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Computación Científica
Algebra lineal numérica Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole
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Matriz Es un arreglo de m x n números Dimensión de A: m x n
m: número de filas n: número de columnas Casos particulares: m=n => A es cuadrada (dim A = orden A) n=1 => A es un vector (Notación: a)
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Vectores
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Traspuesta Dada la traspuesta es donde
Nótese: la traspuesta de un vector columna es un vector fila
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Ejemplo
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Identidad La identidad es donde Nótese: AI=IA=A
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Ejemplo
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Inversa Dada la inversa de ella es donde
Nótese: NO TODAS las matrices admiten inversa
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Ejemplo
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MATRICES ESPECIALES Problemas Generales
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Matrices Triangulares
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Problemas lineales más comunes
Resolución de sistemas lineales Resolución problema de autovalores
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Matriz Diagonal
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Matriz Triangular Superior
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Matriz Triangular Inferior
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Nomenclatura Matrices Tipo reales Simétrica Ortogonal complejas
Hermítica Unitaria
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Ejemplos
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Matrices Unitarias y Ortogonales
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Matriz Definida Positiva
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Particionamiento de matrices
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Ejemplo
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Permutaciones
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Matrices de permutación
Es cualquier matriz que resulta de reordenar (permutar) las filas de I PA permuta filas de A AP permuta columnas de A
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Matrices de permutación
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Propiedades
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Propiedad Si P es matriz de permutación, entonces P tiene inversa
P es ortogonal
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Demostración
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Operaciones
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Igualdad A=B si tienen igual dimensión y
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Suma Dadas dimA=dimB=dimC C=A+B =>
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Producto Dadas el producto es C=AB tal que:
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Ejemplo
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Producto por un escalar
Dados el producto es
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Ejemplo
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Propiedades del producto
Dadas: No conmutativa Asociativa A(BC)=(AB)C Distributiva A(B+C)=AB+AC
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Demostración: cqd.
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Demostración: cqd.
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Demostración: cqd.
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FIN PRIMERA PARTE
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Autovalores
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Espectro de A
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Radio espectral
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Radio Espectral de la Inversa
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Lema 1 Sea A cuadrada, entonces para cualquier norma consistente y subordinada a una norma de vectores :
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Demostración
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Matriz definida positiva
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Teorema 2 Si A es simétrica, entonces todos sus autovalores son reales
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Teorema 3 Si A es simétrica y definida positiva, entonces todos sus autovalores son reales y positivos
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Demostracion
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Definición
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Lema 2
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Teorema 4 Las siguientes proposiciones son equivalentes:
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Lema 3
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Lectura obligatoria Libro: Kincaid Cap. 4 : págs
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