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CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos Estadística Computacional.

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1 CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos Estadística Computacional

2 Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) f X. Sea Y = g(x). Entonces: 4 X es v.a. discreta y g continua Y = g o X es v.a. discreta 4 X es v.a. continua y g continua Y = g o X sea v.a. continua Funciones de Variables Aleatorias

3 P(C) = P[{ x R X : H(x) C}] = P[{ s : H(X(s)) C}] H(x) C H(X(s)) C RYRY C X(s) B RXRX B A s A X : R X s dominio X x R X rango X (s, x) X H : R X R Y x R X dominio H y R Y rango H (x, y) H Y : R Y s dominio Y = H(X) y R Y rango Y = H(X) (s, y) Y = H(X) Transformación de Variables

4 Sea X una v.a. discreta con función de cuantía f(x ij ) x 11 x 21 x 31 x 41 ······· x n1 x 12 x 22 x 32 ·· x n2 x 13 x 23 x 33 ·· x n3 x 1j x 2j x 3j ·· x nj X Y y1y1 y2y2 y3y3 yjyj Sea H(x ij ) = y j una función que tiene la propiedad de asignar un valor y j a todo x ij j J para i = 1, 2, 3,...; j = 1, 2,... f(x 11 ) ··· f(x 31 ) ·······f(x n1 )f(x 12 ) ········· f(x n2 )f(x 13 ) ········· f(x n3 )f(x 1j ) ········· f(x nj ) Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria con función de cuantía g(y j ) = f(x ij ) Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria con función de cuantía g(y j ) = f(x ij ) nj ij = 1j Transformación de Variables

5 Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) f X (x) Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria. Entonces: Si H(x) continua continua Si H(x) discreta discreta X es v.a. Y = H( X) es v.a. continua Y = H( X) es v.a. discreta Transformación de Variables

6 X : R g : D R Y = g(X) v.a. v.a.c. f u continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A D Entonces: Funciones de Variables Aleatorias

7 g(y) = G(y) (y - 1) y y g(y) 12 y = 3x x y Sea Y = H(X) = 3X + 1 pdf de Y; g(y) ? x Sea X v.a. f(x) = 2x 0 < x < 1 f(x) = 2x 0 < x < 1 2 f(x) 1 = P(X (y – 1)/ 3) = 2x dx = [y – 1] 2 (y –1)/ G(y) = P(Y y) = P(3X + 1 y) Transformación de V.A. Continuas

8 Funciones de Variables Aleatorias Ejemplo: f X (x) = I 0,1 (x) g(x) = ln x Sea Y = g o X = ln X. Encontrar la densidad de Y = ln X

9 Solución: Sea A = 0,1 D = R + Además g es derivable y con derivada no nula en A Entonces: Funciones de Variables Aleatorias

10 Caso X U (0,1) H(X) = ln X Sea X ~ U(0,1) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X) Y = ln X X = H -1 (Y) X = e Y encontrar g(y) G(y) = P(Y y) P(ln X y) P(X e y ) F(e y ) 1 g(y) y - g(y) = G(y) = = 1 x e y dx dy dF(x) dx g(y) >0 x y

11 Solución: Además, algunas propiedades de Y son: Funciones de Variables Aleatorias

12 Un método operativo X U (0,1)Y = ln X derivando con respecto a y tenemos:

13 En general, sea X v.a.c. Y = X 2 Consideremos X N(0,1), sea Y = X 2, luego: Y 2 (1) Un método operativo

14 Ejercicio Sea X = ln Y N (, 2 ) Encontrar la distribución de Y Nota: Y se conoce como distribución Log-normal.

15 Distribución Log-Normal Función de Densidad LN( 0, 2 )

16 Función Generadora de Momentos Definición: Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad o cuantía f X. Se llama función generadora de momentos a : D R R / X (t) = E [e tX ] t X (t) X v.a.d. X v.a.c.

17 Función Generadora de Momentos Observaciones: 4 Tal serie o integral pude no existir siempre t D. 4 Sin embargo, t = 0 existe siempre, y vale 1. 4 Deseamos que exista V(0, ) D y que además sea derivable k-veces. 4 Cuando X (t)=E[e tX ] no exista, podemos usar X (t)=E e itX llamada función característica.

18 Función Generadora de Momentos X X (t) U(a,b) P( ) Exp( ) N(, 2 )

19 Función Generadora de Momentos X X (t) (, ) B(n,p)

20 Función Generadora de Momentos Usando el desarrollo en serie de Maclaurin X (t) X (0) = E[X] X (0) = E[X] X (0) = E[X 2 ] X (0) = E[X 2 ]

21 En general, bajo condiciones de regularidad: n X (0) = E[X n ] Función Generadora de Momentos Finalmente: Si Y = X + Y (t) = e t X ( t) Z = X + Y ; X Y Z (t) = X (t) Y (t)

22 Función de Densidad LN( 0, 2 ) Distribución Log-Normal

23 Caso X U (0,1) H(X) = e -X Sea X ~ U(0,1) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X) Y = e -X X = H -1 (Y) X = - ln Y encontrar g(y) G(y) = P(Y y) = P(e- X y) P(- X ln y ) = P(X - ln y ) = 1 – F(ln y) g(y) x y e -1 1 g(y) y e -1 1 g(y) = G(y) = = - 1 dx dy dF(x) dx _ 1 y

24 Entonces: )( ) ( ()( dy ydHdH yHfyg XY = X : X H : X Y Y = H(X) v.a. v.a.c. H() continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A Y Transformación de V.A. Continuas

25 Caso X U (0,1) H(X) = X 2 Sea X ~ U(0,1) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X) Y = X 2 X = H -1 (Y) X = Y ó X = - Y encontrar g(y) = G(y) = P(Y y) = P(X 2 y) P(- y X y ) = F( y ) – F(- y ) g(y) = f( y ) + f(- y ) 1 2 y G(y) = dF( y) dx dy dF(- y) dx dy

26 Caso X N (, 2 ) H(X) = (X – ) Sea X ~ N(, 2 ) f(x) = e - < x < Y = H(X) Y = X = H -1 (Y) X = Y + encontrar g(y) X – g(y) = f(x) dx dy Sabemos que = e 2 1 y * g(y) = 2 1 e y 2 Reconocemos la Normal Estandar (N(0,1) ½ x - 2

27 Caso X N (, 2 ) H(X) = ln X Sea X ~ N(, 2 ) f(x) = e - < x < Y = H(X) Y = ln X X = H -1 (Y) X = e Y encontrar g(y) g(y) = f(x) dx dy Sabemos que = e 2 1 e y * eyey g(y) = e 2 1 e y y ½ x - 2

28 Caso X N (, 2 ) H(X) = e X Sea X ~ N(, 2 ) f(x) = e - < x < Y = H(X) Y = e X X = H -1 (Y) X = lnY encontrar g(y) g(y) = f(x) dx dy Sabemos que ½ x - 2 = 2 1 e lny – * 1y1y Se le denomina distribución LogNormal: (N(0,1) yg 1 2 y - = e lny –

29 Fenómenos aleatorios representados por variables aleatorias con esta distribución: Diámetro de pequeñas partículas después de un proceso de chancado El tamaño de un organismo sujeto a un número pequeño de impulsos Rentas de familias; consumo de electricidad; ventas en pesos; etc. Tiempo de vida de ciertos ítems Análisis de riesgo financiero en el cálculo del VAN Distribución LogNormal (0,1)

30 R x E[X] = e V[X] = e 2 (e – 1 ) F(x) : No tiene expresión analítica. e f(x) = 2 ln x - _ x Distribución LogNormal (, 2 )

31 Caso X N(0,1) H(X) = X 2 Sea X ~ N(0,1) f(x) = e - < x < Y = H(X) Y = X 2 X = H -1 (Y) X = Y. ó X = - Y encontrar g(y) g(y) = f( y ) + f(- y ) 1 2 y Sabemos que: / // // y yy ey ee y = += yg / // y ey -- = Reconocemos una distribución ; con = ½ x 2

32 Sea X ~ U(1, 3) H(X) = 3X + 1 J(X) = e X Sea f(x) = e -x x > 0 H(X) = X 3 J(X) = 3 (X + 1) 2 Sea f(x) = 2x 0 < x < 1 H(X) = 3X + 1 J(X) = e -X Sea f(x) = ½ -1 < x < 1 H(X) = 4 – x 2 J(X) = ln X Desafíos...

33 )f(f(x = x > 0 e x x =


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