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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE CARRERA: INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS III SEMESTRE ASIGNATURA: MATEMATICAS.

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE CARRERA: INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS III SEMESTRE ASIGNATURA: MATEMATICAS IV (ALGEBRA LINEAL) UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES PROF: ING. GOMEZ KU RICARDO ALUMNO: REYNA CANDELARIA CERVERA ALVARADO SAYLI IVONNE ORDOÑEZ COLLI ISMAEL MAY CANUL CARLOS HUMBERTO PEREA QUEN KIMBERLY BEATRIZ KANTUN CAUICH FREDDY MANUEL KU ZI LIZULY MAGALY SALAYANDIA PERERA CALKINI CAMPECHE

2 E SPACIOS VECTORIALES La definición de espacio vectorial involucra un cuerpo arbitrario cuyos elementos se denominan escalares. Se utiliza la siguiente notación. K El cuerpo de escalares ɑ, b, c ó k Los elementos de K V El espacio vectorial dado u, v, w Los elementos de V.

3 Definición: Sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vacío, con reglas de suma y producto por un escalar que asignan a cada par u, vV una suma u+vV y a cada par uV, kK un producto KuV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K ( y los elementos de V se llaman vectores) y se satisfacen los siguientes axiomas.

4 [ A1 ] para toda terna de vectores u, v wV, ( u+v) + u + ( u +w ). [ A2 ] existe un vector en V, denotado por 0 denominado el vector cero, tal que u + 0= u para todo vector u V. [ A3 ] para todo vector u V existe un único vector en V, denotado por - u, tal que u+ (-u)=0. [ A4 ] para todo par de vectores u, u V, u+v=v+u.

5 [M1] para todo escalar kK y todo par de vectores u,vV, k (u+v)=ku+kv. [M2 ]para todo escalar ɑ, bK y todo vector uV, ( ɑ +b )u= ɑ u + bu. [M3 ]para todo par de escalares ɑ, bK y todo vector uV, ( ɑ b)u= ɑ (bu). [M4 ]el escalar unidad 1K cumple 1u=u para todo vector uV.

6 Los axiomas procedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello.se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v 1 + v v m v 1 + v v m no requiere paréntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector 0, es unico, que el opuesto -u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wV. U + w = v + w implica u = v U + w = v + w implica u = v

7 Asimismo, la resta se define según u – v = u + (-v) u – v = u + (-v) Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la acción del cuerpo K sobre V. Obsérvese que la rotulación de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes Propiedades elementales de un espacio vectorial.

8 Teorema 5.1 : sea V u espacio vectorial sobre un cuerpo K. i) para todo escalar kK y 0V, K0= 0. ii) para 0K y todo vector uV, 0u= 0. iii) si ku=0 donde kK y uV, entonces k = 0 o u = 0. iv) para todo kK y todo uV, (-k)u = k(-u) = - ku.

9 EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO K n Sea K un cuerpo arbitrario. La notación K n se usa frecuentemente para designar el conjunto de todas las n-plas de elementos de K. Aquí K n se ve como un espacio vectorial sobre K, en el que la suma vectorial y el producto por un escalar se define según:

10 ( ɑ 1 ɑ 2,..., ɑ n ) + (b 1 b 2,..., b n ) = ( ɑ 1 + b 1, ɑ 2 + b 2,..., ɑ n + b n ) y ( ɑ 1 ɑ 2,..., ɑ n ) + (b 1 b 2,..., b n ) = ( ɑ 1 + b 1, ɑ 2 + b 2,..., ɑ n + b n ) y k ( ɑ 1, ɑ 2,..., ɑ n ) = (k ɑ 1,k ɑ 2,...,k ɑ n ) k ( ɑ 1, ɑ 2,..., ɑ n ) = (k ɑ 1,k ɑ 2,...,k ɑ n ) el vector cero en K n es la n-plas de ceros 0 = (0,...,0) y el opuesto de un vector se define por -( ɑ 1 ɑ 2,..., ɑ n ) = (- ɑ 1 - ɑ 2,..., - ɑ n ) La demostración de que K n es un espacio vectorial es idéntica al teorema 2.1, que ahora puede considerarse como la afirmación de que R n, con la operaciones ahí definidas, es un espacio vectorial sobre R.

11 ESPACIO DE MATRICES M M, N. La notación M m, n, o simplemente M, se utilizara para designar el conjunto de todas las matrices m*n sobre un cuerpo arbitrario K.M m, n., es un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones usuales de suma matricial y producto por un escalar.

12 ESPACIO DE POLINOMIOS P( T ) ESPACIO DE POLINOMIOS P( T ) Denotamos por P(t) el conjunto de todos los polinomios ɑ 0 + ɑ 1 t+ ɑ 2, t ɑ n, t n con coeficientes ai en algún cuerpo k. P(t) es un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones usuales de suma de polinomios producto de un polinomio por una constante.

13 ESPACIO DE FUNCIONES F(X) Sean X un conjunto no vacío y K un cuerpo arbitrario. Consideremos el conjunto F(X) de todas las funciones de X en K.( nótese que F(X) es no vacío por serlo X). la suma de dos funciones f,gF(X) es la función f+gF(X) definida por: (f + g)(x) = f(x) + g(x) xX y el producto de un escalar kK por una función fF(X) es la función kfF(X) definida por: (kf)(x)= kf(x) xX

14 (S UBESPACIO DE R N ) Un subconjunto V no vacio de R n se llama subespacio (vectorial o lineal) de R n si satisface la siguiente propiedades. 1.- si U Y V, entonces U+V están V. 2.-si C es cualquier escalar y U esta en V, entonces CU esta en V.

15 Las propiedades 1 y 2 implican que cualquier combinación lineal de elementos de V también están V. si un conjunto S no vacio de R n satisface la parte 1 la definición, se dice que S es cerrado bajo (o respecto a) a la suma (vectorial). Si S cumple la parte 2, se dice que S es cerrado bajo (o respecto a) a la multiplicación por escalares. Así, un subespacio de R n es un subconjunto cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicación por escalares. Todo subespacio V de R n contiene el sector cero. 0 (V es un no vacio, de modo que tiene al menos un elemento, por ejemplo u. pero entonces 0u=0 esta en V, según la parte 2 de la definición).

16 EJEMPLO: 1 {0 } Y R n. son subespacio de R n EXPLICACION {0 } es un subespacio de R n por que 0+0=0 y c0=o para toda c Є R R n Es un subespacio de R n por que la suma de los vectores n cualesquiera es un vector n, y cualquier múltiplo escalar de un vector n es nuevo vector de n. {0 } también se llama subespacio cero de R n. {0 } y R n. son subespacios triviales de R n.

17

18 EJEMPLO 3 V= {(x,y,x+y),x,y Є R} es un subespacio de R 3. EXPLICACION: V es un no vacio (¿Por qué? Sean V1= (x1,y1,x1+y1) y V2= (x2,y2,x2+y2) cualesquiera elemento de V y sea cualquier escalar entonces (x1,y1,,x1+y1)+(x2,y2,x2+y2)=(x1+x2,y1+y2,(x1+x2)+(y1+y2) C(x1,y1,x1+y1)= (cx1,cy1,(cx1)+(cy1) Por consiguiente, V1+V2,cV1 Є V. entonces, V es un subespacio de R 3.

19 B ASE DE UN SUBESPACIO DE RN ( (BASE) Un subconjunto no vacio B de un espacio V no cero de R n es una base de V si 1.-B es linealmente independiente 2.-B genera a V

20 EJEMPLO 6 compruebe que B={,, } Es una base de R 3 SOLUCION primero es necesario demostrar que B es linealmente independiente que genera R 3. Sea A la matriz cuyas columnas son los vectores de B como A= ~

21 EJEMPLO 7 ¿ es el conjunto S={(1,0,0),(0,1,0)} ¿ Es S una base del subespacio V= {(x,y,,0),x,y Є R} de R 3 RESPUESTA S es linealmente independiente, por que todas las columnas de A = son pivote. S no es una base de R 3 por que A tiene 3 renglones y solo 2 pivotes, de modo que S no genera a R3. Por otra parte, S genera al menor espacio V por que (X, Y, 0)=X (1, 0,0)+Y (0, 1,0) Por consiguiente, S si es una base de V.

22 EJEMPLO 8 ¿Es el subconjunto T= {(1,1,1),(2,1,-1),(1,0,-2) } una base de R 3 RESPUESTAS No, puesto que [ ][ ] T no es linealmente independiente (3 columnas y solo 2 pivotes). En realidad T ni siquiera genera a R 3 (3 renglones, solo 2 pivotes)

23 U NICIDAD DE COORDENADAS UN SUBCONJUNTO B={ V1….V2} de V es una base de V si y solo si para cada vector v en v hay escalares únicos c1….c k tales que V= C1V1+….+C K V K

24 EJEMPLO 9 Determine las coordenadas y el vector de coordenadas de v= (4,0,-4) con respecto a la base B = {(1,1,-1),(0,1,2),(-2,1,0) }de R 3 SOLUCION El hecho de que B sea de R 3 se verifica en el ejemplo. Ahora se necesita escalares c1, c2 y c3 tales que c1 +C2 +C3 = al resolver el sistema correspondiente se obtienen c1= 2, c2= y c3= -1. Por consiguiente [v]

25 INDEPENDENCIA LINEAL Se dice que un conjunto de vectores v 1,…,v n de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si hay escalares c 1,…,c n, no todos cero, tales que Se dice que v 1,…,v n es linealmente independientes si no es linealmente dependiente. En otras palabras, la ecuación (4.1) implica que. Si S es cualquier subconjunto de V (posiblemente infinito), solo lo llamaremos linealmente dependiente cuando contenga un subconjunto finito linealmente dependiente. En cualquier otro caso, S es linealmente independiente

26 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. se dice que los vectores son linealmente dependientes sobre K, o simplemente dependientes, si existen escalares, no todos 0, tales que En caso contrario se dice que los vectores son linealmente independientes sobre K, o simplemente independientes. Observemos que la relación (*) se verifica siempre si los a1 son todos 0. Si la relación solo se verifica en este caso, es decir, Implica

27 COMBINACIONES LINEALES Y DEPENDENCIA LINEAL Las nociones de combinación lineal y dependencia lineal están estrechamente relacionadas. De forma específica, demostraremos que los vectores, cuando hay más de uno, son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es la combinación lineal de los otros: Entonces sumando –vi a ambos miembros, obtenemos Donde el coeficiente de vi no es 0; por consiguiente, los vectores son linealmente dependientes. Recíprocamente, supongamos que los vectores son linealmente dependientes, digamos.

28 La dimensión (del latín dimensio, "medida") es, esencialmente, el número de grados de libertad para realizar un movimiento en el espacio. Comúnmente, las dimensiones de un objeto son las medidas que definen su forma y tamaño

29 Comenzando estableciendo dos caminos equivalentes para definir una base de un espacio vectorial V. Definición A : si un conjunto S= u1, u2 …un de vectores es una base de V si se verificaran las dos condiciones: 1.- u1, u2 …un son linealmente independientes 2.- u1, u2 …un generan V

30 D EFINICIÓN B: Un con junto S= u1, u2 …un de dos vectores es una base de V si todo vector v V puede escribirse de forma única como combinación lineal de sus vectores. Se dice que un espacio vectorial es de dimensión finita n o que es n-dimensional, escrito Dim V=n

31 T EOREMA 1.- Sea un vector espacio vectorial de dimensiones finito. Entonces todas la bases de V tienen el mismo número de elementos. El espacio vectorial 0 tiene dimensiones 0, por definición. Cuando un espacio vectorial no es de dimensión finita, se dice que es de dimensión infinita.

32 Lema: supongamos que v1, v2,…vn que genera V y que w1, w2 …wm es linealmente independiente. En ese caso, m n y V esta generado por un conjunto de la forma w1, w2 …wm, v1, v2,…vn-,m

33 T EOREMA 2.- SUPONGAMOS QUE S GENERA UN ESPACIO VECTORIAL V cualquier numero máximo de vectores linealmente independiente s en S es una base de V si se suprime de S todo vector que sea combinación lineal de los precendentes, los vectores que quedan constituyen una base de V

34 T EOREMA 3.- sean V un espacio vectorial de dimensión finita y S= u1, u2 …un un conjunto de vectores linealmente independientes en V. En ese caso, S es parte de una base de V, es decir exteb¡nderse a una base de V

35 T EOREMA 4.- sea W un subespacio de un espacio n-dimensional V. entonces dim W n. si en particular, dim W= n, necesariamente W=V

36 4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

37 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES Sea V un espacio vectorial real. Supongamos que a cada par de vectores u, uЄ V se le asigna un numero real, denotado por.

38 esta función se llama producto interno(real) en V si satisface las axiomas: [I 1 ](propiedad lineal) =a +b. [I 2 ] propiedad simétrica = [I 3 ]propiedad definida positiva si y solo si u= 0

39 El espacio vectorial V se denomina entonces espacio (real)con producto interno. El axioma [I1] es equivalente a las dos condiciones: A) B)

40 EJEMPLOS 1) Si u=(3,-2), v=(4,5).Calcular 2) Si u=(4,-3), v=(5,6).Calcular

41 ORTOGONALIDAD Sea V un espacio con producto interno, se dice que los vectores u,v V son ortogonales y que u es ortogonal a v si La relación es claramente simétrica, es decir si u es ortogonal a v necesariamente y por lo tanto v es ortogonal a u. Hacemos notar que 0 es ortogonal a todo ya que

42 Recíprocamente si u es ortogonal a todo, entonces, luego por observemos que son ortogonales si y solo si,siendo Ѳ el ángulo entre,lo que es cierto si y solo si son perpendiculares esto es si Ѳ ). EJEMPLO 6.5 Consideremos un vector arbitrario en R´´. Un vector es ortogonal a u si

43 COMPLEMENTOS ORTOGONALES Sea S un subconjunto de un espacio con producto interno v. El complemento ortogonal de S, denotado por S (leído S perp), consiste en aquellos vectores de V que son ortogonales a todo vector En particular, para un vector dado u en V, tendremos

44 Es decir, u consiste en todos los vectores que son ortogonales al vector dado u. Probemos que S es un sub espacio de V. Obviamente, Puesto que 0 es ortogonal a todo vector V. Supongamos ahora que En tal caso, para todo par de escalares a y b y todo vector De este modo, Establezcamos formalmente este resultado.

45 Sea v un vector en el espacio vectorial V de dimensiones finitas, y sean dos bases. A continuación definiremos una relación entre. Como B, es una base, los elementos de B son combinaciones lineales de los elementos de B, Entonces hay escalares tales que P es la matriz cuyo elemento (i,j) es a ij

46 Sean dos bases de un espacio vectorial de dimensión finita. Sea P la matriz n x n cuyas columnas son Entonces P es invertible y esta es la única matriz en la que para todo,

47 En este párrafo describiremos un método muy importante, llamado proceso de Gram-Schmidt, que nos permite ortogonalizar cualquier base B de cualquier subespacio V de R; es decir, transformar a esta en una nueva base de V que tenga vectores ortogonales. Sea V cualquier subespacio de R y cualquier base de V.se desea reemplazar en forma en forma gradual a los vectores por los vectores que sean ortogonales y que sigan formando una base V. primero, reemplazamos el conjunto por un conjunto ortogonal tal que Gen =Gen.

48 Ejercicio Determine una base ortonormal y una ortonormal de R 3 aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la base, en el cual Solución: sea u1=v1. Como en ese caso

49 Ya que entonces Así la base ortogonal es

50 Por ultimo, normalizamos para obtener una base ortonormal B:


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