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Soluciones Numéricas de Ecuaciones Diferenciales ordinarias CÁPITULO 6.

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1 Soluciones Numéricas de Ecuaciones Diferenciales ordinarias CÁPITULO 6

2 Contenidos 6.1 Método de Euler y Análisis de Error 6.2 Métodos de Runge-Kutta 6.3 Métodos de Varios Pasos 6.4 Ecuaciones de Orden Superior y Sistemas 6.5 problemas de Valores en al Frontera de Segundo Orden

3 6.1 Método de Euler y Análisis de Error Introducción Recuerde la estructura del Método de Euler y n+1 = y n + hf(x n, y n ) (1) Errores en Métodos Numéricos Una fuente de error que siempre está presente en los cálculos es el error de rondeo.

4 Errores de Truncamiento para el Método de Euler Este logaritmo sólo da una aproximación en línea recta a la solución. Este error se llama error de truncamiento local, o error de discretización. Para obtener una fórmula para el error de truncamiento local del método de Euler, usamos la fórmula de Taylor con resido. Donde c es un punto entre a y x.

5 Tomando k = 1, a = x n, x = x n+1 = x n + h, tenemos ó De ahí que el error de truncamiento en y n+1 es donde x n < c < x n+1 El valor de c por lo común no se conoce, pero una cota superior es donde

6 Observación: Se dice que e(h) es de orden h n, representado con O(h n ), si existe una constante C tal que |e(h)| Ch n para h suficientemente pequeña.

7 Ejemplo 1 Determine una cota para los errores de truncamiento local del método de Euler aplicado a Solución De la solución tenemos so En particular, para h = 0.1, se puede obtener una cota superior remplazando c por 1.1 es

8 Ejemplo 1 (2) Al hacer 5 pasos, remplazando c por 1.5, se obtiene (2)

9 Método de Euler Mejorado (3) donde(4) se conoce comunmente como el Método de Euler Mejorado. Fig 6.1 En general, el método de Euler mejorado es un ejemplo de método de predictor y corrector.

10 Fig 6.1

11 Ejemplo 2 Use el método de Euler mejorado para obtener el valor aproximado de y(1.5) para la solución de. Compare los resultados para h = 0.1 y h = Solución Con x 0 = 1, y 0 = 1, f(x n, y n ) = 2x n y n, h = 0.1 y 1 * = y 0 + (0.1)(2xy) = 1.2 Usando (3) con x 1 = 1 + h = 1.1 Los resultados se dan en la Tabla 6.3 y 6.4.

12 Tabla 6.3 Valor real Error Abs. % error relativo

13 Tabla 6.4 Valor real Error Abs % error relativo

14 Errores de Truncamiento para el Método Mejorado de Euler Observe que el error de truncamiento local es O(h 3 ).

15 6.2 Runge-Kutta Methods Métodos de Runge-Kutta Todos los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler, en la que la función pendiente f se remplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo x n x x n+1 (1) donde las ponderaciones w i, i = 1, 2, …, m son constantes que satisfacen w 1 + w 2 + … + w m = 0, y k i es la función evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el cual x n x x n+1.

16 El número m se llama el orden. Si tomamos m = 1, w 1 = 1, k 1 = f(x, y n ), llegamos al método de Euler. Por consiguiente, se dice que el método de Euler es un método de Runge- Kutta de primer orden.

17 Método de Runge-Kutta de Segundo Orden Tratamos de hallar unas constantes de modo que la fórmula (2) donde k 1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n + h, y n + hk 1 ) concuerde con un polinomio de Taylor de grado 2. Las constantes deben satisfacer (3) luego (4) donde w 2 0.

18 Ejemplo: escogemos w 2 = ½, de donde w 1 = ½, = 1, = 1, y (2) se transforma en y n+1 = y n +(k 1 + k 2 )h/2 donde k 1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n +h, y n +hk 1 ). Puesto que x n + h = x n+1, y n + hk 1 = y n + hf(x n, y n ), es idéntica al método de Euler mejorado.

19 Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden Tratamos de hallar parámetros de modo que la fórmula (5) donde concuerde con un polinomio de Taylor de orden 4.

20 El conjunto de valores usado con más frecuencia para los parámetros produce el siguiente resultado (6)

21 Ejemplo 1 Use el método RK4 con h = 0.1 para obtener y(1.5) para la solución de y = 2xy, y(1) = 1. Solución Primero se calcula el caso n = 0.

22 Ejemplo 1 (2) Por lo tanto, Véase la Tabla 6.5.

23 Tabla 6.5 h=0.1 Valor real Error Abs. % error relativo

24 En la Tabla 6.6 comparan algunos resultados. h = 0.1 h = 0.05 xnxn Euler mejorado RK4 Valor real xnxn Euler mejorado RK4 Valor real

25 Errores de Truncamiento para el Método RK4 Como es de grado 4, el error de truncamiento local es O(h 5 ) y el error de truncamiento global es O(h 4 ). Sin embargo, esto no se abarca en este texto.

26 Ejemplo 2 Determine una cota para los errores de truncamiento local del método RK4 aplicado a Solución Al calcular la quinta derivada de la solución conocida se obtiene (7) Así con c = 1.5, entonces (7) = La Tabla 6.7 proporciona aproximaciones a la solución del problema de valor inicial en x = 1.5 por el método RK4.

27 Tabla 6.7 hAproximaciónError

28 6.3 Métodos de Varios Pasos Método de Adams-Bashforth-Moulton El predictor es la fórmula de Adams-Bashforth (1) donde n 3.

29 El valor de y n+1 * se sustituye en el corrector de Adams-Moulton (2)

30 Ejemplo 1 Use el método anterior con h = 0.2 para obtener y(0.8) para la solución de Solución Con h = 0.2, y(0.8) se aproxima mediante y 4. En principio s emplea el método RK4 con x 0 = 0, y 0 = 1, h = 0.2 para obtener y 1 = , y 2 = , y 3 =

31 Ejemplo 1 (2) Ahora con x 0 = 0, x 1 = 0.2, x 3 = 0.4, x 4 = 0.6, y f(x, y) = x + y – 1, hallamos El predictor (1) da

32 Ejemplo 1 (3) Para usar el corrector (2), se necesita

33 Estabilidad de Métodos Numéricos Decimos que un método numérico es estable, si cambios pequeños en la condición inicial dan como resultado sólo cambios pequeños en la solución calculada.

34 6.4 Ecuaciones de Orden Superor y Sistemas PVI de Segundo Orden Una PVI (1) puede expresarse como (2) Como y(x 0 ) = u 0, entonces y(x 0 ) = y 0, u(x 0 ) = u 0. Aplicando el método de Euler (2) (3)

35 Mientras que al aplicar el método RK4: (4) donde En general,

36 Ejemplo 1 Use el método de Euler para obtener y(0.2), donde (5) Solución Sea y = u, entonces (5) se transforma en De (3)

37 Ejemplo 1 (2) Usando h = 0.1, y 0 = 1, u 0 = 2, determinamos

38 Fig 6.2 En la Fig 6.2 se compara la curva solución generada mediante el método de Euler con la curva solución generada mediante el método RK4.

39 Ejemplo 2 Escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Solución Escribimos Al simplificar:

40 Ejemplo 2 (2) Sea El sistema original se puede escribir en la forma

41 Solución Numérica de un Sistema La solución de un sistema de la forma se puede aproximar mediante métodos numéricos.

42 Por ejemplo, mediante el método RK4: (6) se parece a esto: (7)

43 donde (8)

44 Ejemplo 3 Considere Use el método RK4 para aproximar x(0.6) y y(0.6) con h = 0.2 y h = 0.1. Solución Con h = 0.2 y los datos proporcionados, de (8)

45 Ejemplo 3 (2)

46 Ejemplo 3 (3) Por lo tanto, de (7) obteenmos Observe Fig 6.3 y Tabla 6.8, 6.9.

47 Fig 6.3

48 Tabla

49 Tabla

50 6.5 Problemas de Valores en la Frontera de Segundo Orden Aproximaciones por Diferencias Finitas El desarrollo en serie de Taylor en a de y(x) es Si ponemos h = x – a, entonces Escribiendo la última expresión como (1) y (2)

51 Si h es pequeña, podemso despreciar y y términos de orden mayor, luego (3) (4) Al restar (1) de (2) se obtiene también (5) Si despreciamos los términos con h 3 y superores, entonces al sumar (1) y (2) (6)

52 Los lados derechos de (3), (4), (5), (6) se denominan cocientes de diferencias, y estas diferencias se llaman diferencias finitas. y(x + h) – y(x) : diferencia hacia delante y(x) – y(x – h) : diferencia hacia atrás y(x + h) – y(x – h): diferencia central y(x + h) – 2y(x) + y(x – h): diferencia central

53 Método de Diferencias Finitas Considere el PVF: (7) Supongase que a = x 0 < x 1 < … < x n < b representa una partición regular del intervalo [a, b], esto es, x i = a + ih, donde i = 0, 1, 2,..., n, y h = (b – a)/n. Estos puntos se llaman puntos de malla interiores. Si permitimos que sea y i = y(x i ), P i = P(x i ), Q i = Q(x i ), f i = f(x i ),

54 y si y e y en (7) se remplazan por (5) y (6), entonces tenemos ó (8) Esto se conoce como ecuación de diferencias finitas.

55 Ejemplo 1 Use (8) con n = 4 para aproximar la solución del PVF Solución Tenemos P = 0, Q = –4, f(x) = 0, h = (1 – 0)/4 = ¼. De ahí que (9) Los puntos interiores son x 1 = 0 + 1/4, x 2 = 0 + 2/4, x 3 = 0 + 3/4, entonces (9) genera

56 Ejemplo (2) Junto con y 0 = 0, y 4 = 5, luego Obtenemos y 1 = , y 2 = , y 3 =

57 Ejemplo 2 Use (8) con n = 10 para aproximar la solución del PVF Solución Tenemos P = 3, Q = 2, f(x) = 4x 2, h = (2 – 1)/10 = 0.1, de ahí que (8) se transforma (10) Los puntos interiores x 1 = 1.1, x 2 = 1.2, …, x 9 = 1.9, y 0 = 1, y 10 = 6, luego (10) genera

58 Ejemplo 2 (2) Podemos resolver este sistema de ecuaciones para obtener y 1, y 2, …, y 9.

59 Método de Disparos Otra manera de aproximar una solución se denomina método de disparos. El punto de partida de este método es remplazar el PVF por un PVI: (11) donde m 1 es simplemente una suposición. Esto se deja como ejercicio. Mirese el problema 14.


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