BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Con.

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1 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Con el objetivo de iniciar al alumno en la utilización de la herramienta interactiva, en esta presentación se muestra (de forma animada) cómo se usaría para llevar a cabo la resolución gráfica de un PROBLEMA CON REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA Y SOLUCIÓN ÚNICA. Recordamos que la herramienta interactiva parte de un diagrama de árbol, en el que los diferentes nodos plantean al alumno una tarea que debe realizar y, a continuación, una pregunta a la que debe contestar en función de los resultados de la tarea realizada. La elección de cada una de las posibles respuestas resalta las ramas del diagrama de árbol correspondiente a la respuesta elegida y encamina al alumno hacia una nueva tarea y posterior pregunta. De esta manera, al completar todos los pasos planteados, el alumno llega finalmente a la solución del problema que quiere resolver. AVISO : Para su correcta visualización es necesario tener instalada la opción Microsoft Editor de ecuaciones de Microsoft Office. Las presentaciones avanzan con sucesivos clicks de ratón y/o pulsando los eventuales botones (no deben usarse los cursores ni la rueda del ratón).

2 SI NO SI NO SI Solución acotada NO Solución acotada SI NO Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

3 Región -x 1 + x 2 2 El punto (0,0) pertenece ya que 0 + 0 = 0 2 (0,2) (-2,0) Recta r 1 : -x 1 + x 2 =2 Corte con el eje x 1 x 2 =0 x 1 =-2 Corte con el eje x 2 x 1 =0 x 2 =2 Representación de la región factible Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 r1r1 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

4 Recta r 2 : x 2 =4 Corte con el eje x 2 x 1 =0 x 2 =4 Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 Región x 2 4 El punto (0,0) pertenece ya que 0 4 (0,2) (-2,0) r1r1 (0,4) r2r2 Representación de la región factible BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

5 Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 (0,2) (-2,0) r1r1 r2r2 Representación de la región factible (0,4) BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

6 Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 (0,2) (-2,0) r1r1 r2r2 Región factible Representación de la región factible (0,4) BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

7 SI NO SI NO SI Solución acotada NO Solución acotada SI NO Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

8 Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 NO SI NO SI Solución acotada NO Solución acotada SI NO SI BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

9 NO SI NO Solución acotada SI NO Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

10 Representación de una curva de nivel de la función objetivo y dirección de máxima optimización Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 (0,2) (-2,0) r1r1 r2r2 Región factible -2x 1 +x 2 = z Dirección de máxima optimización: (0,4) Notemos que el vector (-2,1) es el gradiente de la función objetivo, que da la dirección de crecimiento más rápido. Al ser un problema de maximización, la dirección de máxima optimización coincide con este gradiente. Vector (-2,1) Curvas de nivel: aquellas generadas fijando el valor de la función objetivo Perpendiculares a la dirección de máxima optimización BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

11 NO SI NO Solución acotada SI NO Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

12 NO Solución acotada SI NO Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

13 (0,0) Representación de puntos extremos candidatos a solución óptima Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 (0,2) (-2,0) r1r1 r2r2 Región factible -2x 1 +x 2 = z (0,4) Puntos extremos de la región factible a la izquierda de la curva de nivel considerada Intersección de r 1 y r 2 r 1 : -x 1 + x 2 =2 r 2 : x 2 =4 (2, 4) (0,0) (0,2) BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

14 NO Solución acotada SI NO Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

15 (0,0) Evaluación de la función objetivo en los puntos extremos Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 (0,2) (-2,0) r1r1 r2r2 Región factible -2x 1 +x 2 = z (0,4) Puntos extremos de la región factible a la izquierda de la curva de nivel considerada (2,4) Z=0 Z=2 Z=0 Intersección de r 1 y r 2 r 1 : -x 1 + x 2 =2 r 2 : x 2 =4 (2, 4) (0,0) (0,2) BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

16 NO Solución acotada SI NO Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

17 NO Solución acotada SI Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI NO X 1 =0 X 2 =2 Z=2 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

18 NO Solución acotada SI Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI NO X 1 =0 X 2 =2 Z=2 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

19 (0,0) Análisis de cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 (0,2) (-2,0) r1r1 r2r2 Región factible -2x 1 +x 2 = z (0,4) (2,4) Dirección de máxima optimización: Notemos que el vector (-2,1) es el gradiente de la función objetivo, que da la dirección de crecimiento más rápido. Al ser un problema de maximización, la dirección de máxima optimización coincide con este gradiente. Vector (-2,1) Curvas de nivel: aquellas generadas fijando el valor de la función objetivo Perpendiculares a la dirección de máxima optimización BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

20 NO Solución acotada SI NO Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

21 NO Solución acotada SI Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI NO SI X 1 =0 X 2 =2 Z=2 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

22 NO Solución acotada SI Máx Z= -2x 1 +x 2 s. a. -x 1 +x 2 2 x 2 4 x 1, x 2 0 SI Solución acotada SI NO SI X 1 =0 X 2 =2 Z=2 BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román