Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales básicas. Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos del álgebra.

Presentación del tema: "Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales básicas. Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos del álgebra."— Transcripción de la presentación:

1 Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales básicas. Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos del álgebra lineal para resolución de sistemas de ecuaciones. 30 minutos.

2 Las operaciones matriciales básicas son

3 Dada una matriz de tamaño m x n, A = (a i j), se llama matriz transpuesta de A, y se representa por A t, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. a 11 a 12 …a 1n a 21 a 22 …a 2n.... a m1 a m2 …a mn A =A = a 11 a 12 …a 1m a 21 a 22 …a 2m.... a n1 a n2 …a mn A t =

4 1ª. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única. 2ª. La transpuesta de la matriz transpuesta de A es A.  (A t ) t = A. La transpuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por A t. Si A = (a ij ), entonces A t = (a ji ). Si A es mxn, entonces A t es nxm.

5 La suma de dos matrices A=(a ij ), B=(b ij ) de la misma dimensión, dan otra matriz. S=(s ij ) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (a ij + b ij ). La suma de las matrices A y B se denota por A+B. 11/2 - 40 31/4 0-2 + 1+3 = 4½ + ¼ = ¾ -4-2 = AB A + B Se suman estos dos

6 La diferencia de matrices A y B se representa por A–B y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B) 11/2 - 40 A 1/4 -2 + B = NO ES POSIBLE SUMARLAS Por tanto, para poder sumar dos matrices éstas han de tener la misma dimensión. Sin embargo, no se pueden sumar matrices de tamaños diferentes.

7 I. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C II. Conmutativa: A + B = B + A III. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula. IV. Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0 Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces: V. La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A. VI. Si A + C = B + C  A = B VII. Si kA = kB  A = B si k es distinto de 0 VIII. Si Ka = hA  H = K SI a es distinto de 0

8 I. Para la matriz A, (A t ) t = A II. Para las matrices A y B, (A + B) t = A t + B t III. Para la matriz A y el número real k, (k. A) t = k. A t IV. Para las matrices A y B, (A. B) t = B t. A t V. Si A es una matriz simétrica, A t = A Propiedades: 123 456 A =A = 14 25 36 A t = Se invierte su posición

9 Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si A = (a ij ), entonces kA = (ka ij ) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (k)(a) = (k)(a ij ) = k= = (ka ij ) ka 11 ka 12 ka 13 ka 21 ka 22 ka 23 ka 31 ka 32 ka 33

10 10 21/49 -5-45/7 (3)= (3)(1)(3)(0)(3)(-1) (3)(2)(3)(1/4)(3)(9) (3)(-5)(3)(-4)(3)(5/7) 30-3 61/427 -15-1215/7 Se multiplica cada uno por 3

11 I. Distributiva I: k(A + B) = kA + kB II. Distributiva II: (k + h)A = kA + hA III. Elemento neutro: 1 · A = A IV. Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales. El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

12 Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir éstas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p. P ij =  a ik · b kj con k=1,….n

13 1. Se multiplica cada uno 2. Se suman después

14

15 ¿Cuándo es posible el producto de matrices? (a ij ) m,n (b ij ) n,p = Posible filas columnas (c ij ) m,p El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

16 I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x p y C de dimensión p x r, tenemos que: A. (B. C) = (A. B). C II. Elemento unidad. Si A es una matriz de tamaño m x n, y las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene: I m · A = A · I n = A

17 III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x r y C de dimensión n x r. Tenemos que: A. (B + C) = A. B + A. C IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión m x n y C de dimensión n x p. Se cumple que: (A + B). C = A. C + B. C Propiedad distributiva

18 Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. A n = A. A............. A A n = A … A = A  A n-1 = = n- veces 11 01 1n-1 01 1n 01

19 11 01 A = 11 01 A2 =A2 = 11 01 A 2 =A  A = 11 01 12 01 A2 =A2 =

20 Unidad 1 Matrices y Determinantes. (pp. 27 a 30) disponible en: http://gc.scalahed.com/buscador/recurso/ver/13166 http://gc.scalahed.com/buscador/recurso/ver/13166