Formulación de Modelos de Programación Líneal

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1 Formulación de Modelos de Programación Líneal
Primer Semestre 2007 EII 405

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1.- Problema de Producción Un taller tiene 3 tipos de máquinas A, B y C y fabrica 2 tipos de productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden, primero a la máquina A, luego a la B y finalmente a la C. La tabla muestra: 1) Las horas requeridas en c/máquina por unidad de producto. 2) Las horas totales disponibles para c/máquina por semana. 3) La ganancia por unidad vendida de cada producto

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¿Qué cantidad de cada producto debe producirse por semana para obtener la máxima ganancia?¿cuántas horas semanales sobran en cada máquina? Definición de variables: Xj: Unidades semanales a producir del producto j (j = 1 y 2) F.O: Max Z = X1 + 1,5X2 S a: 2X1 + 2X2  16 Horas disponibles en máquina A X1 + 2X2  12 Horas disponibles en máquina B 4X1 + 2X2  28 Horas disponibles en máquina C Xj  0 y entero j = 1 y 2 No negatividad

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2.- Problema de la Dieta Una dieta diaria satisfactoria debe contener al menos kCal., 55 grs. de proteínas y 800 mg. de Calcio. Se pide formular un modelo que permita determinar una dieta satisfactoria de mínimo costo a partir de los alimentos indicados en la siguiente tabla:

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Definición de variables: En este caso resulta natural definir la variable de decisión como: Xi: la cantidad de alimento tipo i (i = 1...6) a consumir. Función Objetivo: Como cada alimento tiene un costo, basta ponderar cada variable de decisión por su respectivo coeficiente y construir la función objetivo a minimizar. Min Z = 3X1 + 24X2 + 13X3 + 9X4 + 20X5 + 29X6

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Restricciones: Las restricciones obedecen a los límites diarios de consumo por alimento y a las condiciones de energía, proteínas y calcio que debe cumplir la dieta, además, de la no negatividad de las variables. 110X X X X X X6  (Energía) 4X1 + 32X2 + 13X3 + 8X4 + 4X5 + 14X6  (Proteínas ) 2X1 + 12X2 + 54X X4 + 22X5 + 80X6  800 (Calcio) X1  (Avena) X2  (Pollo) X3  (Huevo) X4  (Leche) X5  (Pastel) X6  (Cerdo) Xi  0 i = 1...6

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3.- Problema de Asignación de Recursos Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administración ha decidido definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno. El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis bloques horarios del día. Las características de cada bloque se muestran en la siguiente tabla:

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Las enfermeras ganan US$40 al día cuando empiezan a trabajar en los turnos 2, 3 y 4 y US$50 en los otros turnos. ¿Cuál debe ser la planificación de los turnos que minimizan los costos por salarios?

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Definición de variables: Xi: Número de enfermeras que comienzan a trabajar en la hora i (i = 2, 6, 10, 14, 18, 22) Función Objetivo: Min Z = 50X2 + 40X6 + 40X X X X22 Restricciones: Para construir las restricciones es conveniente construir la siguiente tabla

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De la gráfica anterior se observa que en cada bloque horario trabajan las enfermeras que comenzaron su turno en dicho bloque, pero también las enfermeras que empezaron en el bloque anterior. Por lo tanto las restricciones de personal mínimo para cada bloque horario quedan de la siguiente manera: X2 + X22  25 (02:00 – 06.00) X2 + X6  60 (06:00 – 10.00) X6 + X10  50 (10:00 – 14.00) X10 + X14  35 (14:00 – 18.00) X14 + X18  (18:00 – 22.00) X18 + X22  (22:00 – 02.00) Además, hay que considerar las restricciones de signo Xi  0 y entero (i = 2, 6, 10, 14, 18 y 22)

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4.- Problema de Localización de Planta Una empresa del sector textil dispone de dos plantas de fabricación, una en Santiago y otra en Concepción con capacidad de 900 y 1500 unidades respectivamente. Posee también 4 almacenes regionales de distribución, que sirven a los clientes de sus respectivas zonas, en: Iquique, La Serena, Viña del Mar y Osorno con demandas de 700, 800, 500 y 400 unidades respectivamente. En los próximos años la empresa espera un crecimiento de la demanda del 25% lo cual ha generado la necesidad de construir una nueva fábrica que cubra dicho aumento. A la vista de los criterios que la empresa estima importantes para la localización de la nueva planta, existen dos alternativas a considerar: Antofagasta y Copiapó.

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La elección recaerá en aquella que provoque los menores costos de transporte entre las fábricas y los almacenes, dado que ambas parecen ser igualmente convenientes respecto a otros factores. La tabla muestra los costos de transporte entre cada planta y almacén. Tenemos que resolver dos problemas, uno para cada nueva planta Antofagasta y Copiapó

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Definición de variables: Xij: Unidades a enviar desde planta i al almacén j con i = S (Santiago), C (Concepción) y A (Antofagasta) con j = I ( Iquique), L (La Serena), V (Viña del Mar) y O (Osorno) F.O: Min Z = 6XSI + 4 XSL + 2XSV + 6XSO +2XCI + 3XCL + 7XCV + 5XCO XAI + 4XAL + 4XAV + 8XAO S. a XSI + XSL + XSV + XSO  900 Restricciones de planta (producción) XCI + XCL + XCV + XCO  1500 XAI + XAL + XAV + XAO  600 (25%) XSI + XCI + XAI = (700 * 1,25) Restricciones de demanda de almacén (demanda futura) XSL + XCL + XAL = 1000 XSV + XCV + XAV = 625 XSO + XCO + XAO = 500 Xij  0 y entero No negatividad

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5.- Problema de Planificación de Producción La empresa Sil Computer necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 meses. Actualmente Sil Computer tiene computadores en inventario. La demanda esperada para los próximos meses son 7.000, , y La empresa tiene el material y la capacidad de producir computadores cada mes, a un costo de US$2.000 por computador. Empleando personal de sobretiempo se pueden producir hasta computadores más a un costo individual de US$2.200. Los computadores producidos en un mes pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese periodo, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente.

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Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$100 por periodo de almacenaje. ¿Como puede satisfacer Sil Computer su demanda a costo mínimo? Definición de variables: En este caso la decisión a tomar corresponde a la producción de computadores por mes, como se pueden fabricar computadores en horario normal y en sobretiempo es conveniente separar ambos tipos de producción en variables distintas. Además, se debe decidir cuantas unidades se guardan en inventario en cada periodo, entonces las variables son: Xt: producción en horario normal en el periodo t Yt: producción en sobretiempo en el periodo t It: Inventario al final del periodo t con t = 1, 2, 3 y 4

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Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 7.000 15.000 10.000 8.000 5.000 I1 I3 I2 X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 Función Objetivo: Min Z = 2000 (X1 + X2 + X3 + X4) (Y1 + Y2 + Y3 + Y4) + 100 (I1 + I2 + I3)

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S.a X1 + Y = I Mes 1 X2 + Y2 + I1 = I Mes 2 X3 + Y3 + I2 = I Mes 3 X4 + Y4 + I3 = Mes 4 X1  10000 X2  10000 X3  10000 X4  10000 Y1  2500 Y2  2500 Y3  2500 Y4  2500 Xt, Yt, It  0 t = 1, 2, 3 y 4 Xt, Yt enteros

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6.- Problema de Mezcla Una refinería de petróleos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado que tiene la refinería y deben cumplir la especificaciones que se muestran en el siguiente cuadro Las características del inventario de petróleos refinado se muestran en la siguiente tabla

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Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar la ganancia semanal de la refinería. Suponga que no existen pérdidas en el proceso de refinamiento y que tanto el octanaje como la presión de vapor se pueden mezclar linealmente. Definición de variables: De acuerdo al supuesto debemos definir variables que nos permitan controlar que proporción de cada tipo de petróleo se empleará para fabricar cada tipo de gasolina, así: Xij: Barriles de petróleo refinado tipo i para fabricar gasolina j con i = N (nacional) e I (importado) j = R (regular) y E (extra)

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Función Objetivo: Como se conoce el precio de venta de cada gasolina y el costo de cada petróleo, las FO se reduce a maximizar las utilidades Max Z = 12(XNR + XIR) + 14(XNE + XIE) – 8(XNR + XNE) – 15(XIR + XIE) Restricciones: Las restricciones respecto de inventario disponible y demanda de cada tipo de gasolina son: XNR + XNE  Inventario petróleo nacional XIR + XIE  Inventario petróleo importado XNR + XIR  Demanda mínima de gasolina regular XNR + XIR  Demanda máxima de gasolina regular XNE + XIE  Demanda mínima de gasolina extra XNE + XIE  Demanda máxima de gasolina extra

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Las restricciones de presión de vapor y de octanaje mínimo deben ser normalizadas respecto de la cantidad total fabricada (25XNR + 15XIR) / (XNR + XIR)  23 Presión de vapor máx. gas. regular (25XNE + 15XIE) / (XNE + XIE)  25 Presión de vapor máx. gas. extra (87XNR + 98XIR) / (XNR + XIR)  88 Octanaje mínimo gas. regular (87XNE + 98XIE) / (XNE + XIE)  Octanaje mínimo gas. extra Finalmente, las condiciones de signo XNR, XIR, XNE, XIE  0

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7.- Problema de Producción y Asignación de Personal Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 hrs. semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0,4 por hora y el tercero, un obrero calificado recibe $0,6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este periodo. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variable son de $1 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2,4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6,5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato.

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Los dispositivos terminados se vende a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0,5 horas de obrero no calificado y 0,25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la otra empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0,5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo listo para entregar al mercado se puede producir con 0,6 horas de obrero no calificado y 0,5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita determinar cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades

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Definición de variables: Podemos definir los siguientes tipos de productos: intermedio (1), intermedio que se acaba (2) y acabado (3), por lo que las variables serán: Xi: cantidad de producto tipo i fabricado, con i = 1, 2 y 3 Como todos los obrero trabajan 40 horas semanales fijas, sólo es necesario cuantificar como variables las horas extraordinarias de trabajo, por lo tanto diremos que: Ej: horas extraordinarias de los trabajadores tipo j. Donde j = 1 (obreros no calificados) y 2 (obrero calificado) Función Objetivo: Por la información que se posee podemos plantearlo como uno de maximización de utilidades, para lo cual debemos expresar la diferencia entre los ingresos y costos en función de las variables de decisión.

25 No es necesario incorporarlo
Formulación de Modelos Ingresos: I = 6,5 X (X2 + X3) Costos: C = 2 * 40 * 0,4 + 0,6 E1 sueldo obreros no calificado + 40 * 0,6 + 0,9 * E2 sueldo obrero calificado + 1 * (2 * 40 + E1) + 2,4 (1 * 40 + E2) gastos de operación variable costos fijos No es necesario incorporarlo Max Z = 6,5 X1 + 15X2 + 15X3 – 1,6 E1 – 3,3 E2 – 1032 Restricciones: X1  100 Límite inferior demanda producto intermedio X1  Límite superior demanda producto intermedio

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Disponibilidad de mano de obra para producción 0,5 (X1 + X2) + 0,6 X3  80 + E Tiempo utilizado por obreros no calif. 0,25 X1 + 0,75 X2 + 0,5 X3  40 + E Tiempo utilizado por obreros calif. E1  Horas Extras disponibles para o.n.c. E2  Horas Extras disponibles para o.c. Finalmente, las condiciones de signo X1, X2, X3, E1, E2  0