Análisis Estadístico de Datos Climáticos Facultad de Ciencias – Facultad de Ingeniería 2009 M. Barreiro – M. Bidegain – A. Díaz Composites Regresión lineal.

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1 Análisis Estadístico de Datos Climáticos Facultad de Ciencias – Facultad de Ingeniería 2009 M. Barreiro – M. Bidegain – A. Díaz Composites Regresión lineal simple

2 Composites El método de composites consiste en clasificar los datos en categorías y comparar p. ej. los valores medios o anomalías de otras variables para las distintas categorías. Puede servir para identificar señales no muy fuertes que están ocultas debido a la existencia de ruido.

3 Composites Ejemplo 1: componemos anomalías de lluvias en el trimestre OND según anomalías simultáneas de TSM positivas (eventos cálidos) o negativas (eventos fríos) en N3.4 en 1980-2000.

4 Episodios cálidos y fríos en la región N3.4 (1980-2000) http://www.cpc.noaa.gov/products/analysis_monitoring/ensostuff/ensoyears.shtml

5 Composites Eventos cálidos (1982-86-87-91-94-97) Composites de lluvias

6 Composites Eventos fríos (1984-88-95-98-99) Composites de lluvias

7 Composites 4 regiones en Uruguay-Río Grande do Sul (21 + 17 pluviómetros en 1950-1998) OND Ejemplo 2: aplicación al prónóstico Región Niño 3.4 en el Océano Pacífico Jul-Ago anterior

8 Composites Climatología de precipitación en OND Subpoblación condicionada a (0.34 ºC < (Jul-Ago N3.4) < 1. 24 º C ) (situación similar a la de N3.4 en Jul-Ago 2004) Los resultados deben someterse a pruebas para determinar si son estadísticamente significativos Se hacen composites de precipitaciones en OND en cada región, condicionados por el índice N3.4 dos meses antes.

9 Regresión Wilks (Cap. 6) La regresión se usa para describir relaciones que involucran variables medidas en una escala continua. Para vincular variables aleatorias (ej., ancho de un anillo de árbol con la temperatura), o una variable aleatoria con uno o más factores externos no aleatorios (ej modelar trend con un polinomio). Se puede utilizar para la predicción cuando las variables a relacionar no son simultáneas.

10 Regresión lineal simple Estimación de los parámetros Distribución de los residuos Tabla ANOVA Bondad del ajuste Análisis de los residuos Distribución muestral de coeficientes de la regresión Intervalos de confianza de la predicción

11 Regresión lineal simple Cor = 0.93 x y Dados los pares de valores: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )….(x n, y n ) se busca ajustar una recta de ecuación n=58

12 x variable independiente o predictor y variable dependiente o predictando Pero no se debe suponer que necesariamente existe una relación de causalidad entre ambas variables Regresión lineal simple

13 Hay distintos criterios para estimar los parámetros. El más habitual es el método de mínimos cuadrados. (suma de errores cuadráticos) Se busca minimizar Estimación de los parámetros

14 Se plantea la anulación de las derivadas parciales respecto de obteniéndose las soluciones: En el ejemplo: ATENCIÓN: Existe asimetría entre x e y (si se invierten los roles, no se obtiene la misma recta!!) b = r xy σ Y /σ X Estimación de los parámetros

15 En Matlab: A=[ones(58,1) n34set5007']; Y=n34nov5007'; ab=A\Y ab = 0.0894 1.2563

16 Distribución de los residuos Supondremos que los residuos (o errores) e i son independientes e idénticamente distribuidos (iid) con media 0 y varianza σ ( igual para todos los e i ). Además se suele suponer que los residuos siguen una distribución gaussiana. En general, cuantas más hipótesis se hagan, más ricas serán las conclusiones estadísticas que podremos extraer, pero más limitada será la aplicabilidad del modelo. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra (n), más se atenúa la eventual no gaussianidad.

17 Distribución de los residuos La suposición de varianza constante implica que la distribución condicionada a x constante, no depende de x.

18 Estimación de la varianza de los residuos En el ejemplo: pero Distribución de los residuos

19 suma de cuadrados total suma de cuadrados dada por la regresión (es bueno que se acerque a SST) suma de cuadrados de los residuos Se cumple: SST = SSR + SSE En el ejemplo anterior: SST = 72.47 (ºC) 2 SSR = 62.49 (ºC) 2 SSE = 9.98 (ºC) 2

20 Tabla ANOVA F=MSR/MSE MSE=s e 2 SSEn-2Residuos MSR=SSR/1SSR1Regresión SSTn- 1Total Media cuadrática Suma de cuadrados Grados de libertad (ANOVA = Análisis de varianza)

21 Tabla ANOVA F=MSR/MSE = 347.2 MSE=s e 2 =0.18SSE=9.9856Residuos MSR=SSR/1= 62.49 SSR=62.491Regresión SST=72.4757Total Media cuadrática Suma de cuadrados Grados de libertad Para el ejemplo:

22 1) (da un promedio de la exactitud del ajuste; lo ideal sería MSE=0) Bondad del ajuste Hay 3 indicadores usuales para la bondad de ajuste: 2) Coeficiente de determinación: en el peor caso vale 0, en el mejor, vale 1. 3) El estadístico F=MSR/MSE (es mayor cuanto mejor es el ajuste) En el ejemploR 2 = 0.86

23 En general, cuanto más cercano a 0 esté el coeficiente angular b, menos información aporta la regresión lineal o, de otra forma, más débil es la relación entre x e y. Bondad del ajuste

24 Análisis de los residuos

25 Análisis de los residuos (para el ejemplo) OK

26 Distribución muestral de coeficientes de la regresión Los estimadores de a y b son insesgados y, en las hipótesis hechas, sus distribuciones son gaussianas, siendo sus desviaciones estándar respectivas: y Sin embargo, como s e es una estimación, para las pruebas de hipótesis hay que usar la distribución t de Student con n-2 grados de libertad.

27 Distribución muestral de coeficientes de la regresión Por ejemplo, para hacer una prueba en que la hipótesis nula sea H 0 : b = 0, contra la hipótesis H 1 : b 0, observamos que el estadístico en la hipótesis nula sigue una distribución t de Student con n-2 grados de libertad. En nuestro ejemplo, obtenemos: t = 18.7, que, con 56 grados de libertad,,es muy significativa (a menos del 0.1%), por lo que se rechaza la hipótesis nula. No hay que olvidar que los datos pueden no ser independientes

28 Puede interesar hallar intervalos de confianza para siendo x 0 un valor cualquiera, independiente de los utilizados para construir el modelo. Intervalos de confianza de la predicción Debido a la incertidumbre en la estimación de y de b, la varianza es mayor que s e 2 :

29 Intervalos de confianza de la predicción No son rectas!