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Fundamentos de Lógica Difusa (Fuzzy) José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd. Departamento de Ing. Electrónica Universidad de Antioquia.

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1 Fundamentos de Lógica Difusa (Fuzzy) José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd. Departamento de Ing. Electrónica Universidad de Antioquia

2 2 Primero recordemos las operaciones entre conjuntos clásicos Para conjuntos clásicos, consideremos dos conjuntos A y B: - Entonces la unión de A y B será un conjunto C = A B, que contendrá tanto los elementos de A como los de B. - La intersección de A y B, será un conjunto D = A B, que contendrá los elementos comunes entre A y B. - El complemento de A, será un conjunto A, que contendrá todos los elementos del conjunto universal que no pertenezcan a A. Conjuntos difusos

3 3 Ejemplo (conjuntos clásicos): Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} y U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} el conjunto universal. Entonces: C = A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} D = A B = {4, 5, 6 } A = {0, 7, 8, 9, 10, 11} Conjuntos difusos

4 4 Propiedades de las operaciones entre conjuntos clásicos: Sean A, B y C conjuntos clásicos y A, B, y C sus complementos Sea X el conjunto universo y el conjunto vacío Propiedad Conmutativa A B = B A, A B = B A Asociativa (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Conjuntos difusos

5 5 Propiedad Contradicción A A = Tercero excluido A A = X ley de Morgan A B = A B A B = A B Conjuntos difusos

6 6 Operadores para el complemento de conjuntos difusos: Un operador de complemento para un conjunto difuso es una función N: [0,1] -> [0,1], la cual cumple los siguientes requerimientos axiomáticos: N(0) = 1 y N(1) = 0 (condiciones de frontera) N(a) >= N(b) si a=< b La funciones que cumplen estas condiciones forman una clase general de complementos difusos. Otro requerimiento es: N(N(a)) = a ( involución) Conjuntos difusos

7 7 Complemento de conjuntos difusos: Ejemplo: N(x) = 1 – x es el complemento clásico con x [0, 1] En este caso: si tenemos el conjunto A con función de pertenencia μ A (x), la función de pertenencia del complemento sería: μ A (x) = 1 - μ A (x) Observe que también cumple con la propiedad: μ A (x 1 ) - μ A (x 2 ) = μ A (x 2 ) - μ A (x 1 ) Otro ejemplo es el complemento de Yaguer: N s (a) = (1 – a)/ (1 + sa), s es un parámetro mayor que 1, Conjuntos difusos

8 8 Operadores para la unión de conjuntos difusos: La unión del conjunto difuso A (que pose función de pertenencia μ A (u)) con el conjunto B (con función de pertenencia μ B (u)) da como resultado un conjunto difuso C que tiene como función de pertenencia una función obtenida de la agregación de las funciones de pertenencia de A y B utilizando un operador S:[0,1]x[0,1] ->[0,1] denominado S-norma ( T-conorm ). O sea: μ C = μ A B (u) = S(μ A (u), μ B (u)) Conjuntos difusos

9 9 Unión de conjuntos difusos: Un operadores para la unión debe satisfacer los siguientes requerimientos: 1. S(1, 1) = 1, S(0, a) = S(a, 0) = a (Cond. de frontera) 2. S(a, b) S(c, d) si a c y b d 3. S(a, b) = S(b, a) conmutativa 4. S(a, S(b, c)) = S(S(a,b), c) asociativa. Conjuntos difusos

10 10 Unión de conjuntos difusos: Ejemplos de operadores para la unión: - Máximo: S(a, b) = max(a,b) - Suma algebraica: S(a, b) = a + b - ab - S uma drástica: S(a, b) = a, si b = 0. b, si a = 0. 1, si a, b > 0. Conjuntos difusos

11 11 Intersección de conjuntos difusos: La intersección de el conjunto difuso A (con función de pertenencia μ A (u)) con el conjunto B (con función de pertenencia μ B (u)) da como resultado un conjunto difuso C que tiene como función de pertenencia una función obtenida de la agregación de las funciones de pertenencia de A y B utilizando un operador (T- norma) T:[0,1]x[0,1] ->[0,1]. De esta forma: μ C = μ AB (u) = T(μ A (u), μ B (u)) Conjuntos difusos

12 12 Intersección de conjuntos difusos: Un operador para la intersección debe satisfacer los siguientes requerimientos: 1. T(0, 0) = 0, T(a, 1) = T(1, a) = a (Cond. de frontera) 2. T(a, b) T(c, d) si a c y b d 3. T(a, b) = T(b, a) conmutativa 4. T(a, T(b, c)) = T(T(a,b), c) asociativa. Conjuntos difusos

13 13 Intersección de conjuntos difusos: Ejemplos de operadores para la unión: - Mínimo: T(a, b) = min(a,b) - Producto algebraico: T(a, b) = a.b - Producto drástico: T(a, b) = a, si b = 1. b, si a = 1. 0, si a, b < 1. Conjuntos difusos

14 14 El operador más utilizado para intersección es el min y para para la unión el max: Unión: A B μ A B (u) = max(μ A (u), μ B (u)) Intersección: A B μ A B (u) = min(μ A (u), μ B (u)) complemento: A μ A (u) = 1 - μ A (u) Se realizan con base a las funciones de pertenencia Función de pertenencia del conjunto resultado Operador Además del max y min otros comúnmente usados son: Unión: A B μ A B (u) = μ A (u) + μ B (u) - μ A (u) μ B (u) Intersección: A B μ A B (u) = μ A (u) μ B (u) Conjuntos difusos

15 15 Nota importante: la ley de la contradicción y la del tercero excluido no se cumplen para conjuntos difusos. De esta forma: A A A A X Conjuntos difusos

16 16 Ejercicio para realizar en clase: - Verificar las propiedades con dos conjuntos difusos. - Verificar que se cumplen las leyes de Morgan. - Qué pasa con la propiedad de del tercero excluido y de la contradicción. Conjuntos difusos

17 17 Variables lingüísticas: Son variables cuyos valores son palabras o frases de un lenguaje natural Ejemplo: la variable voltaje puede ser descom- puesta en varios términos lingüísticos : T(voltaje)= {muy alto, alto, medio, bajo, muy bajo} Nota: Cada término es caracterizado por un conjunto difuso dentro de un conjunto universo de los posibles valores del voltaje. Variables lingüísticas

18 18 Continuación del ejemplo:. Si el voltaje es entre 0 y voltios, los conjuntos asociados a los términos se definen dentro del conjunto universo U= [0,100 Kv] voltaje (KV) Muy bajo bajo medio alto muy alto 1 Variables lingüísticas

19 19 Variables lingüísticas: Una variable lingüística está caracterizada por una quintumpla (x,T(x),X,G,M) en el cual: x: es el nombre de la variable lingüística. T(x) es el conjunto de términos lingüísticos o valores lingüísticos. X es el conjunto universo. G es una regla sintáctica por la cual se generan los términos lingüísticos en T(x). M es una regla semántica la cual asociada con cada término lingüístico A su significado M(A) donde M(A) denota un conjunto difuso en X Variables lingüísticas

20 20 Ejemplo: sea la variable lingüística edad. Podemos definir un conjunto de términos: T(edad) = { joven, muy joven, no muy joven,..... Viejo, no viejo, muy viejo, } Cada término en T(edad) es caracterizado por un conjunto difuso en el universo [0,120] La regla sintáctica se refiere a la forma en que los valores lingüísticos, en el conjunto de términos, son generados. La regla semántica define la función de pertenencia de cada valor lingüístico del conjunto de términos. Variables lingüísticas

21 21 El concepto de relación difusa es similar al de la matemática clásica. La diferencia radica en el grado de pertenencia Asociado a cada elemento de la relación. Relación Clásica Relación Difusa abcabc A R B R = (a,3),(b,2),(c,1)} abcabc A R B R = 0.9/(a,3),1/(b,2),0.8/(c,1)} Relaciones difusas

22 22 Relaciones difusas Sean dos conjuntos universales U y W. Una relación R(U,W) es un conjunto difuso definido en el producto cartesiano UxW. Una relación R es caracterizada por su función de pertenencia μ R (u,w) donde u U y w W R(U,W) = { ((u,w),μ R (u,w)), / u U y w W} con μ R (u,w) [0,1] Relaciones difusas

23 23 Operaciones entre relaciones: la composición Caso clásico: Composición Max-min de dos relaciones P(U,V) y Q(V,W) es definida por la función de pertenencia μ P o Q (u,w), : μ P o Q (u,w) = { (u,w), max v [min(μ P (u,v), μ Q (v,w) ] donde u U, v V y w W Composición Max-producto de dos relaciones P(U,V) y Q(V,W) es definida por la función de pertenencia μ P o Q (u,w), : μ P o Q (u,w) = { (u,w), max v [μ P (u,v). μ Q (v,w) ] donde u U, v V y w W Relaciones difusas

24 24 Ejercicio: Dadas dos relaciones P(U,V) y Q(V,W) calcular : P(u,v) o Q(v,w), v 1 v 2 v 3 v 4 w 1 w 2 w 3 w 4 u v P (u,v) = u Q (v,w) = v u v v Calcular μ P o Q (u,z) Relaciones difusas

25 25 Relaciones difusas

26 26 Composición sup-star de dos relaciones difusas P(U,V) y Q(V,W) es definida por la función de pertenencia μ P o Q (u,w) [0,1] dada por: μ P o Q (u,w) = { (u,w), SUP v [μ P (u,v) * μ Q (v,w) ] donde u U, v V, w W, μ P (u,v) [0,1] y μ Q (v,w) [0,1] Donde SUP es el operador max y * es una T-norm, generalmente se usa el min o el producto. Relaciones difusas

27 27 μ P (u,v)μ Q (v,w) u U v V w W μ P o Q (u,w) PQ μ P (u,v)μ Q (v,w) u U v V w W μ P o Q o M (u,m) PQ μ M (w,m) M m M Operación de composición de forma gráfica Cuando son tres relaciones: Relaciones difusas

28 28 Caso especial: cuando la relación de partida es un conjunto difuso o sea que μ P (u,v) tiene la forma μ P (u), el resultado de la composi- ción con una relación μ Q (u,w) será: SUP u [μ P (u) * μ Q (u,w)] = μ PoQ (w) Observe en este caso que U = V. El resultado es un conjunto definido en W Relaciones difusas

29 29 Ejercicio: Dadas dos relaciones difusas P(u,v) y Q(v,w) calcular : P(u,v) o Q(v,w), v 1 v 2 v 3 v 4 w 1 w 2 w 3 u v P (u,v) = u Q (v,w) = v u v v Calcular μ P o Q (u,w) Relaciones difusas

30 30 Ejercicio: Dado el conjunto A definido en u y la relación P(U,V) calcular : A(u) o P(u,w), Si w 1 w 2 w 3 w 4 u P (u,w) = u A = { (u 1,0.5), (u 2,0.6),(u 3,0.7)} u Calcular μ A o P (w) Relaciones difusas

31 31 Relaciones difusas


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