Evolución de poblaciones

Presentación del tema: "Evolución de poblaciones"— Transcripción de la presentación:

1 Evolución de poblaciones
Ecología. Ecosistemas. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Aplicación de la diagonalización a la Biología Aplicación de la diagonalización a la Biología

2 PROBLEMA Se sabe experimentalmente que las poblaciones de dos especies animales A y B se rigen por las siguientes relaciones: y1’(t) = 0.05 y1(t) y2(t) y2’(t) = y1(t) y2(t) y1(t) e y2(t) indican el número de individuos de cada especie en el instante de tiempo t Aplicación de la diagonalización a la Biología

3 Se conocen los valores iniciales de las poblaciones y1(0) = 200
El problema consiste en hallar el tamaño de cada población al cabo de 30 años Aplicación de la diagonalización a la Biología

4 solución La especie B se extingue al cabo de 21’5 años
En ese momento la especie A tiene 528 individuos. A los 30 años la especie A tiene 896 individuos Aplicación de la diagonalización a la Biología

5 ¿Qué necesitamos para resolver el problema?
Saber resolver la ecuación diferencial y’(t) = µ y(t) Saber diagonalizar matrices (Ámbas cosas, para nosotros, son sencillas) Aplicación de la diagonalización a la Biología

6 y’(t) = µ y(t) y(t) = c · exp(µt)
Aplicación de la diagonalización a la Biología

7 La matriz de coeficientes del sistema es diagonalizable
y1’(t) = 0.05 y1(t) y2(t) y2’(t) = y1(t) y2(t) La matriz de coeficientes del sistema es diagonalizable gracias a ello podemos hacer un cambio de coordenadas (cambio de base) tal que la matriz del nuevo sistema es diagonal esto permite resolver cada ecuación independientemente Aplicación de la diagonalización a la Biología

8 Para conocer las funciones originales hay que deshacer el cambio de variables
con los valores iniciales calculamos el valor de las constantes de las soluciones obteniendo una única solución Aplicación de la diagonalización a la Biología

9 Por último hay que analizar las funciones solución. y1(t) es creciente
y2(t) no lo es y se anula en 21’5 y1(21’5) = 528 a partir de ese momento y2(t) no interviene Aplicación de la diagonalización a la Biología

10 y1(21’5) = 528 y1’(t) = 0.05 y1(t) y1(t) = 528·exp(0.05 t)
Aplicación de la diagonalización a la Biología

11 That’s all folks! Aplicación de la diagonalización a la Biología