CONSTRUIR CONOCIMIENTO MATEMATICO

Presentación del tema: "CONSTRUIR CONOCIMIENTO MATEMATICO"— Transcripción de la presentación:

1 CONSTRUIR CONOCIMIENTO MATEMATICO
FORO DE EDUCACION SUPERIOR EN COMPETENCIAS MATEMATICAS Bogotá, Noviembre 22 de 2006 CONSTRUIR CONOCIMIENTO MATEMATICO Profesor Luis Carlos Arboleda Grupo de Historia de las Matemáticas Instituto de Educación y Pedagogía Universidad del Valle Cali

2 CONTENIDO DE LA EXPOSICIÓN
Distinción entre la acepción corriente de la palabra construcción y la construcción de objetos matemáticos. Hilbert-Bourbaki: El núcleo central de la actividad matemática es la resolución de problemas. El “sentido del Análisis”. Resolución de problemas y construcción de objetos matemáticos. Descartes y las curvas algebraicas. Procedimientos constructivos y teorías deductivas. Distintas modalidades de construcciones deductivas: Geometría y Aritmética. Tematización y edificación lógica de los sistemas numéricos. La opinión de Dedekind. A manera de conclusión: La opinión de un poeta, Valéry.

3 ¿Qué es construir? En su acepción general, la palabra “construir” remite a la actividad de un sujeto que elabora un objeto que antes no existía, utilizando determinado “arte”. La actividad constructiva supone una doble existencia: La existencia de un constructor La existencia de un material inicial que mantiene una cierta homogeneidad con el objeto construido. Se construye una casa, una frase, una pieza musical… una teoría deductiva

4 Se habla de construcción de teorías matemáticas en tanto no son una torre de Babel disciplinaria, y están dotadas de una Arquitectura, con determinada cohesión y unidad estructural. Pero… La actividad constructiva de las matemáticas es de unas características particulares: “Las concepciones de las que nos ocupamos y cuya conexión íntima estudiamos son en sí mismas producto de un trabajo prolongado del pensamiento matemático, y están muy alejadas de los pensamientos que se utilizan de manera corriente en la vida.” Félix Klein

5 Las estructuras y sistemas axiomáticos expresan de la manera más general propiedades simples de distintas teorías particulares, y regularidades de fenómenos diversos del mundo social y natural. Cuando un matemático está en condiciones de apropiarse de estos instrumentos teóricos, dispone de un poderoso arsenal de teoremas con capacidad de explicación múltiple. Las formas de pensamiento asociadas con este tipo de matemáticas son radicalmente distintas a las mentalidades decimonónicas del trabajo laborioso y solitario en problemas y disciplinas sometidas a hipótesis restrictivas y particulares.

6 “El matemático no trabaja en forma mecánica … No sobra insistir en el papel fundamental que desempeña una intuición particular en sus investigaciones. “Aunque muchas veces conduzca, como toda intuición, la intuición del matemático es distinta a la intuición del mundo sensible. “Es más bien un tipo de adivinación directa (anterior a todo razonamiento) del comportamiento normal previsible de unos objetos matemáticos con los cuales el matemático ha estado tan familiarizado por su actividad cotidiana con ellos, como los objetos del mundo real.” Nicolás Bourbaki

7 Dieudonné, Prefacio al Cálculo Infinitesimal:
El núcleo central de la actividad matemática es la solución de los grandes problemas legados por nuestros predecesores. Si en nuestra época hemos dado saltos espectaculares es porque el arsenal de nociones abstractas de que disponemos nos ha permitido concentrarnos en los aspectos de fondo dejando de lado los detalles superficiales. Adquirir el “sentido del Análisis” consiste en concentrarse en los principios más que en el cálculo: Mayorar, Minorar, Aproximar.

8 Hilbert sobre el papel central de los problemas en la actividad matemática, Congreso Internacional de 1900 en París: “No podemos negar el profundo significado que representan ciertos problemas tanto para el avance de la ciencia matemática en general, como por el importante papel que juegan estos problemas en el trabajo del investigador particular. “En cuanto una rama de la ciencia nos ofrezca una abundancia de problemas, permanecerá siempre viva; una carencia de problemas pronosticaría una extinción o parálisis en su desarrollo independiente. Así como cada empresa humana persigue ciertos objetivos, así también la investigación matemática requiere sus problemas. “Es por medio de la solución de problemas que se templa la fuerza del investigador, descubriendo nuevos métodos y nuevos enfoques, y ganando un horizonte más vasto y más libre.”

9 Resolución de problemas
El problema de Pappus En donde la solución clásica del problema se reclamaba de una curva, la Geometría impone un nuevo objeto: una curva-ecuación. Instrumentos de investigación Construcción de ecuaciones Utilización de curvas para resolver ecuaciones algebráicas de distintos grados Objetos de estudio El problema de las tangentes Clasificación de curvas ecuaciones según el grado. Introducción de un método para encontrar la normal a una curva en un punto.

10 La “libertad deductiva” se impone en el siglo XIX como respuesta a la crisis del “naturalismo”
Esta libertad es ante todo el resultado de una necesidad: Los axiomas no son un punto de partida sino un punto de llegada. Incluso las teorías más abstractas tienden a la aplicabilidad en las ciencias naturales. Los objetos matemáticos están dotados, si no de realidad física, de alguna realidad objetiva. Existe un cierto platonismo ingenuo que le permite al matemático reservarse la garantía de que su trabajo no es arbitrario.

11 Procedimientos constructivos en las teorías deductivas:
Los objetos matemáticos provienen, no de abstracciones de objetos reales, mediante la descripción de sus características principales, sino de un proceso de objetivación de procedimientos. En la formalización de la geometría Euclideana, las definiciones y postulados develan el trabajo mediante el cual, procedimientos empíricos de la práctica se tradujeron en figuras y operaciones abstractas de la geometría: circunferencia, esfera, cónicas, curvas... Los objetos matemáticos se construyen por procedimientos cada vez menos materiales y cada vez más mentales en el marco de estructuras teóricas : por ejemplo, las construcciones de los números reales.

12 Existen diferencias en la presentación constructiva de una misma teoría deductiva:
En la tradición de Euclides hay proposiciones que: Enuncian propiedades o Teoremas (v. gr. Proposición I,6: Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados que los subtienden también serán iguales). Otras, Problemas, demandan un saber-hacer, un saber-encontrar (v.gr. Proposición I,1: Sobre una recta finita dada, construir un triángulo equilátero). Los problemas no son aplicaciones simples de teoremas, y cumplen una función conceptual en el entramado deductivo: las proposiciones subsiguientes se apoyan en ellos tanto como los teoremas.

13 Fundamentos de la Geometría:
La construcción hilbertiana de la geometría es distinta a la construcción Euclideana: Los procedimientos técnicos euclideanos se traducen lógicamente en afirmaciones de existencia. Elementos, Postulado 1: Trazar una línea recta de un punto cualquiera a cualquier otro. Fundamentos de la Geometría: Axioma I, 1: Existe una recta asociada a dos puntos A y B a la cual pertenecen estos dos puntos. Axioma I, 2: No existe más de una recta a la cual pertenezcan dos puntos A y B.

14 La construcción estrictamente deductiva de la aritmética es lógicamente distinta a la construcción geométrica. A partir de Cantor y Frege los números naturales son, en términos de comprehensión, predicados de predicados. Hay una elevación progresiva de los órdenes lógicos de existencia: los números naturales se construyen a partir de las magnitudes, por medio de una relación de equivalencia. A partir de los enteros naturales se edifican lógicamente unos a partir de otros, los relativos, los racionales y los reales por medio de una cascada de tematizaciones.

15 Explicación de Cassou-Nogues sobre el concepto de “tematización” en Cavailles:
La tematización es el proceso por el cual una operación que previamente se ha realizado sobre un campo de objetos, es objeto de una segunda operación, la cual se vuelve objeto de una tercera operación, y así sucesivamente. Las transformaciones geométricas definidas sobre los puntos del plano, son un campo de objetos en el cual se aplica una operación aditiva dando lugar a una estructura de grupo. Una tematización no es una generalización simple. Las curvas algebraicas de la ecuación de segundo grado no generalizan las curvas geométricas, las cónicas de Apolonio. La construcción del arquitecto o del albañil es distinta a la edificación lógica de la aritmética, pues la materialidad de lo construido se mantiene en el primer orden lógico de existencia de los materiales originales.

16 A diferencia de la existencia del mundo de los objetos sensibles, en la aritmética los distintos niveles de existencia apelan únicamente a cuantificadores universales. Cada sistema numérico, en particular los naturales, se caracteriza por las propiedades de su estructura. “Si en la consideración de un sistema simplemente infinito N ordenado por una representación  se prescinde totalmente de la peculiar naturaleza de los elementos, únicamente se retiene su diferenciabilidad y sólo se consideran las relaciones mutuas en que los coloca la representación ordenadora , se llama a estos elementos números naturales o números ordinales o también números a secas, y al elemento base 1 se le llama número base de la serie numérica N. “Considerando esta liberación de los elementos con respecto a cualquier otro contenido (de abstracción) se puede llamar a los números, con derecho, creación libre del espíritu humano. “Las relaciones o leyes que se derivan de las condiciones..., y que por tanto son siempre las mismas en todos los sistemas ordenados simplemente infinitos, sean cuales sean los nombres que casualmente correspondan a cada uno de los elementos..., constituyen el objeto inmediato de la ciencia de los números o aritmética.” Richard Dedekind

17 A manera de conclusión: La opinión de Valéry en los Cahiers de 1901.
Las matemáticas no tienen por qué privilegiar el estudio de la cantidad frente a otros objetos. Por el contrario, las matemáticas analizan relaciones entre objetos de naturaleza cualquiera. Estudian las propiedades de la forma y no tal o cual expresión particular suya: “La independencia de las operaciones con respecto a sus contenidos, he ahí el hecho intelectual eminente. Cuando se crean los contenidos a partir de las operaciones mismas, es decir, cuando se designan y se distinguen las operaciones observadas, y se establecen combinaciones entre ellas, entonces se está en las matemáticas.”

18 Gracias Luis Carlos Arboleda Aparicio
Grupo de Historia de las Matemáticas