cotas superiores e inferiores de las medidas de desempeño y comparación con modelos SRD - Control de tráfico y asignación de recursos Ancho de banda efectivo, control de congestión a múltiples escalas, predicibilidad de la duración de las conexiones. Teoría de Control en Redes de Comunicaciones: Caos y Complejidad Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Tráfico Autosemejante (17/17)

41 Mecanismo de Confiabilidad
Introducción a TCP RTT data0 ack0 data1 data2 ack2 data3 Tout Tx Rx Mecanismo de Confiabilidad Abstracción: Confiable Ordenado Punto-a-punto Flujo de Bytes El protocolo se implementa exclusivamente entre extremos Supone que la entrega se hace fuera de secuencia y sin confiabilidad Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (1/17)

42 Control de flujo mediante ventanas
Transmisor: Ventana Enviados pero no reconocidos No enviados Números de secuencia Siguiente por enviar Receptor: Buffer de recepción Reconocidos, pero aún no entregados al usuario Aún no reconocidos Números de secuencia Gap Ventana Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (2/17)

43 Congestión Los transmisores deben ajustar su tasa de datos de acuerdo
10 Mbps 1.5 Mbps 100 Mbps Si ambas fuentes transmiten sus ventanas completas, puede ocurrir un colapso Retardo Caudal Carga Carga Los transmisores deben ajustar su tasa de datos de acuerdo con la cantidad de congestión detectada Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (3/17)

44 Control de Congestión en TCP
cwnd: Ventana de congestión que indica cuántos bytes puede absorver la red Diferentes mecanismos interrelacionados: Inicio lento (Slow start) Evitación de la congestión (Congestion avoidance) Retransmisión rápida (Fast retransmit) Recuperación rápida (Fast recovery) Estimación correcta del temporizador de retransmisión Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (4/17)

45 Inicio Lento & Evitación de la Congestión
Tx Rx Tx Rx cwnd=1 cwnd=1 cwnd=2 cwnd=2 cwnd=4 cwnd=3 cwnd=8 cwnd=4 cwnd tiempo Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (5/17)

46 Retransmisión y Recuperación Rápidas
Utilizan reconocimientos duplicados para: Retransmitir menos segmentos (fast retransmit) Incrementar cwnd más agresivamente (fast recovery) cwnd tiempo TCP Tahoe (1988) : SS, CA, Frt TCP Reno (1990) : SS, CA, Frt, Frc TCP Vegas (1994) : Considera RTT otra medida de congestión TCP Sack (1996) : El Rx envía una lista de los segmentos perdidos TCP New Reno (1999), TCP D-SACK (2000), TCP LTE (2001), ... Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (6/17)

47 Gestión Activa de Memoria (AQM)
Drop-Tail : Descarte al final de la cola 1 2 3 4 5 6 7 9 8 Fácil de implementar por el proveedor Fácil de entender por el cliente Como sólo descarta paquetes cuando ya no hay recursos disponibles, no puede absorber ráfagas adicionales Como las fuentes no reconocen la congestión hasta que los recursos están completamente agotados, la congestión dura largos períodos de tiempo Como todas las conexiones TCP reducen la tasa de transmisión simultáneamente, se produce sincronización global (oscilaciones drásticas en el tráfico) Como TCP tarda más en recuperarse de múltiples pérdidas que de una sola pérdida, el caudal total se reduce significativamente El nodo debe responder proactivamente a la congestión de acuerdo con la longitud promedio de sus colas Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (7/17)

48 Gestión Activa de Memoria (AQM)
RED : Detección Temprana Aleatoria maxth minth Probabilidad de descarte Identifica las primeras etapas de la congestión, descartando paquetes más agresivamente a medida que la congestión aumenta Evita la sincronización global Permite mantener una longitud de cola estable Permite un descarte justo 1 p Ocupación de la cola minth maxth  Difícil de configurar Una configuración inadecuada puede ser peor que tail drop Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (8/17)

49 Modelo de Control por Realimentación
Reduzca la ventana cuando se perciba congestión En otro caso, incremente la ventana Medidas de Congestión Tasa de la Fuente Tasa de Datos de la Aplicación Red (A)QM TCP Retardo (ECN) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (9/17)

50 Dos Fuentes TCP/Reno 10 Mbps, 4ms cwnd1 10 Mbps, 2ms RED cwnd2
MaxQ=25 set ns [new Simulator] set node_(s1) [$ns node] ... set node_(s4) [$ns node] $ns duplex-link $node_(s1) $node_(r1) 10Mb 2ms DropTail $ns duplex-link $node_(s4) $node_(r2) 10Mb 5ms DropTail set redq [[$ns link $node_(r1) $node_(r2)] queue] $redq set setbit_ true set tcp1 [$ns create-connection TCP/Reno $node_(s1) TCPSink $node_(s3) 0] set tcp2 [$ns create-connection TCP/Reno $node_(s2) TCPSink $node_(s3) 1] set ftp1 [$tcp1 attach-app FTP] set ftp2 [$tcp2 attach-app FTP] set f1 [open cwnd1.tr w] $tcp1 trace cwnd_ $tcp1 attach $f1 set f2 [open cwnd2.tr w] $tcp2 trace cwnd_ $tcp2 attach $f2 $ns at 0.0 "$ftp1 start" $ns at 0.0 "$ftp2 start" $ns at 20.0 "finish" proc finish {} { global ns f1 f2 $ns flush-trace close $f1 close $f2 exit 0 } $ns run Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (10/17)

51 Sistemas Dinámicos ft  gt . x0 x(t) u(t) y(t)
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52 Sistemas Dinámicos Lineales
Eigenvalores reales positivos Eigenvalores reales negativos Eigenvalores puramente imaginarios Eigenvalores complejos con parte real positiva Eigenvalores complejos con parte real negativa Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (12/17)

53 Sistemas Dinámicos No Lineales
- Más de un punto de equilibrio - Ciclos límite (variaciones periódicas en las variables de estado) - Bifurcaciones - Sincronización - Sensibilidad a condiciones iniciales - etc. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (13/17)

54 Un Sistema Dinámico "Sencillo"
xn+1 =  xn (1 - xn) : Si  4 y x0  [0, 1], entonces la trayectoria se mantiene en el intervalo [0, 1]. Con <1, la trayectoria tiende a cero Con 1    3, la trayectoria tiende a 1-1/ Con 3 <   1+6, la trayectoria tiende a un ciclo de período 2 Bifurcación por duplicación del período 3 1 … 3.570  Con <  < 3.544, la trayectoria tiende a un ciclo de período 4 Con <  < 3.564, la trayectoria tiende a un ciclo de período 8 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (14/17)

55 Diagrama de Bifurcación
Con 3.57 <  < 3.829, la trayectoria es muy complicada. Puede ser aperiódica, pero también hay trayectorias periódicas con todos los períodos 2n. En =3.829 aparece por primera vez una órbita de período 3 que se bifurca a 6, 12, 24,… De a 4.0 aparecen órbitas periódicas de todos los posibles períodos y órbitas aperiódicas: Caos! Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (15/17)

56 Modelo TCP-Reno/RED en Tiempo Discreto
Retardo = RTT Fuente rk pk pk-1 qk , qk TCP: RED: M: Tamaño del paquete RTT: Round Trip Time pk : Probabilidad de pérdida B: Tamaño del buffer n : Número de flujos TCP R0 : Mínimo RTT (propagación y transmisión) C : Capacidad de los enlaces Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (16/17)

57 Modelo TCP/Reno en Tiempo Discreto
Duplicación de período Colisión de borde Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Caos en TCP/IP (17/17)

58 Internet es un Sistema Complejo
Internet es una mezcla heterogénea de enlaces, nodos y fuentes de tráfico: INTERNET: Subredes, Nodos y Enlaces Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (1/16)

59 ¿Qué es Complejidad? Complejidad Sustantivo femenino. Calidad de Complejo Complejo Adjetivo (latín complexus, que abarca la totalidad). Se dice de lo que se compone de elementos diversos, con lo que se dificulta su comprensión Un Concepto Popular: Muchos elementos interactuando con muchas reglas de interacción de difícil formulación. En realidad la complejidad se da cuando un sistema (tal vez sencillo) presenta un comportamiento impredecible El problema de tres cuerpos: Tierra( ) Jupiter ( ) Sol ( ) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (5/16)

60 Interacciones en Internet
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (2/16)

61 Excepto en presencia de errores!
Transparencia de Internet La complejidad de la red es completamente transparente para los usuarios: hola! Excepto en presencia de errores! Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (3/16)

62 Complejidad de Internet
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (4/16)

63 Nodos y Enlaces El planeta tierra está desarrollando un sistema nervioso electrónico: Una red con nodos y enlaces. -computadores -enrutadores -satélites -líneas telefónicas -cables de televisión -ondas electromagnéticas Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (5/16)

64 Estructura de Muchos Sistemas
Sociedad Nodos: individuos Enlaces: Relaciones sociales (familia/trabajo/amistad/etc.) World Wide Web Nodos: Páginas WWW Enlaces: Enlaces URL Genoma Nodos: Genes Enlaces: Interacciones químicas entre ellos Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

65 Mapa de Interacciones entre Proteínas
El color de cada nodo representa el efecto fenotípico al retirar la correspondiente proteína (rojo: letal, verde: no letal, amarillo: desconocido). Hawoong Jeong, Universidad de Notre Dame. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

66 Un Instante de Conectividad en Internet
Algunos ISP backbones se han coloreado por separado. K. C. Claffy , proyecto Caida. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

67 Un Instante de Conectividad en Internet
El mismo mapa, coloreado según el grado de cada ISP Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

68 Topología Jerárquica de la Web
Bradley Huffaker, Proyecto Caida. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

69 The architecture of complexity
Principal Author sobre Redes Complejas The architecture of complexity From the diameter of the www to the structure of the cell Albert László Barabási (Univ. of Notre Dame) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

70 Red de Artistas de Hollywood
Austin Powers: The spy who shagged me Let’s make it legal Robert Wagner Wild Things Mike Myers Marilyn Monroe What Price Glory Barry Norton A Few Good Man Monsieur Verdoux Tom Cruise Kevin Bacon Charles Chaplin Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

71 Conectar cada par de nodos con probabilidad p
Modelo Erdös-Rényi (1960) - Democráticas - Aleatorias Conectar cada par de nodos con probabilidad p p=1/6 N=10 k ~ 1.5 Distribución de Poisson P(k) = Probabilidad de que un nodo cualquiera tenga k enlaces Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

72 Coeficiente de Agrupamiento
Clustering: Es muy probable que mis amigos se conozcan entre ellos # de enlaces entre mis n vecinos C = n(n-1)/2 Las redes reales están agrupadas (C(p) es grande), pero tienen una ruta característica (L(p)) pequeña. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

73 Modelo Watts-Strogatz
(Watts and Strogatz, Nature 393, 440 (1998)) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

74 Robots en la WWW Lo que se esperaba:
ROBOT: Sigue todos los URLs que encuentra en un documento Web y los sigue recursivamente. NWWW ~ 109  P(k=500) ~ 10-99 800 millones de documentos (S. Lawrence, 1999) Lo que se encontró: P(k=500) ~ 10-6 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

75 19 grados de separación l15=2 [125] l17=4 [1346  7]
 Seleccionar N nodos con la misma Pin(k) y Pout(k) < l > = log(N) < l > Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

76 Colas Livianas y Pesadas
Distribución Poisson Distribución con Ley de Potencia Red Exponencial Red Libre de Escala Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

77 (Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999)
Backbone de Internet (Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

78 Otras Redes N = 212,250 actores P(k) ~k- =2.3
N = 1,736 artículos de Física P(k) ~k- =3 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

79 Estructura Interna de la Mayoría de Redes Reales
Redes Libres de Escala Estructura Interna de la Mayoría de Redes Reales (1) El número de nodos no es fijo Las redes se expanden continuamente añadiendo nuevos nodos Ejemplos: Adición de nuevos documentos en la Web Publicación de nuevos artículos científicos Producción de nuevas películas (2) Las conexiones no son uniformes Los nuevos nodos prefieren conectarse con nodos que ya tengan un gran número de enlaces Ejemplos: CNN, Yahoo!, Google, NY Times Los artículos más citados son los más consultados Todos quieren actuar con Tom Cruise Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

80 Universalidad en las Redes
Densidad de Enrutadores IP Densidad Poblacional Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (6/16)

81 Teoría de Sistemas Complejos
Colaboración Científica WWW Cadenas alimenticias Sistemas Complejos: Constituidos por muchos elementos no idénticos, conectados mediante distintas interacciones Relaciones Sexuales Teoría de Sistemas Complejos Células Citación de artículos Internet Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (7/16)

82 Fundamentos Teóricos Complejidad Computacional. P-NP, Kolmogorov,...
Teoría de la información Codificación de Fuente y de Canal,... Teoría de Control Realimentación, Optimización, Teoría de juegos,... Sistemas Dinámicos Bifurcacióm Caos,... Física Estadística Transiciones de Fase, Fenómenos Críticos,... Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (8/16)

83 Leyes de Potencia US Power outages 1984-1997 N 10 10 10 10 10 10 10 10
3 10 2 10 Frecuencia de apagones en los que el número de clientes afectados excede N 1 10 US Power outages 10 4 5 6 7 10 10 10 10 N Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (9/16)

84 Incendios Forestales (1000 km2)
Más Leyes de Potencia 6 Archivos WWW (Mbytes) 5 -1 4 Frecuencia de eventos de tamaño mayor que S -1/2 3 2 Incendios Forestales (1000 km2) 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 Tamaño de los eventos, log10(S) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (10/16)

85 Los árboles se ubican aleatoriamente en un área NxN
Incendios Forestales Los árboles se ubican aleatoriamente en un área NxN Una chispa cae en un sitio vacío y no tiene ningún efecto Una chispa cae en un “cluster” y quema todo el cluster Y = Densidad promedio después de una chispa Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (11/16)

86 SOC - Criticalidad AutoOrganizada
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 Y  (densidad antes de la chispa) “Punto crítico” N=100 Sin chispas Con chispas Cuando N tiende a infinito, el punto crítico corresponde con la aparición del primer cluster de tamaño infinito. En ese punto, los clusters tienen una apriencia fractal y la distribución del tamaño de los incendios sigue una ley de potencia. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (12/16)

87 EOC - Borde del Caos Y Máximo Y Fuegos sin mayores consecuencias
Todo se quema Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (13/16)

88 Algunas Definiciones Complejidad en la Mecánica Estadística
Comportamiento emergente: Creación de un patrón inesperado debido a las interacciones de los componentes de un sistema. Auto-Organización: Surgimiento de un orden dentro de un sistema sin la intervención de un control central. Criticalidad Auto-Organizada: Transición repentina de fase en un sistema auto-organizado. Borde del Caos: Estado de un sistema en el que una variación mínima lo puede conducir al caos o al orden. Ley de Potencia: Variación hiperbólica de la cola de la distribución de los eventos en un sistema dinámico Complejidad en los Sistemas Biológicos y de Ingeniería Tolerancia Altamente Organizada: Mecanismo de obtención de fenómenos emergentes mediante diseño deliberado o mediante evolución, caracterizado por la obtención de estados de alto desempeño en medio de un ambiente incierto. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (14/16)

89 HOT - Tolerancia Altamente Optimizada
Mediante diseño, se puede incrementar Y por encima del punto crítico SOC/EOC HOT 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 aleatorio “optimizado” - Baja densidad de salida - Mediana robustez - Leyes de potencia sólo en el estado crítico - Alta densidad de salida - Alta robustez - Leyes de potencia en todas las densidades Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (15/16)

90 Tolerancia Altamente Optimizada (HOT)
Los sistemas complejos en biología y en tecnología se caracterizan por estados de alto desempeño (mediante diseño o evolución), los cuales son tolerantes a la incertidumbre en el ambiente y en los componentes. Estos procesos de diseño o evolución conducen a estructuras jerárquicas basadas en modularidad y especialización, las cuales “esconden” una enorme complejidad. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Complejidad en Redes (16/16)

91 Segunda Parte 6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga (7) 7. Predecibilidad del Tráfico Fractal (8) Grupo de Investigación en DSP de la Universidad Distrital Grupo de Investigación en Telecomunicaciones de la Universidad Distrital Capítulo de Procesamiento de Señales de la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital

92 { Métodos Inspirados en Biología Vida Artificial ó
- Redes Neuronales - Computación evolutiva - Inteligencia de enjambre - Algoritmos genéticos - Optimización por hormigas - etc. Vida Artificial ó Modelos Basados en Agentes Principales características de un agente: Autonomía: Sensa el ambiente y toma decisiones correspondientemente Abaptabilidad: Cambia su comportamiento de aucerdo con la historia reciente y con cambios en el ambiente. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Enrutamiento por hormigas (1/7)

93 Inteligencia de Enjambre
Sistema colectivo capaz de realizar tareas complejas en ambientes inciertos, sin control externo ni coordinación central, El desempeño colectivo no podría ser alcanzado por un individuo actuando independientemente. (Comportamiento emergente y autoorganizado) Modelo natural particularmente adecuado para resolver problemas distribuidos. Algoritmos de Hormigas Inspirados en la observación de hormigas reales Ant Colony Optimization (ACO) Inspirado en el comportamiento de la colonia durante la búsqueda de alimento: Colonia de individuos que cooperan Rastros de Feromona para comunicación por “estigmergia” Búsqueda de las rutas más cortas Decisiones aleatorias usando información local Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Enrutamiento por hormigas (2/7)

94 Optimización Mediante Colonia de Hormigas
Estigmergia: Comunicación indirecta y asíncrona entre agentes (realimentación positiva) Evaporación: La ruta creada se puede “olvidar” si no se refuerza constantemente (realimentación negativa) Aleatoriedad: Las hormigas pueden escoger otro. camino aleatoriamente para no estancarse en soluciones no óptimas Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Enrutamiento por hormigas (3/7)

95 Complejidad Algorítmica
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Enrutamiento por hormigas (4/7)

96 Problema de Enrutamiento
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Enrutamiento por hormigas (5/7)

97 Desempeño Caudal (p/ms) Demanda (p/ms)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Enrutamiento por hormigas (6/7)

98 Adaptabilidad Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Enrutamiento por hormigas (7/7)

99

100

101 Dos tipos de Tráfico con la misma Media
¿Cuántos bytes llegarán en los próximos T segundos, X0, dado el número de bytes que han llegado en los anteriores períodos de T segundos, X-1, X-2, X-3, … ? Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Predecibilidad del Tráfico (1/10)

102 El Problema de la Predicción
Principio de Ortogonalidad: Si X0 es el número de bytes que llegarán en los próximos T segundos y hemos de escoger el mejor predictor de X0 entre los elementos de un espacio vectorial lineal de posibles predictores, S, obtendremos el Mínimo Error Cuadrado Medio (MMSE) si proyectamos X0 perpendicularmente sobre dicho espacio, de manera que el error resulte ortogonal a cualquier vector del espacio de predictores. Proyección de A sobre B = Producto Interno E[AB]  Y será un predictor óptimo de X0 si E[(X0 - Y) Z] = 0  Z S Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Predecibilidad del Tráfico (2/10)

103 Estimador Mediante la Esperanza Condicional
Predecir el número de bytes que llegarán en los próximos T segundos, X0, basados en la medida obtenida de los últimos T segundos, X-1  S = {g(X-1), g:RR} Y=h(X-1)  E[X0|X-1]  S Z=u(X-1)  S E[(X0 - Y)Z] = E[X0Z] - E[YZ] = E[X0 u(X-1)] - E[ E[X0|X-1] u(X-1)] = E[X0 u(X-1)] - E[ E[X0 u(X-1) | X-1] ] = E[X0 u(X-1)] - E[X0 u(X-1)] = 0 El estimador óptimo de X0 dado X-1 es donde pi,j es la probabilidad condicional de que lleguen j bytes en los próximos T segundos dado que llegaron i bytes en los anteriores T segundos Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Predecibilidad del Tráfico (3/10)

104 Cuantización Vectorial de las Medidas de Tráfico
pi,j = Prob[X-n  Intervalo j | X-n-1  Intervalo i] (independiente de n) Dada una secuencia de medidas consecutivas { …, X-2, X-1}, pij se puede estimar así: donde x(l)  E[X | X  Il] es el centroide del intervalo l. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Predecibilidad del Tráfico (4/10)

105 Volumen de Tráfico Dentro de un Segundo
Tráfico Poisson Tráfico Fractal Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Predecibilidad del Tráfico (4/10)

106 Predicción Lineal ¿Porqué no Y=E[X0 | X-1, X-2, … X-p+1, X-p]?
Porque es imposible estimar las probabilidades condicionales de orden superior Reducir nuestro espacio de estimadores de S = {g(X-1, X-2, … X-p+1, X-p), g:RpR} a S = { a1X-1+a2X-2+ … +ap-1X-p+1+apX-p, aiR, i=1,2,…,p} El mejor estimador Y= aTX satisface el principio de ortogonalidad: E[(X0 - aTX)bTX] = 0  b  Rp Expandiendo y teniendo en cuenta que (aTX)(bTX)=bTXXTa, bTE[X0X] - bTE[XXT]a = 0  b  Rp lo cual no puede ser una identidad para cualquier b a menos que E[X0X] = E[XXT]a Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Predecibilidad del Tráfico (5/10)

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112  Sistemas no-lineales  Caos  Fractales

113 Tercera Parte 8. Análisis Wavelet (16)
9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes (4) 10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala (7) 11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes (7) 12. Conclusiones (2) Grupo de Investigación en DSP de la Universidad Distrital Grupo de Investigación en Telecomunicaciones de la Universidad Distrital Capítulo de Procesamiento de Señales de la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital

114 La Transformada de Fourier
- La señal se debe conocer desde - hasta  - No se pueden localizar los componentes frecuenciales en el tiempo Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (1/16)

115 La Transformada de Fourier en Tiempo Corto
g(t) es una ‘ventana’ que selecciona un segmento alrededor de t Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (2/16)

116 La Transformada de Fourier en Tiempo Corto
g(t-t0) g(t-t1) g(t-t2) g(t-t3) f Para un t0 fijo: t t0 t1 t2 t3 Para una f0 fija: f f2 x(t) exp(-j2pf0t) g(t) XST(f0,t) G(f-f2) f1 G(f-f1) f0 G(f-f0) t Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (3/16)

117 División del Plano Tiempo-Frecuencia
Transformada de Fourier en Tiempo Corto f t División Ideal Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (4/16)

118 La Transformada Wavelet Continua
Los filtros de análisis deben ser de Q constante, su respuesta al impulso debe ser una “ondita” La CWT consiste en el conjunto de coeficientes que compara la señal a analizar x(t) con el conjunto de funciones de análisis construidas mediante desplazamiento y escalización de la función de referencia 0(u) o “wavelet madre” Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (5/16)

119 Escalogramas |TX(a,t)|2
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (6/16)

120 Algunas Wavelets Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (7/16)

121 Transformada Wavelet Inversa
- La CWT contiene toda la información sobre {x(t),t  R}, pero es redundante - La teoría matemática del Análisis Multiresolución (MRA) demuestra que es posible hacer un muestreo crítico del plano tiempo-escala para escoger entre {TX(a,t), aR+, tR}, un subconjunto discreto de coeficientes que retenga la información total contenida en {x(t), tR} - Dicho muestreo crítico define la Transformada Wavelet Discreta, DWT. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (8/16)

122 Análisis Multiresolución y DWT
Un MRA es un conjunto de subespacios vectoriales anidados {Vj, jZ}, que satisface las siguientes propiedades: 1. y 2.  Los Vj son subespacios de aproximación sucesiva para las funciones de cuadrado integrable, L2(R). 3. y 4.  Una base Riesz para Vj es el conjunto de funciones { } Z k t j Î - = ), 2 ( ) / , f Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (9/16)

123 Aproximaciones de x(t) en el MRA de Haar
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (10/16)

124 Aproximaciones de x(t) en un MRA
å = k j x V t a oyección aprox , Pr f Como Vj  Vj-1, aproxj es más burda que aproxj-1, el MRA consiste en estudiar x(t) considerando aproximaciones cada vez más burdas. La información sobre x(t) que se pierde cuando se va de una aproximación a otra más burda es el detalle: detallej(t) = aproxj-1(t) - aproxj(t) Estos detalles se pueden obtener directamente mediante la proyección de x(t) sobre el conjunto de subespacios Wj = Vj-1-Vj (o “subespacios wavelet”), generados mediante la base Riesz { } Z k t j Î - = ), 2 ( ) / ,  generada mediante escalización y desplazamiento de la “wavelet madre” 0(t), que se obtiene a partir de f0(t). ( ) å = k j x W t d oyección alle , Pr det y Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (11/16)

125 Detalles de x(t) en el MRA de Haar
aproxj(t) 0(t) 1,0(t) 2,0(t) -1 1 2 3 4 Wavelet de Haar detallej(t) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (12/16)

126 Transformada Wavelet Discreta
Teóricamente, j puede ir de - a +. Pero en la práctica nos limitamos a j{0,1,2,…,J} å = + J j t alle aprox x 1 ) ( det Dadas la función de escala 0 y la wavelet madre 0, la DWT de x(t) consiste en los coeficientes obtenidos mediante el producto interno de x(t) con las funciones base j,k y j,k. Los coeficientes DWT son muestras de los coeficientes CWT, tomadas en la rejilla diádica dX(j,k) = TX(2j,2jk) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (13/16)

127 Transformada Wavelet Discreta
Haar Wavelet: Haar Scaling Function: Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (14/16)

128 Algoritmo Rápido para Cálculo de la DWT
2 h ax(0,k) ax(1,k) ax(2,k) ax(3,k) ax(4,k) dx(4,k) dx(1,k) dx(2,k) dx(3,k) g y h son filtros digitales obtenidos a partir de 0 y 0. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (15/16)

129 Dos Características Importantes de la WT
F1. Como las bases wavelet se forman a partir del cambio de escala de la wavelet madre, la familia de funciones de análisis es Invariante a la Escala. 3,0(t) 2,0(t) 1,0(t) 0(t) F2. 0 tiene un número N1 de momentos desvanecientes ò - = 1 ,..., , ) ( N k dt t y Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Análisis Wavelet (16/16)

130 DWT de Procesos Estocásticos
- La teoría Wavelet fue establecida originalmente para señales determinísticas de energía finita. - Si 0 y 0 satisfacen ciertas condiciones muy generales relacionadas con la estructura de covarianza del proceso analizado, la DWT de un proceso estocástico de segundo orden es un campo estocástico de segundo orden. - En particular, para nuestro caso, supondremos que las funciones de escala y las wavelets decaen por lo menos exponencialmente rápido en el dominio del tiempo de manera que las estadísticas de segundo orden de la transformada existan para los procesos H-ss, H-sssi y LRD que discutimos aquí. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate WT de Procesos Autosemejantes (1/4)

131 DWT de Procesos Autosemejantes H-ss
Si X(t) es H-ss, los coeficientes dX(j,k) reproducen exactamente la autosimilitud: (Este es un resultado (no trivial) de F1). Para procesos de segundo orden, una consecuencia inmediata es for i=0: %1024 trazas muestrales y=cumsum(randn(1,256)); %BM : 0.5-sssi for j=0: %Coeficientes DWT para 5 [y,d]=dwt(y,'db2'); % escalas consecutivas D(i+1,j+1)=d(4); %Preserva el coeficiente 4 end for j=0: %Compara los histogramas [h,x]=histo(D(:,j+1),50);%para cada escala, debi- stairs(2^(-j)*x,h); %damente corregidos Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate WT de Procesos Autosemejantes (2/4)

132 DWT de Procesos Autosemejantes H-sssi
Si X(t) es H-sssi, los coeficientes {dX(j,k),kZ} para una escala fija j forman un proceso estacionario (Este resultado (no trivial, pues X(t) es no-estacionario) surge de F2). Dada la estructura de covarianza del proceso H-sssi, la correlación entre los coeficientes wavelet es casi cero si N>H+1/2. Más aún, la velocidad con que decae se puede controlar con N: for k=0: % 200 trazas muestrales y=fbm(0.78,12); % FBM 0.78-sssi for i=1: % Coeficientes dwt a [y,d(i,:)]=dwt(y,'db2');% escalas 0,1,2 y 3 R(i,:)=R(i,:) % Promedia las respec- xcorr(d(0,:),d(i,:))/200; % tivas correlaciones end Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate WT de Procesos Autosemejantes (3/4)

133 Resumen: DWT de Procesos de Escala
P1. {dX(j,k), kZ} es un proceso estacionario si N (-1)/2 cuya varianza reproduce el comportamiento de escala dentro de cierto rango de octavas j1  j  j2 P2. {dX(j,k), kZ} no presenta dependencias estadísticas de largo rango si N /2. Entre mayor N, menor el rango de dependencia, tanto que la siguiente idealización es casi siempre válida: [ ] î í ì = caso otro cualquier en y si ) , ( 2 m k l j d E X s j Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate WT de Procesos Autosemejantes (4/4)

134 El Legado de las Propiedades P1 y P2
El proceso original tiene dependencia de rango largo y no es estacionario  Difícil tratamiento estadístico (lenta convergencia y, aún después de convergir, alta variabilidad). Para cada escala j, el proceso dX(j,) tiene dependencia de rango corto (casi rango 0) y es estacionario, con media 0  Fácil tratamiento estadístico (rápida convergencia con baja variabilidad). P2 Ejemplo: La v.a. mj es un estimador no polarizado y asintóticamente eficiente capaz de representar el comportamiento de segundo orden de X(t) a la escala j. La varianza del proceso original a cada escala j tiene una ley de potencia que depende de j y, para esta ley, mj es un excelente estimador: Basta con considerar la pendiente de la gráfica de log2(mj) contra j. P1 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Detección y Estimación (1/7)

135 El Diagrama LogEscala de Segundo Orden
Energía de la Señal a la Escala j Diagrama LogEscala Como mj = 2jam0, yj = aj + log(m0) La presencia de alineación permite detectar el comportamiento de escala Entre las octavas 4 y 10 se observa Alineación con a = 0.56 (H = 0.78) El comportamiento de escala se puede identificar como LRD ya que 0 <  < 1 y la alineación incluye las escalas mayores Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Detección y Estimación (2/7)

136 El Diagrama LogEscala de Segundo Orden
Aquí se observa alineación en todo el rango de escalas, con a = 2.57 (H=0.79), consistente con la autosimilitud del fbm 0.8-sssi que se utilizó. Aquí, a bajas escalas parece haber un comportamiento de escala con a=0.16 (H=0.58), pero lo que importa es el comportamiento asintótico en el que a=0.025 (H=0.51): ruido blanco. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Detección y Estimación (3/7)

137 Detección e Identificación
Detección : Presencia de alineación (intervalos de confianza!) Evitar (1) la no detección por variaciones bruscas ni (2) la falsa inclusión the escalas a la izquierda donde el ojo sugiere que la tendencia lineal continúa (pruebas de ajuste chi-cuadrado) Estimación : Regresión lineal en el rango de escalas de alineación Identificación: ¿LRD o H-ss? Interpretación del valor estimado (0,1), [j1,]  LRD  > 1  H-ss Usar toda la información adicional posible Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Detección y Estimación (4/7)

138 Estimación Suponiendo que el intervalo [j1, j2] ya ha sido correctamente identificado: Estimar a = Determinar la pendiente del diagrama log escala en la región de alineación 1. Regresión lineal (MSE) Estimador no polarizado de a, pero ineficiente porque E[log(X)]log(E[X])  yj  aj + b 2. Regresión lineal ponderada Calcular la regresión basados en yj = log(mj)-g(j), donde  MVUE (estimador no polarizado de mínima varianza) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Detección y Estimación (5/7)

139 Estimación Estimador computacionalmente óptimo, O(n) –adecuado para
estimación en tiempo real- No es sensitivo a fenómenos que aparentan ser de escala como tendencias superimpuestas (N momentos desvanecientes eliminan tendencias polinomiales de grado N-1) Capaz de medir formas estacionarias y no estacionarias de fenómenos de escala (fenómenos multifractales) Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Detección y Estimación (6/7)

140 Eliminación de Tendencias
Completamente descrito por un modelo de escala (LRD, H-ss, o fractal) Tendencia determinística Ortogonal a valores promedio distintos de cero, T(t)=a Ortogonal a funciones lineales T(t) = at + b Ortogonal a funciones cuadráticas T(t) = at2 + bt + c Con N momentos desvanecientes se garantiza la eliminación de tendencias polinómicas de orden hasta N-1. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Detección y Estimación (7/7)

141 Síntesis Tradicional de fbm
- Cholesky, Durbin-Levinson Generan fbm exacto, pero exageradamente costosos en lo computacional Síntesis espectral, superposición de procesos on/off, desplazamiento del punto medio, ... Ligeramente más eficientes, pero sólo aproximados. S3(t) X3(t) X2(t) X1(t) N 1024 n 1 .. Número de muestras wn rnorm , ( ) Ruido blanco mxL ln 2 L Niveles h H 0.55 0.1 . Parámetros H Arreglo de desviaciones estándar para cada nivel y cada parámetro H s Puntomedio X i0 i2 i1 0.5 < if Cálculo recursivo mediante el desplazamiento del punto medio fbm > Construcción Recursiva Movimiento Browniano Fraccional H=0.95 H=0.75 H=0.55 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Síntesis (1/7)

142 Síntesis wavelet de fbm
Aproximado, pero reproduce la autosimilitud, la estacionariedad de los incrementos y la distribución gaussiana de una manera MUY eficiente. dx(1,k) 2 g ax(0,k) dx(2,k) 2 g ax(1,k) dx(3,k) 2 2 g h dx(4,k) ax(2,k) 2 2 h g ax(3,k) 2 h ax(4,k) 2 h dX(j,k) son vectores aleatorios independientes con componentes iid ~ N(0,s022j(2H+1)) Los filtros g y h se obtienen de una función de escala 0 y una wavelet madre 0 adecuadamente seleccionadas. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Síntesis (2/7)

143 Síntesis wavelet de fbm
Si las bases wavelets son ortonormales (los coeficientes son muestras de BH(t)) Si la transformada de Fourier de 0 tiende rápidamente a 0 cuando f tiende a 0 (para contrarrestar la divergencia de la densidad espectral de los incrementos de BH(t)) Si 0 tiene suficientes momentos desvanecientes (para evitar incluir correlaciones entre los coeficientes wavelet)  Los coeficientes {aX(0,k), kZ} son muestras de un fbm Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Síntesis (3/7)

144 Síntesis wavelet de fbm
function y=waveletfbm(L,H) % Genera 2^L muestras de H-fbm mediante la dwt y=0; % Máx. aproximación for j=0:L % Escalas s=2^(-j*(H+0.5)); % Varianza a esta escala d=s*randn(size(y)); % Coeficientes wavelet y=idwt(y,d,'db4'); % Un nivel de detalle más end Los coeficientes wavelet a la escala j se escojen como ruido blanco Gaussiano con varianza 2j(2H+1) de manera que la transformada inversa corresponda a un fbm con parámetro H: Cascada Aditiva Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Síntesis (4/7)

145 Modelos Wavelet Multifractales (MWM)
La wavelet de Haar a la escala J no es más que una combinación lineal de las funciones de escala a la escala J+1  CASCADA MULTIPLICATIVA Función de escala de Haar: Wavelet de Haar: Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Síntesis (5/7)

146 Modelos Wavelet Multifractales (MWM)
Uj,k Uj+1,2k Uj+1,2k+1 Uj+2,4k Uj+2,4k+1 Uj+2,4k+2 Uj+2,4k+3 Fila j: Aproximación a la escala j Wj,k Wj+1,2k Wj+1,2k+1 Wj+2,4k Wj+2,4k+1 Wj+2,4k+2 Wj+2,4k+3 Fila j: Detalle a la escala j+1 Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Síntesis (6/7)

147 Modelos Wavelet Multifractales (MWM)
Con la wavelet de Haar, X(t) es positiva si y sólo si |Wj,k|  Uj,k Entonces, dada la aproximación de X(t) a la resolución 2-j (Uj,k), encuentre Obtenga Uj+1,k a partir de Uj,k y Wj,k e itere hasta tener la resolución deseada (o la longitud deseada de la señal) Al igual que FGN, consigue un perfecto ajuste del espectro de potencia (LRD) pero, a diferencia de FGN, también se ajusta a estadísticas de orden superior y, sobre todo, a la positividad de las muestras. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Síntesis (7/7)

148 Conclusiones Las wavelets ofrecen muchas ventajas al tratar los fenómenos de escala Ofrecen un método unificado para todos los fenómenos de escala (LRD, Autosimilitud exacta o asintótica, etc.) Transforma un proceso LRD en una serie de procesos iid, permitiendo el diseño de estimadores sencillos y eficientes. Ofrecen la libertad de seleccionar el número de momentos desvanecientes Permiten una eficiente técnica de análisis y síntesis (banco de filtros) La propiedad matemática de la multiresolución se adecúa de manera natural a la propiedad física de la escala Por estudiar, entre muchas otras áreas, - ¿Cómo determinar automática y objetivamente el rango de escalas del fenómeno que se estudia? - ¿Cómo determinar si los exponentes de escala son constantes o no en el tiempo? - ¿Cómo generar otras clases más flexibles de procesos de escala? - ¿Cómo extender el análisis wavelet para resolver sistemas de colas con tráfico autosemejante? ... etc. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Conclusiones (1/2)

149 Conclusiones  Como el fenómeno de la autosemejanza en el tráfico de redes está impactando cada vez más el desempeño de las mismas, se convierte en un tema de estudio obligado para todos nosotros.  La autosemejanza es apenas uno de muchos fenómenos emergentes que se están evidenciando en redes de comunicaciones, lo que sugiere un cambio de paradigma en la administración de redes  Tratándose de un tema relativamente nuevo, podemos hacer importantes aportes investigativos para conocer, interpretar y controlar estos fenómenos.  Como en cualquier actividad de investigación en ingeniería, necesitamos un sólido fundamento matemático para poder hacer aportes en esta área. Y ya no es simplemente la Teoría de Colas, sino la matemática de toda una nueva ciencia. Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Conclusiones (2/2)