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8.3.- APROXIMACIOIN DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL A LA NORMAL Si la x se distribuye como una distribución binomial b(x;n,p), cuando n aumenta sin restricción.

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1 8.3.- APROXIMACIOIN DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL A LA NORMAL Si la x se distribuye como una distribución binomial b(x;n,p), cuando n aumenta sin restricción y p es moderado (n > 30 y 0.1 < p < 0.9) talque np sea constante; entonces b(x;n,p) se aproxima a una distribución normal con media np y varianza npq. Lím b(x;n,p) = n(x; np, np(1-p)) = n(x; μ, σ² ) n 0.1 < p < 0.9 donde μ = np, σ² = np(1 –p) Como en b(x;n,p); x es el valor de una v.a. discreta y en n(x;u, σ² ); x es el valor de una v.a. continua, se introduce el factor de corrección de continuidad, que consiste en agregar ½ el límite superior o quitar ½ el inferior; esto es:

2 P( x 1 x x 2 )= Donde z 1 = ¿Cuál es l probabilidad de conseguir de 210 a 220 caras en 400 lanzamientos de una moneda no sesgada ?

3 DISTRIBUCIÓN 2 ( CHI –CUADRAD0 Es un caso especial muy importante de la distribución Gama, y se obtiene haciendo = v/2 y = v/2, donde v es un entero positivo obteniéndose una familia de distribuciones de un paràmento con función de densidad dado por: f( 2 ) = 1 ( 2 ) v/2 -1 e (- 2)/2 ; 2 > 0 2 v/2 (v/2) Una variable 2 que tiene su función de densidad como la anterior se dice que es una distribución Chi- cuadrado con V grados de libertad denotado por 2 (v).

4 ESPERAZA Y VARIANZA E[ 2 ] = v, y V[ 2 ] = 2 v La distribución Chi-cuadrado tiene muchas aplicaciones importantes en inferencia estadística; debido a su importancia esta graficado para diversos valores del parámetro n, por lo tanto podemos encontrar el valor de 0 2 que satisface a la probabilidad : P( 2 2 ) = y 0 < < 1 donde 2 = (n-1) s 2 2 cuyos valores de los percentiles se encuentran tabulados en una tabla al final de los textos de estadística.

5 Como no existe simetría, las tablas presentan los valores acumulados desde 2 = 0 hasta 2 = : Se presentan básicamente dos tipos de problemas :

6 A ) Dados 1- y v. encontrar 2 0 Ejemplo: Si 1- = y v = 10 entonces 2 0 = (10) = 25.2 Si 1- = y v = 2 entonces 2 0 = ( 2 ) = 0.01

7 B) Dados 2 0 y v, encontrar 1- Ejemplo: 1) Si 2 0 = 23.2 y v = 10 entonces 1- = P( )= F(23.2) =0.99 2) Si 2 0 = 10.6 y v = 2 entonces 1- = P( ) = F(10.6) =0.995 Si los valores no se encuentran en la tabla, se acude a la interpolación lineal o se escoge el valor más próximo

8 8.7 DISTRIBUCIÓN T DE STUDENTS Sea Z una variable aleatoria normal estándar y V una variable aleatoria chi - cuadrado con v grados de libertad. Si Z y V son independientes entonces la distribución de la variable aleatoria T dado por : tiene la siguiente función de densidad

9 h(t) = ( ( v+1)/2) ( 1 + t 2 /v )- (v+1)/ 2 ; - t ( ( v/2) ( v) 1/2 Tiene una distribución t con v grados de libertad el valor de la integral : f (t ) dt = 1 - -

10 8.8.1 CARACTERÍSTICAS 1) Gráfico de la distribución para diferentes valores de v Tiene una forma acampanada, simétrica con respecto al eje de las ordenadas y asintótica al eje de las abscisas

11 Está por debajo de la curva normal estándar ( platicúrtica), si v crece esto es Lim f( t; v) = Normal Estándar v En algunos textos t se calcula a partir de t = x - donde s es la desviación estándar de la muestra. s/(n –1 ) 1/2 Donde t es una v.a. que tiene la distribución t-student con v= n-1 grados de libertad, S la varianza de Cochran Si la muestra es grande ( n > 30) y la varianza poblacional es desconocida entonces la varianza poblacional se estima a partir de la varianza muestral y en vez de t se usa Z. Esto es válido aún cuando la población no es normal AREAS BAJO LA CURVA T t 1 Como P ( t 0 < t < t1 ) = f(t) dt t 0 Se encuentra tabulado al final de los libros de estadística

12 USO DE LA TABLA T STUDENT CASO A: Dado 1 - y v Halla t 0 1) Si 1 - = y v = 15 entonces -t 0 = t (15) = ) Si 1 - = y v = 15 entonces t 0 = t (15) = ) Si = 0.01 o si 1 = 0.99, v = 2 entonces t 0 = t 0.99 (2 ) = 6.96

13 CASO B Dado t 0 y v encontrar 1 - 1) Si t 0 = y v = 15 entonces 1 - = p ( t < 2.60 ) = F(2.60) = ) Si t 0 = 63.66, y v = 1 entonces 1 - = p ( t < ) = F(63.66) = ) Si ) Si - t 0 = y v = 2 entonces 1 - = p ( t < ) = F( ) = 1-F( ) =1 – 0.55 = 0.45

14 PROBLEMA : Al someter a prueba una tarjeta de video de computadora se obtiene las siguientes duraciones en horas: 28,15,19,30,23 se sabe los tiempos de duración de las tarjetas se distribuye normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que la media poblacional se desvíe de la media muestral en 4 horas?

15 DISTRIBUCION F Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se le conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor.teoría de probabilidadestadística distribución de probabilidad continuaGeorge Snedecor Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:variable aleatoria donde U 1 y U 2 siguen una distribución chi-cuadrado con d 1 y d 2 grados de libertad respectivamente, y U 1 y U 2 son estadísticamente independientes

16 La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.análisis de varianza La función de densidad de una F(d 1, d 2 ) viene dada por:función de densidad para todo número real x 0, donde d 1 y d 2 son enteros positivos, y B es la función betanúmero realfunción beta GRAFICO DE LA DISTRIBUCION F

17 EJEMPLOS: a).-Si 1-α =0.9 y v 1 = 1 y v 2 =12 Hallar F 0 Si 1-α =0.99 y v 1 = 10 y v 2 =12 Hallar F 0. b)- si F 0 = 6.93 y v 1 = 2 y v 2 =12 hallar P( F 6.93) si F 0 = 39 y v 1 = 2 y v 2 =2 hallar P( F 39)


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