Trabajo y Energía Autores

Trabajo y Energía Autores
Ignacio Cruz Encinas Mario Enrique Álvarez Ramos Roberto Pedro Duarte Zamorano Ezequiel Rodríguez Jáuregui Rogelio Gámez Corrales UNIVERSIDAD DE SONORA Departamento de Física

Contenido Introducción Trabajo y Energía debido a una Fuerza Constante
Aplicada en la dirección de movimiento. Aplicada en dirección diferente a la del movimiento. Producto Escalar de Vectores (repaso) Trabajo y Energía debido a una Fuerza Variable

Introducción F = m a Ecuaciones de cinemática
En los capítulos anteriores, se resolvieron problemas donde se involucraban Fuerzas constantes utilizando la segunda ley de Newton: F = m a Donde F viene expresada en función de las propiedades del cuerpo y del medio ambiente que lo rodea, por medio de la ley de fuerzas ( o ley de la naturaleza ) respectiva que rige el movimiento de un cuerpo. Bajo ciertas condiciones iniciales, pudimos conocer la aceleración a del cuerpo y al sustituirla en las ecuaciones de movimiento o Ecuaciones de cinemática (exclusivas para aceleración constante) x = x0 + v0 t + ½ a t2 x = x0 + ½ ( v + v0 ) t v = v0 + a t v2 - v02 = 2 a ( x – x0 )

Introducción Ecuaciones que determinan la posición como una función del tiempo x(t) así como su velocidad v(t), con lo cual queda resuelta la primera parte del problema fundamental de la mecánica clásica. Es una primera parte ya que únicamente se consideró el caso de una Fuerza constante y en consecuencia una aceleración dada por la segunda ley de Newton: a = F ∕ m Si se analiza la ecuación anterior, la aceleración del cuerpo depende de la Fuerza y de la masa. La segunda parte del problema de la mecánica clásica es cuando la Fuerza que actúa sobre el cuerpo es variable, en cuyo caso, la aceleración también lo será y consecuentemente, no se pueden aplicar las ecuaciones de movimiento de cinemática anteriores ya que éstas son exclusivamente para aceleración constante. En este capítulo se aborda el método (integración) para resolver este tipo de problemas.

Introducción La tercera parte del problema es cuando se consideran sistemas de masa variable como en el caso de los cohetes que al ir quemando combustible su masa varía. Sin embargo, este tipo de problemas corresponde a un segundo curso de mecánica. Dentro de la primera parte, aunque podemos conocer la posición y velocidad de la partícula como una función del tiempo sin necesidad de abordarlos desde el punto de vista del Trabajo y Energía, para fines didácticos y facilitar el estudio y entendimiento de casos complicados como el de fuerzas variables, es necesario definir estos conceptos y poder llegar al teorema del trabajo y la energía, en el cual no es necesario conocer la aceleración de la partícula aunque indirectamente se aplique la segunda ley de Newton. En el capítulo anterior vimos que el concepto de fuerza lo relacionábamos con jalar o empujar un objeto y que para fines científicos requeríamos de una definición mas formal. De la misma forma, el concepto que tenemos de la palabra trabajo, lo relacionamos con cualquier actividad que requiere de un esfuerzo muscular o intelectual, así decimos que vamos al trabajo, que al levantar y sostener un objeto estamos realizando trabajo, que se requiere de un trabajo intelectual para entender las notas de clase, etc.

Trabajo En física, el científico requiere enunciar con exactitud lo que significa la palabra trabajo, restringiéndola a los casos en los cuales interviene la aplicación de una fuerza sobre un cuerpo y un desplazamiento. Sin embargo, dentro de dicha restricción existen diferentes variantes ya que la fuerza aplicada sobre un cuerpo puede ser: Constante Variable En cualquiera de los dos casos el desplazamiento puede ocurrir En una dimensión En dos dimensione. En tres dimensiones Adicionalmente, la fuerza aplicada puede estar en: En la dirección de movimiento En dirección diferente a la del movimiento. Así como en cinemática donde al inicio se abordan los casos mas sencillos y después se van complicando a medida que se avanza en el curso, para el caso del trabajo y la energía se procede de la misma forma, abordando el caso mas sencillo que es:

Trabajo realizado por una Fuerza Constante
Consideremos un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal áspera, al cual se le aplica una fuerza horizontal constante ( P ) de tal manera que mueve al cuerpo en la dirección positiva, desde la posición inicial x0 hasta la posición final xf En una primera aproximación, definimos el trabajo (W) realizado por la fuerza P aplicada sobre el cuerpo como: W = P ∆x = Pd la unidad de trabajo es el Newton-metro denominado Joule. ( 1 N ) ( 1 m ) = 1 Joule El trabajo realizado por esta fuerza tiene un valor positivo ya que tanto P como ∆x apuntan en la dirección positiva. P x0 xf │ ∆ x │= │ x – x0 │= d x x +(m)

Sobre un cuerpo pueden estar actuando varias fuerzas, en el siguiente diagrama se presentan varias fuerzas que pueden estar actuando sobre el cuerpo. En el caso anterior, encontramos que la fuerza P realiza un trabajo positivo, sin embargo, se pueden dar las condiciones para que el trabajo sea negativo o nulo. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento cinético que la superficie áspera del piso ejerce sobre el cuerpo se opone al movimiento resultando un trabajo negativo, ya que la dirección de la fuerza (fk) y el desplazamiento son opuestos. b) a) P W fk N fk P W

Cuando actúan varias fuerzas sobre el cuerpo, el trabajo realizado por cada una de ellas se determina a partir de la definición de trabajo dada anteriormente, y el trabajo neto realizado por las fuerzas sobre el cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas, calculados individualmente, esto es: WTotal = WP + Wmg + WN + Wfk En el diagrama de cuerpo libre a), al aplicar la segunda ley de Newton encontramos una fuerza resultante o neta F positiva y constante, motivo por el cual el trabajo neto sobre el cuerpo es positivo. El efecto de este trabajo positivo, en virtud de la segunda ley de Newton, se manifiesta en una aumento de la velocidad del cuerpo. N P W fk a)

En el diagrama de cuerpo libre b), reducimos la fuerza aplicada de tal manera que su magnitud fuera igual a la fuerza de rozamiento, de esta manera el cuerpo va a continuar moviéndose con velocidad constante por lo que la aceleración del cuerpo será cero y en consecuencia la fuerza neta o resultante, luego entonces, el trabajo neto efectuado por las fuerzas sobre el cuerpo es nulo. b) N P W fk

Para encontrar la relación entre el trabajo y los cambios de velocidad, analicemos un movimiento que nos es familiar en el laboratorio. El ejemplo es el siguiente: Un móvil se desplaza sobre un riel de aire sin fricción bajo la acción de una fuerza constante transmitida por medio de la tensión de un hilo que pasa por una polea sin fricción, en cuyo extremo se encuentra suspendido un peso a una altura h, tal como se muestra en la siguiente figura. h v1 v0 = 0 x0 = 0 x1 mg │∆x│= d

Al soltar el peso, el móvil inicia su movimiento (v0= 0 ) a partir del origen (x0 = 0 ), y la posición (x1) del móvil al recorrer una distancia d vendrá dada por la ecuación: y el trabajo realizado es: W = T x donde T es la tensión del hilo, siendo la única fuerza que actúa sobre el cuerpo (en el eje x) y en consecuencia la Fuerza neta, la cual viene expresada de acuerdo con la segunda ley de Newton como: T = m a Sustituyendo los valores de T y x1 en W tenemos que:

Trabajo y Energía para Fuerza constante
Al adquirir esta velocidad (v1), el móvil se encuentra en la posición x1 y el peso ha chocado con el suelo por lo cual la fuerza representada por la tensión del hilo desaparece. Como no existe rozamiento, el móvil continuará moviéndose con esta misma velocidad Sin embargo, el móvil ha adquirido una propiedad que no poseía cuando se encontraba en reposo, esta propiedad consiste en la capacidad que tiene ahora de realizar trabajo sobre otro objeto que interaccione con él. Para comprobar lo anterior hagamos lo siguiente: En la posición x2 coloquemos un clavo apuntalado horizontalmente en un bloque de algún material (frigolit) que permita al clavo penetrar en él y que a la vez evite que el móvil retroceda en el choque. v1 v0 = 0 x0 = 0 x1 v1= v2 x2 v = constante

De ésta forma, el móvil que tiene una velocidad v1 = v2 ejercerá una fuerza F constante sobre el clavo, la cual se suspenderá cuando su velocidad v3 sea cero. La aceleración (desaceleración) del móvil que en magnitud es la misma que experimenta el clavo se puede determinar a partir de la siguiente ecuación de movimiento: donde v2 es la velocidad del móvil al momento del impacto e igual a v1 y v3 = 0 por lo que: v3 = 0 v0 = 0 x0 = 0 x2 v1= v2 x3 v = variable v1 x1 v = constante

Por lo que la fuerza que ejerce el clavo sobre el móvil (Fc/m) de acuerdo a la segunda ley es: Por la tercera ley de Newton, esta fuerza debe de ser de igual magnitud pero en sentido contrario a la que ejerce el móvil sobre el clavo. El trabajo realizado por el móvil sobre el clavo al clavarlo una distancia x3 - x2 es:

Luego entonces se puede afirmar lo siguiente: El trabajo realizado por una fuerza neta sobre el móvil es el mismo trabajo que éste puede realizar sobre otro objeto que interaccione con él. A la propiedad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo se le denomina Energía, en este caso, el trabajo se relaciona con la velocidad del móvil, recibiendo el nombre de Energía Cinética. La palabra cinética proviene del griego kinematics que significa movimiento, utilizándose el símbolo K para representarla y su valor es igual al trabajo que puede efectuar un cuerpo en movimiento hasta quedar en reposo.

Para terminar el análisis de esta sección, supongamos que de la posición x2 retiramos el bloque con el clavo y a partir de esta posición cancelamos todos los orificios por donde sale el aire, en esta nueva situación, el móvil ya no estará "suspendido", por lo que las superficies entrarán en contacto generando una nueva fuerza: la fuerza de rozamiento cinético. Esta fuerza será la única que actúe sobre el móvil y por lo tanto la fuerza neta que hará que se detenga a una determinada distancia (x3-x2) El trabajo realizado por esta fuerza será: v3 = 0 v0 = 0 x0 = 0 x2 v1= v2 x3 v = variable v1 x1 v = constante

donde la fuerza fk viene dada por la segunda ley de Newton: fk = m a sustituyendo tenemos que: W = m a (∆x) donde la aceleración se encuentra a partir de la ecuación: sustituyendo tenemos el trabajo realizado por la fuerza neta, en éste caso la fuerza de fricción:

Teorema del Trabajo y la Energía
siendo K la energía cinética final del móvil y K0 su energía cinética inicial. Luego entonces: relación que se conoce con el nombre deTeorema del Trabajo y la Energía, cuyo enunciado es: El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante es igual al cambio de su energía cinética. Como el valor de la velocidad está elevada al cuadrado, la energía cinética siempre es positiva, pero en cambio, la diferencia de energías puede ser positiva, negativa o nula. En el caso anterior, como v < v0 encontramos una ∆K < 0, es decir el trabajo realizado por la fuerza neta sobre el móvil es negativo y en virtud de la tercera ley de Newton, el trabajo efectuado sobre el móvil es el negativo del trabajo realizado por el móvil sobre el agente que produjo esa fuerza, por lo anterior decimos que: la energía cinética de un cuerpo disminuye en la misma proporción en que dicho cuerpo efectúa trabajo.

En la sección anterior se definió el trabajo hecho por una fuerza constante, la cual estaba aplicada en la dirección de movimiento (entendiéndose por dirección el eje x), en algunos casos el sentido de la fuerza era el mismo y en otros contrario, como por ejemplo la fuerza de rozamiento. Sin embargo, esta fuerza constante aplicada puede estar en una dirección diferente a la del movimiento, tal como se muestra en la siguiente figura, en donde la fuerza forma un ángulo  con respecto a la dirección de movimiento. P P P    x +(m) x0 x xf │ ∆ x │= │ x – x0 │= d

En este caso, se define el trabajo efectuado por la fuerza sobre el cuerpo como: El producto de la componente de la fuerza en la dirección de movimiento por la distancia que recorre el cuerpo a lo largo de dicha dirección. De la figura observamos que dicha componente es: Px = │ P │ cos  luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza P para llevar al cuerpo de la posición inicial x0 hasta la posición final x es: W = (│P│cos  ) │ Δx │ W = (│P│cos  ) (│ x – x0 │) W = Pcos  (d) W = P d cos  donde d es la distancia recorrida por el cuerpo y  es el ángulo que forma la fuerza con respecto a la dirección de movimiento

Según la ecuación anterior, el trabajo realizado por la fuerza aplicada, al igual que en la sección anterior, puede ser positivo, negativo o nulo, esto dependerá del ángulo que forme la fuerza con respecto a la dirección del movimiento ( el ángulo se mide a partir de la dirección de movimiento y en sentido contrario a las manecillas del reloj ), de tal forma que si: 00 <  < el trabajo W > 0 900 <  < el trabajo W < 0 1800 <  < el trabajo W < 0 2700 <  < el trabajo W > 0 Para ejemplificar lo anterior, supongamos que una persona se pone a jugar con una cuerda en cuyo extremo se encuentra atado un cuerpo de masa m. En todos los casos que se presentan a continuación, la persona realiza un esfuerzo físico que puede manifestarse en cansancio.

La persona levanta verticalmente al cuerpo hasta una altura h, de tal forma que el movimiento es tan lento que no se pueden apreciar los cambios de velocidad. Con esta condición, la fuerza aplicada es constante, la aceleración resultante será cero y en consecuencia también la fuerza neta. La fuerza aplicada por la persona sobre el cuerpo es igual a la tensión de la cuerda. A continuación calculamos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que intervienen. El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W1 = T h cos  Donde T, por la segunda ley de Newton es T = mg y  = 00 por lo que: W1 = + m g h El trabajo realizado por la Tierra (peso): W2 = w h cos  Donde w, es el peso del cuerpo y  = 1800 por lo que: W2 = - m g h El trabajo total efectuado sobre el cuerpo para levantarlo verticalmente, es igual a la suma de los trabajos individuales calculados en los incisos anteriores, esto es: W = W1 + W2 = mgh – mgh = 0

Posteriormente, la persona sostiene al cuerpo en esa posición a una altura h El trabajo realizado por las fuerzas del punto No. 1 es cero debido a que no existe desplazamiento. La persona se mueve hacia la derecha una cierta distancia d El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W3 = m g d cos  con  = 900 W3 = 0 El trabajo realizado por la fuerza que ejerce la tierra sobre el cuerpo es: W4 = m g d cos  con  = 2700 W4 = 0 El trabajo total realizado por las fuerzas para desplazar el cuerpo una distancia d hacia la derecha es: W = W3 + W4 = 0

La persona baja el cuerpo desde la altura h hasta el suelo, en las mismas condiciones en que lo subió (v = constante). El trabajo efectuado por la fuerza aplicada es: W5 = m g h cos  con  = 2700 W5 = - mgh El trabajo efectuado por la Tierra es: W6 = m g h cos  con  = 00 W5 = + mgh El trabajo total realizado por las fuerzas al bajar el cuerpo una altura h es: W = W5 + W6 = 0

Una vez colocado en el suelo, la persona tira de él en forma horizontal, arrastrándolo con velocidad constante hasta llevarlo nuevamente a su posición inicial. El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W7 = Fa d cos  con  = 00 W7 = Fa d El trabajo efectuado por la fuerza de rozamiento cinético es: W8 = fk d cos  con  = 2700 y puesto que se mueve con velocidad constante, por la segunda ley de Newton, la fuerza aplicada es igual a la fuerza de rozamiento cinético ( fk = Fa ) W8 = - Fa d El trabajo total realizado por las fuerzas al desplazar al cuerpo sobre el suelo una distancia d es: W = W7 + W8 = 0

Si deseamos conocer el trabajo total realizado sobre el cuerpo en todo el recorrido, desde que se levantó hasta que regresó a su posición original al ser arrastrado por el suelo, hacemos: WT = W1 + W2 + W3 + W4 + W5 + W6 + W7 + W8 WT = +mgh – mgh –mgh + Fa d - Fa d = 0 En el punto 1, se encontró que el trabajo realizado por una fuerza constante para subir el cuerpo hasta una altura era mgh, es decir, dependía del peso del cuerpo y de la altura. Calcularemos ahora el trabajo que se realiza cuando el cuerpo es subido a esa misma altura h pero bajo las siguientes condiciones: es empujado por una fuerza constante, es subido con velocidad constante, el plano inclinado es liso (sin fricción), el plano inclinado es de diferentes longitudes. Analicemos el caso mediante la siguiente figura:

 h P La fuerza necesaria para subirlo con velocidad constante se encuentra aplicando la segunda ley de Newton: SFx = max (ax = 0 es subido con v = constante) P – wx = 0 P – mg sen  = 0 P = mg sen  La distancia que recorre es la longitud del plano inclinado: d = h ∕ sen  El trabajo realizado por la fuerza P es: WP = Pd cos  (con  = 00 ; misma dirección) WP = (mg sen  ) (h ∕ sen  ) WP = mg h mg N P  Wx Wy

Como se puede apreciar, la fuerza aplicada depende del peso y del ángulo de inclinación del plano inclinado. P = mg sen  si se desea subir hasta una altura h con el mínimo esfuerzo, el ángulo debe ser pequeño, lo que trae como consecuencia que la distancia (longitud del plano) se incremente. d = h ∕ sen  Sin embargo, el trabajo realizado es independiente del ángulo de inclinación del plano. WP = mg h depende exclusivamente del peso y de la altura h del plano.  h P  P

Analicemos un último caso: La persona hace girar el cuerpo sobre su cabeza, describiendo una trayectoria circular con movimiento uniforme Cuando se analizó el movimiento circular, se vio que el desplazamiento es tangente a la trayectoria y que la fuerza centrípeta es radial y dirigida hacia el centro de rotación por lo que la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 900, por lo que el trabajo realizado es: W = 0

Producto Escalar (repaso)
Aunque en la parte relativa a vectores se abordó éste tema, nuevamente se retoma para redefinir el concepto de trabajo. Sean A y B dos vectores que forman un ángulo  entre ellos. Se define el producto escalar como el producto de la magnitud de uno de ellos (digamos A) por la proyección de B sobre A. o viceversa, es decir , la magnitud de B por la proyección de A sobre B, tal como se muestra en la figura adjunta a la anterior. │B│cos  Proyección de B sobre A Proyección de A sobre B │A│cos  A B 

Producto Escalar (repaso)
Del producto punto entre vectores unitarios (perpendiculares entre sí) tenemos que: Lo cual nos muestra que el producto punto entre dos vectores es un escalar debido a que tenemos la multiplicación de la magnitud de un vector por la magnitud del otro lo cual nos da un escalar, que se multiplica por el coseno del ángulo que se forma entre ellos, el cual también es un escalar adimensional. Toda vez que tenemos definido el producto punto entre vectores, tenemos que el trabajo lo podemos definir como: W = F●Δx =│F│cos  │Δ x│= F d cos  ya que la magnitud del desplazamiento es la distancia recorrida (d =│Δx│) y │F│cos  es la proyección del vector fuerza sobre el vector desplazamiento. Por ello: W = F●Δx

Trabajo y Energía para Fuerza constante (método gráfico)
Antes de abordar el siguiente tema, para fuerzas variables, retomemos nuevamente el caso donde la fuerza es constante y hagamos un análisis gráfico de la situación mostrada a continuación. Si graficamos la fuerza constante aplicada contra desplazamiento tendremos la siguiente gráfica: P x0 xf │ ∆ x │= │ x – x0 │= d x x +(m) F (Newton) P ctte. x0 xf x (m)

Trabajo y Energía para Fuerza constante (método gráfico)
En donde se ha sombreado toda la parte que se encuentra bajo la recta que indica a la fuerza P constante, formándose un rectángulo de altura P y base d. Como vimos anteriormente, el trabajo realizado por la fuerza constante es: W = P•Δ x=│P││Δx│cos  = P d cos 00 = P d El producto de P por d no es otra cosa mas que la altura del rectángulo multiplicado por su base, es decir, el área del rectángulo. Luego entonces: A = P d = W El trabajo realizado por la fuerza P es igual al área del rectángulo que se forma bajo la recta.

Trabajo y Energía para Fuerza variable
Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es constante. El caso más sencillo es cuando la fuerza está aplicada en la dirección de movimiento y que ésta depende de la posición del cuerpo. Por ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos fijo en una pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado mediante una cuerda. Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de ejercer una fuerza F1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una fuerza F2 mayor. En pocas palabras, a medida que queremos aumentar la distancia que recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza aplicada.

Trabajo y Energía para Fuerza variable (aplicada en dirección de movimiento)
x0 = 0 F1 x0 x1 x2 F2 F variable y aplicada en la dirección de movimiento F0 = 0 Si medimos la fuerza con un dinamómetro y la posición del cuerpo para esa fuerza aplicada, estaremos en posibilidad de realizar una tabulación de Fuerza contra posición (F vs. x) y graficar como se muestra a continuación.

x1 x2 x3 x4 x5 F5 x (m) F (Newton) h = F5 – F0 d = x5 – x0 Al igual que para el caso de una fuerza constante, el trabajo realizado por una fuerza variable también es igual al área bajo la recta, en este caso, un triángulo rectángulo de altura F5 - F0 y base x5 - x0, siendo ésta:

En los dos casos anteriores, calcular el trabajo realizado por las fuerzas mediante el método del área bajo la curva fue sencillo debido a que las figuras geométricas que se forman son conocidas. Sin embargo, existen fuerzas variables que dependen de la posición y cuya gráfica de fuerza contra posición son complejas. En estos casos, el problema se complica y se requiere de un método mas sofisticado para calcular el trabajo realizado por la fuerza. Dicho método es el método matemático de la integración. Para llegar a él, supongamos que un cuerpo se mueve en la dirección del eje x de la posición x1 hasta la posición x2 bajo la acción de una fuerza variable que depende de la posición y que al medirla se obtiene la siguiente gráfica.

xi xf Fi Ff F(x) x +(m)

Dividamos el desplazamiento total de xi hasta xf en pequeños desplazamientos iguales de anchura Δx F(x) Ff F2 F4 F3 Fi F4 F3 F2 F1 xi x +(m) Δx Δx Δx Δx xf

Como se puede observar, se forman rectángulos de altura F variable y anchura Δx constante. Consideremos el primer desplazamiento de x1a x2 (o bien de x1 a x1 + Δx), en este intervalo, la fuerza puede considerarse aproximadamente constante, teniendo un valor F1. El trabajo realizado por dicha fuerza para desplazar al cuerpo un Δx es: ΔW1 = F1 Δx (área del primer rectángulo) En el siguiente intervalo de x1 a x2 (o bien de x1 a x1 + Δx ), el trabajo realizado es: ΔW2 = F2 Δx (área del segundo rectángulo) De esta forma se sigue calculando el trabajo para cada desplazamiento (áreas de los rectángulos). El trabajo total aproximado será la suma de todos los incrementos de trabajo calculados individualmente, lo cual expresado en notación matemática es:

Se dice que es un trabajo aproximado debido a que dentro de cada intervalo la fuerza varía. Si tomamos el valor de F1 en la posición x1, observaremos que para el primer intervalo se forma un rectángulo de altura F1 y anchura Δx, además de una figura geométrica por encima. Para el siguiente intervalo, se forma un rectángulo de altura F2 y también de anchura Δx, así como una segunda figura geométrica parecida a un triángulo. En los siguientes dos intervalos sucede algo parecido. Con el procedimiento anterior, se puede asegurar que lo que estamos calculando son las áreas de los rectángulos de altura Fi y anchura Δx, quedándonos por encima de ellos las áreas de las figuras geométricas sin calcular, las cuales representan la diferencia entre el trabajo aproximado y el trabajo real efectuado por las fuerzas.

xi xf Fi Ff F(x) x +(m) Δx F2 F3 F4 Área faltante Área excedente

Para minimizar los faltantes y excedentes, procedemos a aumentar el número de intervalos haciendo mas pequeños los Δx, con lo cual obtendremos un mayor número de figuras geométricas por encima y debajo de los rectángulos pero cuyas áreas son mucho menores que las anteriores. Ff F2 F4 F3 Fi xi xf x +(m) Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Área faltante Área excedente

Seguimos aumentando el número de intervalos haciendo mas pequeños los Δx. Ff F4 F3 F2 Fi xi xf x +(m) Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Área faltante Área excedente

Seguimos aumentando el número de intervalos haciendo mas pequeños los Δx. Ff F4 F3 F2 Fi xi Δx xf x +(m) Área faltante Área excedente

Sin embargo aún seguimos teniendo pequeñas áreas faltantes y excedentes, por lo que se procede nuevamente a tomar Δx cada vez más pequeños. Si queremos aproximarnos aún mas al trabajo real, debemos hacer que el número de rectángulos tienda a infinito y que Δx → 0 por lo que para cada rectángulo tendremos valores mas representativos de la fuerza. De esta forma, el trabajo realizado por la fuerza será: Se define la integral definida de F con respecto a x como:

Cuyo significado es el siguiente: En el límite cuando cada rectángulo se aproxima a cero, el área [F(x) Δx ] de cada rectángulo se aproxima al valor real del área situada debajo de la curva F(x) entre los límites x1 y xn, lo cual nos permite decir que El valor de la integral F(x) entre los limites x1 y x2 es igual al área situada debajo de la curva descrita por F(x) entre esos límites. Por lo tanto, el trabajo efectuado por la fuerza F(x) que mueve al cuerpo de la posición xi hasta la posición xf es: o en forma vectorial

De igual forma que encontramos la relación entre el trabajo realizado por una fuerza constante y la velocidad del cuerpo (energía cinética), así mismo lo hacemos para una fuerza variable que dependa de la posición. En aquella parte hicimos uso de las ecuaciones de cinemática ya que la aceleración era constante, pero ahora, no se pueden usar debido a que la fuerza aplicada es variable y en consecuencia también lo es la aceleración. Para salvar esta dificultad, realizamos un truco matemático (multiplicar y dividir por la misma cantidad) expresando la aceleración de la siguiente forma:

Con ello, la ecuación para el trabajo la podemos expresar como: Sustituyendo la expresión de la aceleración encontrada anteriormente y recordando que en la posición inicial (xi ) el cuerpo tiene una velocidad inicial (v0 ); y que en la posición final (xf ) tiene una velocidad final (v ), tenemos que: Del cálculo tenemos que la integral: Luego entonces:

Que es el Teorema del Trabajo y la Energía encontrado anteriormente para una Fuerza constante

Trabajo y Energía para Fuerza variable (aplicada en cualquier dirección)
La fuerza que actúa sobre un cuerpo puede variar tanto en magnitud como en dirección por lo que el cuerpo se moverá en un plano o en el espacio tridimensional describiendo trayectorias curvas. Encontraremos el trabajo realizado por una fuerza variable que actúa sobre un cuerpo que se mueve en el plano, pudiendo generalizarse el resultado de igual forma para el espacio. En la siguiente figura se representa la trayectoria que describe el cuerpo y la fuerza F que actúa sobre él en varios puntos ( x , y ), así como el ángulo  que forma la fuerza con respecto al vector desplazamiento Δ r el cual es tangente a la trayectoria en esos puntos.

El trabajo realizado sobre el cuerpo por una de las fuerzas puede calcularse a partir de: Y + (m) x +(m) Δ r  F a ( x1 , y1 ) b ( x2 , y2 ) x1 x2 y1 y2

Donde la fuerza y el desplazamiento dependen de las coordenadas (x , y), la fuerza podemos descomponerla en sus componentes rectangulares: Una perpendicular al vector desplazamiento Otra paralela o tangente a la trayectoria; siendo esta última componente la que realiza trabajo. El trabajo realizado por esta componente podemos considerarlo como un elemento de trabajo que contribuye al trabajo total realizado sobre el cuerpo para llevarlo desde la posición a hasta la posición b. De esta forma, el elemento de trabajo correspondiente a un punto sobre la trayectoria viene expresado por:

El trabajo aproximado se encuentra sumando todos los estos pequeños elementos de trabajo calculados para cada uno de los segmentos lineales de Δ r. Cuando estos segmentos se van haciendo mas pequeños, los incrementos pueden reemplazarse por los diferenciales dr y la suma por una integral. Luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza para llevar al cuerpo desde a hasta b será: Como podemos observar, en la expresión anterior, F y cos  varían por lo que no podemos realizar la integración hasta no conocer esta variación de punto a punto sobre la trayectoria. Por otro lado, sabemos que:

Por lo que el producto escalar entre ellos vine dado por: Desarrollando y haciendo uso del producto escalar entre vectores unitarios, encontramos lo siguiente: Sustituyendo esta última expresión encontramos que: La integral anterior es sobre todos los puntos de la trayectoria desde a hasta b por eso se le conoce con el nombre de integral de línea. Para encontrar la relación entre el trabajo realizado por la fuerza variable y la velocidad del cuerpo, hacemos uso de la ecuación:

Descomponemos la Fuerza en sus componentes tangencial Ft y perpendicular F┴ o normal FN a la trayectoria como se muestra en la siguiente figura: Y + (m) y2 F  FN Δ r y1 Ft x1 x2 x +(m)

Expresando la segunda ley de Newton en términos de la componente tangencial de la fuerza y la aceleración (la componente normal no realiza trabajo) tenemos que: donde v es la velocidad lineal o tangencial del cuerpo, la cual viene expresada como: despejando Luego entonces: sustituyendo en la expresión para el trabajo tenemos que:

Cuando el cuerpo se encuentra en el punto a, tiene asociada una velocidad v = vi y cuando pasa por el punto b tiene una velocidad v = vf, por lo que los límites de integración cambiaron en la expresión anterior al cambiar las variables de integración, quedándonos: Integrando tenemos que: Por lo que el teorema del trabajo y la Energía se sigue cumpliendo, no importa si la fuerza es constante o variable; si el movimiento es en una, dos o tres dimensiones; o si la fuerza aplicada se encuentra en la dirección de movimiento o no.

Potencia En las secciones anteriores se analizó la parte de trabajo y energía cinética. Para una fuerza constante, se calculo el trabajo realizado para subir un cuerpo hasta una altura h con velocidad constante, ya sea subiéndolo verticalmente o utilizando un plano inclinado con diferentes ángulos de inclinación. Se encontró que: La fuerza aplicada depende del peso y del ángulo de inclinación. P = mg sen  La distancia recorrida o longitud del plano depende de la altura a la que se encuentre la parte superior y del ángulo de inclinación. d = h ∕ sen  Finalmente, que el trabajo realizado es independiente del ángulo de inclinación del plano. WP = mg h  h P  P

Potencia El trabajo realizado para subir un objeto hasta una cierta altura puede efectuarse en un segundo, un minuto, un día, una semana, o en el tiempo que se desee. Sin embargo, el trabajo seguirá siendo el mismo. Lo que puede cambiar es la Potencia ( P ) con que se realiza el trabajo. Este nuevo concepto se define como: el trabajo realizado por una fuerza aplicada por el tiempo que tarda en efectuarse, es decir, la rapidez con que se efectúa. Si una cantidad de trabajo ΔW se realiza en un intervalo de tiempo Δt, la potencia media P se define como: Es una cantidad escalar cuyas unidades son el Watt que se define como: Si el trabajo realizado en una unidad de tiempo no es constante (por ejemplo cuando lo produce una fuerza variable), en este caso la potencia instantánea P se define como el límite de este cociente cuando Δt → 0

Potencia En nuestra vida cotidiana es común referirnos a la potencia que desarrolla un motor en unidades del sistema británico: caballos de fuerza o “horse power” abreviado hp. Su equivalencia en el Sistema Internacional es: 1 hp = 746 watts La potencia también puede ser expresada como: para una fuerza constante que mueve el cuerpo (con velocidad también constante) en la dirección de movimiento. Como sabemos, el trabajo tiene unidades de energía (Joule), con la definición de potencia y a partir de la ecuación que la define, al despejar el trabajo se encuentra un nuevo tipo de unidad. el Watt por segundo. que en unidades derivadas es mejor conocido como kilowatt hora (kWh).

1 kWh = (3600 s) (1000 Watts) = 3.6 x 106 J = 3.6 MJ
Potencia “Un kilowatt hora es el trabajo realizado por un agente que desarrolla una potencia constante de 1000 watts” Es decir, en un segundo el agente desarrolla una potencia de 1000 Watts, luego entonces, en una hora el trabajo realizado es: 1 kWh = (3600 s) (1000 Watts) = 3.6 x 106 J = 3.6 MJ El ejemplo mas notable del uso de esta unidad, lo encontramos en los recibos de luz o de consumo de energía eléctrica.

Fuerzas conservativas y no conservativas
En dinámica se hizo una clasificación de fuerzas dependiendo de su naturaleza (por contacto o interacción a distancia). Las fuerzas conservativas o no conservativas no son un nuevo tipo de fuerzas; son referidas mas bien a sistemas donde interaccionan cuerpos que disipan o no energía . El trabajo realizado por estas fuerzas es: Wtotal = Wc + WD Un ejemplo de fuerza no conservativa o disipativa es la fricción. Al lanzar un cuerpo con una velocidad inicial sobre una superficie áspera, vemos que el cuerpo se detiene después de recorrer una distancia. El trabajo realizado por el piso para detenerlo es: a) Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética Wfk = ΔK = K – K0 = ½mv2 - ½mv02 = - ½mv02

b) Aplicando trabajo, dinámica y cinemática Wfk = fk •Δx Wfk = fk Δx cos  Donde por la segunda ley, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la fricción y por consecuencia: -fk = max El desplazamiento de acuerdo a cinemática, en función de velocidades y aceleración es: Δx = (v2 – v02) ∕2a Sustituyendo: Wfk = - ma Δx cos 1800 Wfk = - ma Δx (-1) Wfk = ma (v2 – v02) ∕2a Wfk = - ½ mv02

Donde el trabajo encontrado es el máximo trabajo realizado por el cuerpo hasta que se detiene. A medida que éste avanza, va realizando trabajo (disipando energía en forma de calor), es decir, depende de la trayectoria, a mayor distancia recorrida mayor será el trabajo realizado, hasta un máximo igual a la energía cinética que se le proporcionó. En el caso de fuerzas conservativas, se tienen la fuerza gravitacional, la fuerza eléctromagnética y la fuerza elástica. En estos casos, se encuentra que el trabajo realizado: Es independiente de la trayectoria. Se puede recuperar en su totalidad. Depende de la posición inicial y de la final. Los cuales se analizan en las siguientes secciones

Energía Potencial En las secciones anteriores se analizó la parte de trabajo y energía cinética. Uno de los casos analizados fue subir un cuerpo hasta una determinada altura moviéndolo con velocidad constante, ya sea subiéndolo verticalmente o utilizando un plano inclinado con diferentes ángulos de inclinación. Se encontró que el trabajo realizado por la persona (o agente externo) fue W = mgh Que depende exclusivamente del peso del cuerpo y de la altura a la que se encuentra con respecto a un cierto nivel o posición inicial. A este término se le denomina Energía Potencial (U): Energía por que se realizó un trabajo para subirlo y, Potencial por que adquiere una propiedad que no poseía antes: la capacidad de poder realizar un trabajo. Para ver que tanto trabajo puede realizar, analicemos nuevamente un caso que nos es familiar: un cuerpo que se desliza sobre un plano inclinado liso partiendo del reposo.

Energía Potencial v0 = 0 Sen  = h ∕ x v = ? Δx = h ∕ sen h 
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la fuerza normal y el peso. El cuerpo se acelera debido a la componente del peso en la dirección del movimiento. Esto es: Fx = max wx = max mg sen  = max ax = g sen  La velocidad con la que llega a la parte inferior del plano después de recorrer una distancia Δx = h ∕ sen  es: v2 – v02 = 2aΔx v2 = 2gsen  (h ∕ sen  ) v2 = 2gh mg N  Wx Wy

Energía Potencial El cambio de energía cinética es:
K – K0 = ½mv2 - ½mv02 ΔK = ½m(2gh) Δ K = mgh Por el teorema del trabajo y la energía cinética: Δ K = W W = mgh Es decir, el cuerpo puede realizar un trabajo igual al que se realizó para subirlo hasta la altura h. Un cuerpo puede tener diferentes valores de energía potencial, debido a que ésta, está referida a un cierto nivel (o sistema) de referencia. Pongamos el siguiente ejemplo: A un profesor que imparte clases en el tercer piso de un edificio, inadvertidamente se le cae el borrador. Si desea colocarlo nuevamente sobre el pizarrón, debe realizar un trabajo.

Energía Potencial W = mgh2
Donde h2 = y2 – y1 es la altura del piso a la parte inferior del pizarrón. Si desea colocarlo en la parte superior del pizarrón, debe realizar un trabajo adicional: W = mgh3 Donde h3 = y3 – y2 es el ancho del pizarrón. La energía potencial con respecto al piso, es U = mg (h2 + h3) Pero con respecto a la parte inferior del pizarrón es: U = mgh3 Se puede decir que la energía potencial del borrador es cero cuando está en el suelo, pero si recordamos que nos encontramos en el tercer piso, el borrador continúa teniendo energía potencial, debido a que realizamos trabajo para llevarlo a ese tercer piso, esto es: U = mgh1 Donde h1 = y1 – y0

Energía Potencial Siendo y0 la posición en el suelo del primer piso y y1 la posición en el piso del tercer piso. Energía que puede ser liberada si dejamos caer el borrador desde el tercer piso y que puede realizar un trabajo (producir un sonido al golpear el suelo, abollar o clavar un objeto, etc.). En todos los casos, se ha analizado el trabajo realizado por el profesor, es decir, por la fuerza que éste le aplica al borrador. Sin embargo, también actúa la Fuerza Gravitacional. El trabajo realizado por dicha fuerza, es el negativo del realizado por el profesor, en virtud de que la dirección de movimiento y la fuerza gravitacional son opuestas ( 1800). WG = -WP Donde WG es el trabajo realizado por la Fuerza Gravitacional y WP es el trabajo realizado por el profesor. En término de energía potencial gravitacional WP = ΔU = mgh = mg (y2- y1) WG = - ΔU

Energía Potencial Elástica
Cuando se abordó el trabajo realizado por una fuerza variable, se consideró a un cuerpo elástico, los cuales se definen como aquéllos que recobra su tamaño y forma original cuando deja de actuar la fuerza deformante. Robert Hooke encontró que cuando se aplica una fuerza Fa sobre un resorte, se produce en él un alargamiento x que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. Fa = kx Donde k es una constante de proporcionalidad que varía de acuerdo al tipo de material (en resortes rígidos k es grande, en resortes flexibles k es pequeño). Las unidades son N / m. Por el contrario y de acuerdo a la tercera Ley de Newton, el resorte ejerce una fuerza (FR) de igual magnitud pero en sentido contrario a la fuerza aplicada FR = -kx Donde FR es una fuerza restitutiva que se opone al movimiento

Energía Potencial Elástica
Ya sea para alargar o comprimir un resorte, se debe aplicar una fuerza variable. El trabajo realizado por dicha fuerza es: Este trabajo realizado por el agente externo sobre el resorte, queda almacenado en forma de Energía Potencial Elástica, que se libera al momento de soltar el resorte. Ver video

Energía mecánica de sistemas conservativos
Al lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial, éste adquiere una energía cinética: K0 = ½mv02 Al ir ascendiendo y en ausencia de fuerzas disipativas, va perdiendo velocidad (energía cinética) pero a la vez va ganando altura (energía potencial). ΔU = mg (y – y0 ) En el punto de máxima altura, su velocidad es cero y ha adquirido su máxima energía potencial con respecto al lugar de lanzamiento. El trabajo realizado para lanzarlo, de acuerdo al teorema del trabajo y la energía cinética es W = ΔK = K – K0 = ½mv2 - ½mv02 Por otro lado, para poder subir el cuerpo hasta esa altura, se debió realizar un trabajo en contra de la fuerza gravitacional W = - ΔU = - (U – U0) Igualando ambas expresiones para el trabajo ΔK = -ΔU ΔK + ΔU = 0

Energía mecánica de sistemas conservativos
(K – K0) + (U – U0) = 0 ½mv2 - ½mv02 + mg y – mgy0 = 0 ½mv2 + mg y = ½mv02 + mgy0 Se define la energía mecánica total (E) de un sistema de fuerzas conservativas como la suma de las energía cinética y la potencial en cualquier momento. E = K + U Siendo E una constante. Es decir: Ef = E0 Lo cual es el principio de la conservación de la energía mecánica para sistemas conservativos: “Si sobre un sistema actúan solo fuerzas conservativas que están efectuando trabajo, la energía mecánica total del sistema no crece ni disminuye, permanece constante, es decir, se conserva”

Trabajo hecho por fuerzas no conservativas
Cuando arrojamos un cuerpo sobre una superficie horizontal, éste se detiene. La energía cinética inicial se convirtió en otra forma de energía (térmica). El trabajo realizado por el piso para detenerlo es: Wfk = fk •Δx Wfk = fk Δx cos  Donde por la segunda ley, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo en la dirección de movimiento es la fricción y por consecuencia: -fk = max El desplazamiento de acuerdo a cinemática y en función de velocidades y aceleración es: Δx = (v2 – v02) ∕2a Sustituyendo: Wfk = - ma Δx cos 1800 Wfk = - ma Δx (-1) Wfk = ma (v2 – v02) ∕2a Wfk = - ½ mv02

Ley de la conservación de la energía
En la vida diaria generalmente tenemos disipación de energía por fricción. En un sistema la energía debe conservarse, es decir, que en cualquier proceso la energía inicial debe ser igual a la final. En el caso de sistemas disipativos, la ley de la conservación de la energía dice que: “La energía (cinética y potencial) inicial de un sistema es igual a la energía (cinética y potencial) final mas las pérdidas de energía”. K0 + U0 = K + U + Q ½mv02 + mgy0 = ½mv2 + mgy + Wfk

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