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Problemas Clásicos y Paradojas en la Teoría de Probabilidades.

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1 Problemas Clásicos y Paradojas en la Teoría de Probabilidades

2 El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C. menciona el juego de dados. El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C. menciona el juego de dados. La mitología griega atribuye su invención a Palamedes, para entretenimiento de los soldados durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI A.C. La mitología griega atribuye su invención a Palamedes, para entretenimiento de los soldados durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI A.C.

3 OBJETO La teoría de probabilidad estudia los fenómenos llamados aleatorios (similares al juego de dados) en los que el conocimiento de las condiciones iniciales no permite predecir con exactitud la evolución y el resultado final del fenómeno. Sólo estudia aquellos fenómenos que pueden repetirse ilimitadamente en las mismas condiciones iniciales.

4 LOS PIONEROS Galileo, Considerazione sopra il giuoco dei dadi, 1612 Galileo, Considerazione sopra il giuoco dei dadi, 1612 Pierre Fermat, correspondencia con Pascal, 1654 Pierre Fermat, correspondencia con Pascal, 1654 Blas Pascal, Traité du triangle arithmétique, 1654 Blas Pascal, Traité du triangle arithmétique, 1654 Huygens, Libellus de ratiocinii in ludo aleae, 1656 Huygens, Libellus de ratiocinii in ludo aleae, 1656 Jakob Bernouilli, Ars conjectandi, 1705 y 1718 Jakob Bernouilli, Ars conjectandi, 1705 y 1718 Nikolau Bernouilli, De usu artis conjectandi in jure, 1709 Nikolau Bernouilli, De usu artis conjectandi in jure, 1709 Pierre Rémond de Montmort, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, 1708 y 1713 Pierre Rémond de Montmort, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, 1708 y 1713 Abraham De Moivre, Doctrine of chances, 1718 Abraham De Moivre, Doctrine of chances, 1718 P.S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, 1812 P.S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, 1812

5 Galileo (1564-1642) Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695) Newton_________________________________ 1642 1727 Leibniz______________________ Leibniz______________________ 1646 1716 1646 1716 Jakob Bernouilli_________ Jakob Bernouilli_________ 1654 1705 1654 1705 Johan Bernouilli__________________________ Johan Bernouilli__________________________ 1667 1748 1667 1748 Nikolaus I Bernouilli___________________ Nikolaus I Bernouilli___________________ 1687 1759 1687 1759 Montmort________________ Montmort________________ 1678 1719 1678 1719 De Moivre________________________________ De Moivre________________________________ 1667 1754 1667 1754 Laplace (1749-1827) Laplace (1749-1827)

6 ESPACIO MUESTRAL DE 2 DADOS 1-11-21-31-41-51-6 2-12-22-32-42-52-6 3-13-23-33-43-53-6 4-14-24-34-44-54-6 5-15-25-35-45-55-6 6-16-26-36-46-56-6 A = {S = 5} = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }

7 DEFINICIÓN CLÁSICA “Probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe ocurrir con preferencia a los demás, lo que hace que todos sean, para nosotros, igualmente posibles.” Pierre-Simon Laplace, Essai philosophique sur les probabilités “Probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe ocurrir con preferencia a los demás, lo que hace que todos sean, para nosotros, igualmente posibles.” Pierre-Simon Laplace, Essai philosophique sur les probabilités

8 PROBLEMA DE GALILEO Juego del “pasadiez”

9 CASOS FAVORABLES Suma 9 Combinac. #Casos Suma 10 Combinac. #Casos Suma 11 Combinac. #Casos Suma 12 Combinac. #Casos 1-2-6 6 1-3-5 6 1-4-4 3 2-2-5 3 2-3-4 6 3-3-3 1 Total 25 1-3-6 6 1-4-5 6 2-2-6 3 2-3-5 6 2-4-4 3 3-3-4 3 Total 27 1-4-6 6 1-5-5 3 2-3-6 6 2-4-5 6 3-3-5 3 3-4-4 3 Total 27 1-5-6 6 2-4-6 6 2-5-5 3 3-3-6 3 3-4-5 6 4-4-4 1 Total 25

10 LAS PROBABILIDADES EN EL PROBLEMA DE GALILEO

11 CHEVALIER DE MÈRÈ 1607-1684 Antoine Gombaud −Caballero de Mèrè− fue un escritor y matemático aficionado francés. Famoso por haber planteado a Blas Pascal dos problemas que dieron origen a la teoría de probabilidades. Antoine Gombaud −Caballero de Mèrè− fue un escritor y matemático aficionado francés. Famoso por haber planteado a Blas Pascal dos problemas que dieron origen a la teoría de probabilidades.

12 PROBLEMA I Probabilidad de obtener (al menos) un doble 6 en 24 lanzamientos de 2 dados Probabilidad de obtener (al menos) un doble 6 en 24 lanzamientos de 2 dados Cálculo de de Mèrè: p = 24(1/36) = 2/3 Cálculo de de Mèrè: p = 24(1/36) = 2/3 Cálculo de Pascal: Cálculo de Pascal:

13 Problema II (de los puntos) AAAAAABBBBBA AAAAAABBBBBA AAABABABBBAB AAABABABBBAB AABABAABBABB AABABAABBABB ABAABABAABBB ABAABABAABBB BAAABBAABBBB BAAABBAABBBBABBA

14 GENERALIZACIÓN: PROBABILIDADES DISTINTAS (DE MONTMORT, 1708) Problema de las coincidencias

15 JEU DU TREIZE Fórmula de inclusiones y exclusiones

16 Pierre Rémond de Montmort (1678-1719) En correspondencia y amistad con Nicolás Bernouilli y otras personalidades científicas de su época. En correspondencia y amistad con Nicolás Bernouilli y otras personalidades científicas de su época. Miembro de la Royal Society y de la Académie Royal des Sciences. Miembro de la Royal Society y de la Académie Royal des Sciences. Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo Bernouilli: Ars Conjectandi (1713). Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo Bernouilli: Ars Conjectandi (1713). Obra propia: Essay d’analyse sur les jeux de hazard (1708) Obra propia: Essay d’analyse sur les jeux de hazard (1708) Dueño del Château de Montmort. Dueño del Château de Montmort.

17

18 Regularidad Estadística Essai philosophique sur les probabilités (Laplace, 1814) 1. Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda 1. Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda Francia: Francia: 2. Paris (1745-1784): 2. Paris (1745-1784):

19 Ensayos de Bernouilli; Ley binomial, Jakob Bernouilli, sus investigaciones entre 1684 y 1689 Probabilidad de k éxitos en n ensayos independientes

20 Experimento de W. F. R. Weldon 26306 lanzamiento de 12 dados contando 5 o 6 como éxito (carta a Galton, 1894) Distribución teórica (ley binomial)

21 Weldon’s dice experiment (26306 lanzamientos de doce dados) Número de Frecuencia Frecuencia Desvío Número de Frecuencia Frecuencia Desvío éxitos observada teórica éxitos observada teórica_______________________________________________________________ 0 185 203 -18 0 185 203 -18 1 1149 1216 -67 1 1149 1216 -67 2 3265 3345 -80 2 3265 3345 -80 3 5475 5576 -101 3 5475 5576 -101 4 6114 6273 -159 4 6114 6273 -159 5 5194 5018 176 5 5194 5018 176 6 3067 2927 140 6 3067 2927 140 7 1331 1255 76 7 1331 1255 76 8 403 392 11 8 403 392 11 9 105 87 18 9 105 87 18 10 14 13 1 10 14 13 1 11 4 1 3 11 4 1 3 12 0 0 0 12 0 0 0

22 ESPACIO MUESTRAL Cada evento A está representado por un conjunto de resultados posibles (el conjunto de los casos favorables al evento). Cada evento A está representado por un conjunto de resultados posibles (el conjunto de los casos favorables al evento). El evento A ocurre si y sólo si el resultado e pertenece al conjunto A. No ocurre en caso contrario. El evento A ocurre si y sólo si el resultado e pertenece al conjunto A. No ocurre en caso contrario. Evento imposible: Ø Evento seguro: Ω Evento imposible: Ø Evento seguro: Ω

23 PROBABILIDAD

24 REGLAS BÁSICAS

25 LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Jakob Bernouilli (1654-1705) Obra póstuma: Ars Conjectandi, 1713

26 El teorema de De Moivre-Laplace

27 PROBABILIDAD GEOMÉTRICA Ω F

28 Paradoja de Bertrand (1) A

29 Una cuerda se determina por su punto medio

30 Paradoja de Bertrand (2)

31 Paradoja de Bertrand (3)

32 Elección de un punto al azar (con densidad uniforme) en el disco unitario |z| ≤ 1

33 Joseph Louis Bertrand 1822-1900 Ingeniero en Minas, matemático y economista francés profesor en la École Polytechnique y el Collège de France Obras Traité élémentaire d’algebre,1851 Traité élémentaire d’algebre,1851 Traité de calcul differentiel et de calcul integral,1864-70 Traité de calcul differentiel et de calcul integral,1864-70 Théorie des Richesses …,Journal des Savants, 1883 Théorie des Richesses …,Journal des Savants, 1883 Thermodinamique, 1887 Thermodinamique, 1887 Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890 Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890

34 Paradoja de Monty Hall Uno de los gabinetes contiene Un automóvil

35 Diagrama de árbol 1/3 A2A2 A3A3 B2B2 p B3B3 q B3B3 B2B2 1 1 A1 A1

36 Probabilidad de A2 dado B3

37 Persistencia de la mala suerte

38 Cálculo del valor medio E(N)

39 OBJECIONES Si buscara el primer usuario que tardó menos que yo en recibir el servicio, hallaría el mismo resultado. Si buscara el primer usuario que tardó menos que yo en recibir el servicio, hallaría el mismo resultado. Réplica: en nuestra memoria registramos más vivamente cuando nos va mal que cuando nos va bien. Réplica: en nuestra memoria registramos más vivamente cuando nos va mal que cuando nos va bien. Cualquier otro cliente podría hacer el mismo razona- miento. Cualquier otro cliente podría hacer el mismo razona- miento. Réplica: no es frecuente ponerse en el lugar del otro Réplica: no es frecuente ponerse en el lugar del otro

40 Guarda bien esta máxima en tu mente, consuelo del mortal atribulado: no hay mal como el propio y el presente; no hay bien como el ajeno y el pasado. Joaquín María Bartrina

41 SUCESIONES DE DÍGITOS ALEATORIOS TESTS DE ALEATORIEDAD PROBLEMA DEL COLECCIONISTA

42 PROBLEMA DEL COLECCIONISTA Una colección C de n figuritas: Una colección C de n figuritas: Se realizan compras sucesivas hasta lograr la colección completa Se realizan compras sucesivas hasta lograr la colección completa

43 Probabilidad de que sea N = r Valor medio de N

44 Caso especial: n = 10 C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} E(N) = 10(1+1/2+1/3+ ··· +1/10) E(N) = 10(1+1/2+1/3+ ··· +1/10) = 29.29 (aprox.) = 29.29 (aprox.)

45 UN EXPERIMENTO CON DÍGITOS AL AZAR 04433 80674 24520 18222 10610 05794 37515 60298 47829 72648 37414 75755 04717 29899 67884 59651 67533 68123 17730 95862 08034 89512 32155 51906 61662 64130 16688 37275 …………………………………………………. N = 29, 22, 25, 32

46 29, 22, 25, 32, 32, 20, 35, 22, 30, 27, 36, 27, 21, 47, 31, 39, 39, 14, 25, 21, 40, 57, 39, 41, 30, 24, 17, 15, 29, 23, 24, 42, 27, 14, 17, 36, 36, 30, 21, 30, 47, 16, 17, 48, 23, 19, 17, 28, 20, 28

47 Evolución del promedio n102030405060 An27.628.829.729.228.6228.75

48 Problema de los diez cazadores y las diez palomas Cazadores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Palomas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Palomas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 94620 27963 94620 27963 Salvadas: 1, 5, 8 Salvadas: 1, 5, 8

49 Primer dígito significativo de un número N elegido al azar en un anuario demográfico o de producción agraria, industrial o minera

50

51 Anomalous numbers Benford’s first-digit law

52 RADIOS ORBITALES EN EL SISTEMA SOLAR

53 UN CASO REAL En los años 70 la fiebre hemorrágica, también conocida como “mal de los rastrojos” o “mal de Junín” afectaba al 1% de los peones rurales en la provincia de Buenos Aires. En los años 70 la fiebre hemorrágica, también conocida como “mal de los rastrojos” o “mal de Junín” afectaba al 1% de los peones rurales en la provincia de Buenos Aires. Un equipo de investigadores ensayó una vacuna en 200 peones escogidos al azar, ninguno de los cuales contrajo la enfermedad. Un equipo de investigadores ensayó una vacuna en 200 peones escogidos al azar, ninguno de los cuales contrajo la enfermedad. ¿Es evidencia en favor de la vacuna? ¿Es evidencia en favor de la vacuna?

54 Aplicación de la ley binomial

55 Aproximación de Poisson

56 Muchas gracias a todos por haber venido y en especial al Ing. Fazzini, a quien corresponde el mérito de la presentación


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