BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Con.

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1 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Con el objetivo de iniciar al alumno en la utilización de la herramienta interactiva, en esta presentación se muestra (de forma animada) cómo se usaría para llevar a cabo la resolución gráfica de un PROBLEMA CON REGIÓN FACTIBLE ACOTADA Y ÓPTIMOS ALTERNATIVOS. Recordamos que la herramienta interactiva parte de un diagrama de árbol, en el que los diferentes nodos plantean al alumno una tarea que debe realizar y, a continuación, una pregunta a la que debe contestar en función de los resultados de la tarea realizada. La elección de cada una de las posibles respuestas resalta las ramas del diagrama de árbol correspondiente a la respuesta elegida y encamina al alumno hacia una nueva tarea y posterior pregunta. De esta manera, al completar todos los pasos planteados, el alumno llega finalmente a la solución del problema que quiere resolver. AVISO : Para su correcta visualización es necesario tener instalada la opción Microsoft Editor de ecuaciones de Microsoft Office. Las presentaciones avanzan con sucesivos clicks de ratón y/o pulsando los eventuales botones (no deben usarse los cursores ni la rueda del ratón).

2 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO SI NO SI Solución acotada NO Solución acotada SI NO BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

3 Región -x 1 +x 2 2 El punto (0,0) pertenece ya que 0 + 0 = 0 2 Recta r 1 : -x 1 +x 2 =2 Corte con el eje x 1 x 2 =0 x 1 =-2 Corte con el eje x 2 x 1 =0 x 2 =2 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 Representación de la región factible (-2,0) r1r1 (0,2) BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

4 Región x 1 +2x 2 6 El punto (0,0) pertenece ya que 0+2 0 = 0 6 Recta r 2 : x 1 +2x 2 =6 Corte con el eje x 1 x 2 =0 x 1 =6 Corte con el eje x 2 x 1 =0 x 2 =3 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 (6,0) (0,3) (0,2) (-2,0) r2r2 r1r1 Representación de la región factible BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

5 Región 2x 1 +x 2 6 El punto (0,0) pertenece ya que 2 0 + 0 = 0 6 Recta r 3 : 2x 1 +x 2 =6 Corte con el eje x 1 x 2 =0 x 1 =3 Corte con el eje x 2 x 1 =0 x 2 =6 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 (0,6) (6,0) (0,3) (0,2) (-2,0) (3,0) r3r3 r2r2 r1r1 Representación de la región factible BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

6 (0,6) r1r1 (6,0) (0,3) (0,2) (-2,0) (3,0) Región factible r3r3 r2r2 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 Representación de la región factible BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

7 SI NO SI NO SI Solución acotada NO Solución acotada SI NO Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

8 NO SI NO SI Solución acotada NO Solución acotada SI NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

9 NO SI NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO Solución acotada SI Solución acotada NO BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

10 Representación de puntos extremos candidatos a solución óptima Puntos extremos de la región factible Intersección de r 1 y r 2 r 1 : -x 1 +x 2 =2 r 2 : x 1 +2x 2 =6 (2/3, 8/3) (0,0) (0,2) (0,6) r1r1 (6,0) (0,3) (0,2) (-2,0) (3,0) Región factible r3r3 r2r2 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 Intersección de r 2 y r 3 r 2 : x 1 +2x 2 =6 r 3 : 2x 1 +x 2 =6 (2, 2) (3,0) (0,0) (2,2) (2/3,8/3) BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

11 NO SI NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO Solución acotada SI Solución acotada NO BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

12 Puntos extremos de la región factible Intersección de r 1 y r 2 r 1 : -x 1 +x 2 =2 r 2 : x 1 +2x 2 =6 (2/3, 8/3) (0,0) (0,2) (0,6) r1r1 (6,0) (0,3) (0,2) (-2,0) (3,0) Región factible r3r3 r2r2 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 Intersección de r 2 y r 3 r 2 : x 1 +2x 2 =6 r 3 : 2x 1 +x 2 =6 (2, 2) (3,0) (0,0) (2,2) Z=2 Z=6 Z=4 Evaluación de la función objetivo en los puntos extremos Z=0 Z=6 (2/3,8/3) BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

13 NO SI NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO Solución acotada SI Solución acotada NO BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

14 NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO Solución acotada SI Solución acotada NO SI x 1 =2, x 2 =2 Z=6 x 1 =3, x 2 =0 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

15 NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO Solución acotada SI Solución acotada NO SI x 1 =2, x 2 =2 Z=6 x 1 =3, x 2 =0 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

16 (0,6) r1r1 (6,0) (0,3) (0,2) (-2,0) (3,0) Región factible r3r3 r2r2 Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 (0,0) (2,2) (2/3,8/3) Análisis de cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Dirección de máxima optimización: Notemos que el vector (2,1) es el gradiente de la función objetivo, que da la dirección de crecimiento más rápido. Al ser un problema de maximización, la dirección de máxima optimización coincide con este gradiente. Vector (2,1) Curvas de nivel: aquellas generadas fijando el valor de la función objetivo Perpendiculares a la dirección de máxima optimización Representación de una curva de nivel 2x 1 +x 2 = z BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

17 NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO Solución acotada SI Solución acotada NO SI BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

18 NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO Solución acotada SI Solución acotada NO SI x 1 =2, x 2 =2 Z=6 x 1 =3, x 2 =0 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

19 NO SI Máx Z=2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 1 +2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 SI NO Solución acotada SI Solución acotada NO SI x 1 =2, x 2 =2 Z=6 x 1 =3, x 2 =0 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román