APLICACIONES Teorema de Pitágoras

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1 APLICACIONES Teorema de Pitágoras
ESPAD III * TC 20 APLICACIONES Teorema de Pitágoras

2 d = l.√2 CUADRADO Diagonal de un cuadrado
Recta que une dos vértices opuestos. Por el Teorema de Pitágoras: d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2 Las diagonales son rectas que se cortan en su punto medio y son perpendiculares. Las dos son iguales en medida. Ejemplo: Hallar la diagonal del cuadrado de lado l= 5 cm d=√( ) = √(25+25)= = √2.25 = 5.√2 cm l d d’ l l l d = l.√2

3 RECTÁNGULO Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos. Por el Teorema de Pitágoras: d=d’ = √( b2 + h2 ) Las diagonales se cortan en su punto medio. Son iguales. Ejemplo: Hallar la diagonal del rectángulo de 8 cm de base y de 6 cm de altura. d=√( ) = = √( ) = √100 = 10 cm b d’ d h h b d = √( b2 + h2 )

4 ROMBO Las diagonales son rectas que unen vértices opuestos. Las dos diagonales son distintas y perpendiculares. En el triángulo rectángulo resaltado, en rojo, por el Teorema de Pitágoras: l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] Ejemplo: Hallar el lado del rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 24 l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] = = √ [ (24/2)2 + (10/2)2 ] = = √ ( ) = √ 169 = 13 cm l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] l l d D l l

5 TRAPECIO ISÓSCELES Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES. P = B + b + 2.l A = [ (B+b)/2 ].h EJEMPLO_1 En un trapecio isósceles las bases miden 13 y 5 cm y la altura mide 3 cm. Hallar el lado oblicuo, el perímetro y el área. Por Pitágoras: Cateto mayor = altura= 3 cm Cateto menor = (B – b) / 2 = (13-5)/2 = 4 cm Hipotenusa = lado oblicuo = l Luego l = √(h2 + [(B–b)/2]2) = √ ( ) = = √ (9 + 16) = √25 cm = 5 cm P = = = 28 cm A = [(13+5)/2].3 = (18/2).3 = 9.3 = 27 cm2 b l l h B Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b ) / 2 )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B-b)/2 = el otro cateto.

6 EJEMPLO_2 En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. b=5 l l h h Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm B = 11

7 TRAPECIO RECTÁNGULO Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases. PERÍMETRO: P = B + b + l + h AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B - b) = el otro cateto. b l h h B

8 Ejemplo_1 Hallar el lado oblicuo del trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 cm y 16 cm y cuya altura mide 5 cm Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } Sustituyendo los valores conocidos: l = √ { 52 + [ ( 16 – 12 )2 ] } = = √ ( ) = √ ( ) = = 6,40 cm Ejemplo_2 Hallar la altura del trapecio rectángulo cuyas bases miden 22 cm y 16 cm y cuyo lado oblicuo mide 10 cm Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } Sustituyendo los valores conocidos: 10 = √ ( h ) ; = h ; 64 = h2  h = 8 cm b h l h B

9 EXÁGONO apo = l. √3 / 2 P = 6.l A = P.apo / 2
Es un polígono regular de SEIS lados. Se compone de 6 triángulos equiláteros. Todos sus ángulos miden 60º La altura de cada uno de los seis triángulos se llama Apotema. La apotema se puede deducir por el Teorema de Pitágoras, pues: l= hipotenusa. l/2= un cateto. apo= otro cateto. Teniendo: l2 = (l/2)2 + apo2 apo2 = l2 - (l/2)2 De donde: apo = l. √3 / 2 l l l apo l l P = 6.l A = P.apo / 2 l apo l / 2

10 Ejemplo_1 Hallar la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2 Sustituyendo los valores conocidos: 62 = 32 + apo2 Despejando: apo2 =  apo2 = 36 – 9 = 27  apo = √27 = 5,20 Ejemplo_2 Hallar el lado del hexágono regular cuya apotema mide 4 cm. l2 = (l2 / 4) + 42 Operando: 4.l2 = l  3.l2 = 64  l = √(64/3) = 4,6188 cm