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Problemas geométricos: Una visión sintética y analítica Alfonsa García López Universidad Politécnica de Madrid Dibujo técnico y matemáticas: una consideración.

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Presentación del tema: "Problemas geométricos: Una visión sintética y analítica Alfonsa García López Universidad Politécnica de Madrid Dibujo técnico y matemáticas: una consideración."— Transcripción de la presentación:

1 Problemas geométricos: Una visión sintética y analítica Alfonsa García López Universidad Politécnica de Madrid Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar Universidad Internacional Menéndez Pelayo Santander. Septiembre 2006

2 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Contenido Introducción Introducción El enfoque sintético-analítico El enfoque sintético-analítico Una caja de herramientas Una caja de herramientas Los triángulos Los triángulos Polígonos regulares Polígonos regulares Proyectos para el aula Proyectos para el aula Bibliografía Bibliografía

3 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Pintores y Matemáticas … Si tú, músico me dices que tan sólo las ciencias de la mente no son mecánicas, te replicaré que la pintura es de la mente, y que, así como la geometría y la música consideran proporciones de las cantidades continuas y la aritmética de las discontinuas, aquélla considera todas las cantidades continuas y cualidades de las proporciones, las sombras, la luz y las distancias según perspectivas. Leonardo da Vinci (Tratado de Pintura)

4 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Hablamos de geometría Estudio de las propiedades y medidas de las figuras en el plano y en el espacio. Estudio de las propiedades y medidas de las figuras en el plano y en el espacio. Herramienta para explicar la realidad. Herramienta para explicar la realidad. Íntima relación entre el razonamiento intuitivo y el método deductivo. Íntima relación entre el razonamiento intuitivo y el método deductivo. Métodos sintéticos. Métodos sintéticos. Métodos analíticos. Métodos analíticos.

5 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Realidad del aula: figuras y ecuaciones Dibujo técnico: Construcciones geométricas con regla y compás. Dibujo técnico: Construcciones geométricas con regla y compás. Software de dibujo y de geometría dinámica. Software de dibujo y de geometría dinámica. Matemáticas: Métodos de la geometría analítica. Matemáticas: Métodos de la geometría analítica. Software de cálculo simbólico. Software de cálculo simbólico. Búsqueda de conexiones. Búsqueda de conexiones.

6 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. El enfoque sintético analítico P=(x,y) verifica x 2 +y 2 =a 2 P=(x,y) verifica x 2 +y 2 =a 2 PA=(x+a,y) PA=(x+a,y) PB=(x-a,y) PB=(x-a,y) El p. escalar de los vectores PA y PB es x 2 - a 2 +y 2 =0 El p. escalar de los vectores PA y PB es x 2 - a 2 +y 2 =0 Arco capaz de 90º

7 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Pero si las cuentas y los dibujos se complican, viene bien un ayudante que haga las cuentas y los dibujos, que haga las cuentas y los dibujos, que nos ayude a experimentar, que nos ayude a experimentar, a elaborar conjeturas, a elaborar conjeturas, a demostrar resultados. a demostrar resultados.

8 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Un sistema de cálculo simbólico Tiene menos prestaciones gráficas que un programa de dibujo geométrico. Tiene menos prestaciones gráficas que un programa de dibujo geométrico. Pero permite trabajar simultáneamente con las ecuaciones y las figuras correspondientes. Pero permite trabajar simultáneamente con las ecuaciones y las figuras correspondientes. Permite definir funciones para usarlas con distintos datos. Permite definir funciones para usarlas con distintos datos. Permite abordar problemas desde el punto de vista sintético-analítico. Permite abordar problemas desde el punto de vista sintético-analítico.

9 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Operaciones básicas Las herramientas básicas del dibujo son la regla y el compás. Las operaciones básicas, trazar segmentos y circunferencias. Las herramientas básicas del dibujo son la regla y el compás. Las operaciones básicas, trazar segmentos y circunferencias. Estas dos operaciones se pueden hacer automáticamente con Derive y obtener ecuaciones y dibujos. Estas dos operaciones se pueden hacer automáticamente con Derive y obtener ecuaciones y dibujos. Pero además se pueden medir ángulos distancias y áreas. Pero además se pueden medir ángulos distancias y áreas. Se pueden hacer cálculos numéricos y simbólicos. Se pueden hacer cálculos numéricos y simbólicos. Ejemplo Ejemplo Ejemplo

10 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. La caja de herramientas Distancia(P,Q):=|P-Q| Distancia(P,Q):=|P-Q| Punto_medio(P,Q):=(P+Q)/2 Punto_medio(P,Q):=(P+Q)/2 Circunferencia(P,Q):=(x-P 1 ) 2 +(y-P 2 ) 2 =|P-Q| 2 Circunferencia(P,Q):=(x-P 1 ) 2 +(y-P 2 ) 2 =|P-Q| 2 Recta(P,Q):=(Q 1 -P 1 )(y-P 2 )=(Q 2 -P 2 )(x-P 1 ) Recta(P,Q):=(Q 1 -P 1 )(y-P 2 )=(Q 2 -P 2 )(x-P 1 ) Paralela(P,Q,R):=(Q 1 -P 1 )(y-R 2 )=(Q 2 -P 2 )(x-R 1 ) Paralela(P,Q,R):=(Q 1 -P 1 )(y-R 2 )=(Q 2 -P 2 )(x-R 1 ) Perpendicular(P,Q,R):=([x,y]-R) (Q-P)=0 Perpendicular(P,Q,R):=([x,y]-R) (Q-P)=0 Angulo(u,v):=acos(uv/|u| |v|) Angulo(u,v):=acos(uv/|u| |v|) area_triangulo(P,Q,R):= |det([[1,P 1,P 2 ],[1,Q 1,Q 2 ],[1,R 1,R 2 ]])| area_triangulo(P,Q,R):= |det([[1,P 1,P 2 ],[1,Q 1,Q 2 ],[1,R 1,R 2 ]])|

11 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Mediatriz de un segmento. VER VER

12 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Teorema de Vangnon Si en cuadrilátero convexo cualquiera, se unen los puntos medios en el orden dado la figura es un paralelogramo y su área es la mitad que la del cuadrilátero original. Si en cuadrilátero convexo cualquiera, se unen los puntos medios en el orden dado la figura es un paralelogramo y su área es la mitad que la del cuadrilátero original. Demostración Demostración Demostración

13 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. La divina proporción A TI, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro. Alberti

14 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Razón áurea La corrección de la construcción clásica se prueba con el teorema de Pitágoras (el segmento NM mide sqrt(5))/2). La corrección de la construcción clásica se prueba con el teorema de Pitágoras (el segmento NM mide sqrt(5))/2). En la práctica, conviene incluir en la caja de herramientas el segmento [A,A+(B-A)(1+sqrt(5))/2)] En la práctica, conviene incluir en la caja de herramientas el segmento [A,A+(B-A)(1+sqrt(5))/2)]

15 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Triángulos Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto (circuncentro). Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto (circuncentro). Las alturas también se cortan (ortocento). Las alturas también se cortan (ortocento). Las medianas también (baricentro). Las medianas también (baricentro).(baricentro). Las bisectrices en el incentro. Las bisectrices en el incentro. Las coordenadas de estos puntos se pueden obtener analíticamente. Las coordenadas de estos puntos se pueden obtener analíticamente.

16 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Experimento-Conjetura-Prueba Dibuja un triángulo con los vértices sobre la hipérbola y=1/x Dibuja un triángulo con los vértices sobre la hipérbola y=1/x Determina su ortocentro Determina su ortocentro Modifica el triángulo, haz una conjetura y pruébala. Modifica el triángulo, haz una conjetura y pruébala. Experimento

17 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Polígonos regulares

18 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. ¿Cuál de los dos pentágonos es regular? (construir) (construir) (construir)

19 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. La alternativa de los números complejos (ver función) ver funciónver función Se puede definir una función que determine los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia de radio r Se puede definir una función que determine los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia de radio r

20 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Proyectos para el aula Taller de matemáticas y dibujo con herramientas informáticas. Taller de matemáticas y dibujo con herramientas informáticas. Ejercicios compartidos o al menos desde la clase de matemáticas. Ejercicios compartidos o al menos desde la clase de matemáticas. Conocer otras experiencias. Conocer otras experiencias.

21 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. ¿Sabrías dibujar esta figura?

22 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Teorema de Napoleón

23 Santander, 2006Dibujo técnico y matemáticas. Algunas páginas interesantes : jarran2/ msadaall/geogebra/


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