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Distribución Hipergeométrica Cetina López Wendy. Distribución Hipergeométrica. México 2011. pp. 15.

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1 Distribución Hipergeométrica Cetina López Wendy. Distribución Hipergeométrica. México pp. 15.

2 Distribución hipergeométrica En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad es:

3 Aquí, se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a. Aquí, se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a. Esta distribución se refiere a un espacio muestra donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al sacar una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido. Esta distribución se refiere a un espacio muestra donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al sacar una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido. El valor esperado de una variable aleatoria X de distribución hipergeométrica es El valor esperado de una variable aleatoria X de distribución hipergeométrica es

4 Y su varianza

5 MUESTRA CON REEMPLAZO. Muestra: subconjunto de la población seleccionado mediante algún criterio particular. Porción de elementos de una población elegidos para su examen o medición directa. Muestra: subconjunto de la población seleccionado mediante algún criterio particular. Porción de elementos de una población elegidos para su examen o medición directa. Muestreo con reemplazo: Es aquel en que un elemento puede ser seleccionado más de una vez en la muestra para ello se extrae un elemento de la población se observa y se devuelve a la población, por lo que de esta forma se pueden hacer infinitas extracciones de la población aun siendo esta finita. Muestreo con reemplazo: Es aquel en que un elemento puede ser seleccionado más de una vez en la muestra para ello se extrae un elemento de la población se observa y se devuelve a la población, por lo que de esta forma se pueden hacer infinitas extracciones de la población aun siendo esta finita.

6 Características: a)Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados. b)Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes. c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí. d)El número de repeticiones del experimento n, es constante. Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería:

7 donde: N = x + y + z = total de objetos N = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipo a = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipo b = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestra n = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra

8 Ejemplos: 1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores. 1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.

9 Solución: Solución: a) N= =25 total de artículos a) N= =25 total de artículos a=20 productos sin defectos a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra z = n-x-y = = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

10 b) N= 25 b) N= 25 a=20 productos sin defectos a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra z = n-x-y = = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

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12 MUESTRA SIN REEMPLAZO. (HIPERGEOMÉTRICA). Muestreo sin reemplazo: No se devuelve los elementos extraídos a la población hasta que no se hallan extraídos todos los elementos de la población que conforman la muestra. Muestreo sin reemplazo: No se devuelve los elementos extraídos a la población hasta que no se hallan extraídos todos los elementos de la población que conforman la muestra. Se seleccionan n de los N, SIN REEMPLAZO. La v.a. X que nos interesa es el número total de éxitos entre los n seleccionados y nó el orden en que salieron. Se seleccionan n de los N, SIN REEMPLAZO. La v.a. X que nos interesa es el número total de éxitos entre los n seleccionados y nó el orden en que salieron. En estas condiciones la v.a. X tiene la distribución hipergeométrica. Su imagen es {0,1,...,n}. La función de probabilidad está dada por: En estas condiciones la v.a. X tiene la distribución hipergeométrica. Su imagen es {0,1,...,n}. La función de probabilidad está dada por: P(X=x) = [kC x (N-k)C(n-x)] / [NCn]; para x en {0,1,...,n} P(X=x) = [kC x (N-k)C(n-x)] / [NCn]; para x en {0,1,...,n}

13 La media es: E(X) = nk/N y la varianza: var(X) = [N-n]/[N-1] n (1-k/N) k/N ¿Dónde se aplica? 1_En situaciones de muestreo sin reemplazo en que la muestra es un porcentaje considerable de la población. Como ejemplo, de un lote de 40 artículos se seleccionan al azar 4 para probarlos y si fallan la prueba más de 2 se rechaza el lote completo. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que tenga 8 defectuosos? Dado que el muestreo se hace sin reemplazo y la fracción de muestreo es grande (10%) tenemos una v.a. hipergeométrica. Los parámetros son: N=40, k=8, n=4, X es el número de defectuosos en la muestra y queremos la probabilidad P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) = 1792/ /91390 = P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) = 1792/ /91390 =

14 ésta es la probabilidad de rechazar un lote con 25% de defectuosos y es muy baja. Para mejorar el proceso de selección, los ingenieros deciden rechazar el lote cuando haya 2 o más defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que tenga 8 defectuosos? Los parámetros permanecen iguales lo que cambia es la probabilidad, ahora es ésta es la probabilidad de rechazar un lote con 25% de defectuosos y es muy baja. Para mejorar el proceso de selección, los ingenieros deciden rechazar el lote cuando haya 2 o más defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que tenga 8 defectuosos? Los parámetros permanecen iguales lo que cambia es la probabilidad, ahora es P (X >= 2) = P(X=2) + P(X>2) = = P (X >= 2) = P(X=2) + P(X>2) = = Con esta nueva política de rechazar el lote cuando sean 2 o más, ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote con 6 defectuosos? Los parámetros son, ahora, N=40, k=6, n=4 y queremos la probabilidad: Con esta nueva política de rechazar el lote cuando sean 2 o más, ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote con 6 defectuosos? Los parámetros son, ahora, N=40, k=6, n=4 y queremos la probabilidad: P (X > 10) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - [46376/ / 91390] = P (X > 10) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - [46376/ / 91390] =

15 2_En el salón de tercer año de una escuela hay 35 alumnos, de los cuales 10 son niñas y 25 niños. Se nombra un comité de 7 alumnos que represente al salón. La selección se hace al azar. ¿Qué probabilidad hay de que en el comité haya mayoría de niñas? En esta situación se cumplen las hipótesis de una hipergeométrica. Los parámetros son: N=35, k=10, n=7, X es el número de niñas en el comité. La probabilidad pedida es: P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) =


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