Métodos de integración por cuadraturas:

Presentación del tema: "Métodos de integración por cuadraturas:"— Transcripción de la presentación:

1 Métodos de integración por cuadraturas:
Queremos calcular la integral de una función en el intervalo (a,b): Para ello tomamos n+1 puntos: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) donde x0≠ x1≠... xn y buscamos un polinomio p2n+1 (x) de grado 2n+1 tal que: P2n+1 (xi) = yi , i = 0,1, …,n Y aproximaremos la integral buscada mediante la integral del polinomio:

2 Como el polinomio pasa por todos los puntos es un polinomio de
interpolación, aunque no es único (no tiene orden menor o igual a n). Lo podemos escribir del modo siguiente: Supongamos que el intervalo de integración (a,b) es el (-1,1). Si no es así, siempre podemos tomar el cambio de variable adecuado :

3 La primera integral se puede re-escribir como:

4 La segunda integral se escoge de forma que su contribución sea cero:
Para ello tendremos que escoger adecuadamente qn(x). Tomemos una base ortogonal {gk(x)} con k un índice entero. Entonces: luego la integral se puede escribir como:

5 Dada la ortogonalidad de las {gk(x)}:
luego, para que la integral sea cero basta escoger:

6 y, para que se cumpla: basta con escoger los puntos xj, de forma que sean los ceros de gn+1(x) Como hemos escogido el intervalo (-1,1) los gk(x) podrían ser los Polinomios de Legendre.En este caso la cuadratura recibe el nombre de: Cuadratura de Gauss-Legendre.

7 Ejemplo: ¡¡¡EN RADIANES!!! Tomando n=1 (2 puntos):

8 Tomando n=2 (3 puntos):

9 Por trapecios (3 puntos) h=1:

10 Por Simpson (3 puntos) h=1:

11 Volviendo a la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):

12 Si el intervalo de la integral no es el (-1,1) haremos el siguiente
cambio de variable: los valores de la tabla

13 Ejemplo: Tomando n=2 (3 puntos):

14 Calcular mediante cuadratura de Gauss-Legendre con 4 puntos la
siguiente función (llamada función error) en el punto x = 0.5:

15 Calcular:

16 ¡¡¡EN RADIANES!!! Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):

17 Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):
¡¡¡EN RADIANES!!!

18 Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):

19 Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):

20 Tomando Gauss-Legendre con n=4 (5 puntos):

21 Tomando n=1 (2 puntos): ¡¡¡EN RADIANES!!!

22 Tomando n=2 (3 puntos):

23 Por Simpson con un intervalo ( h = 0.5):
Por Simpson con dos intervalos ( h = 0.25):