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Subtema 1.2.3.. Componentes rectangulares de una fuerza en el plano.

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Presentación del tema: "Subtema 1.2.3.. Componentes rectangulares de una fuerza en el plano."— Transcripción de la presentación:

1 Subtema Componentes rectangulares de una fuerza en el plano.

2 Las componentes rectangulares de una fuerza en el plano, las utilizamos en el subtema anterior de cálculo de la resultante de un sistema de vectores y vimos que las ecuaciones a utilizar son: Fx = F cos θFy = F sen θ. A continuación se mostrarán 4 problemas de utilización de estas dos ecuaciones, con magnitudes vectoriales en los 4 cuadrantes del plano cartesiano, tomando el cuenta los signos de las X y las Y en dichos cuadrantes.

3 1.- Hallar las componentes rectangulares de una fuerza de 30 Newtons, situado a 40° del eje X en el primer cuadrante como se ve en la figura siguiente:

4 Y X 30 N Θ= 40°

5 Empleando las ecuaciones: Fx = F cos θFy = F sen θ. tenemos: Fx = 30 N x cos 40° Fx = 30 N x = N. Fy = 30 N x sen 40° Fy = 30 N x = N. Las dos componentes X y Y dan resultados positivos, puesto que el vector se encuentra en el primer cuadrante.

6 2.- Encuentre las componentes rectangulares de una velocidad de un automóvil de 120 km/h que se dirige a 60° al Noroeste.

7 N S EO V = 120 km/h Θ= 60°

8 Vx = V cos θ Vy = V sen θ Vx = -120 km/h x cos 60° Vx = km/h x 0.5 = - 60 km/h. Vy = 120 km/h x sen 60° Vy = 120 km/h x = km/h. La componente X, nos da una cantidad negativa, puesto que el vector velocidad se encuentra en el segundo cuadrante y la componente Y, nos da una cantidad positiva.

9 3.- Hallar las componentes rectangulares de un ferrocarril que lleva una velocidad de 90 millas/h si se dirige al suroeste a 70°.

10 N S E O V = 90 mill/h Θ= 70°

11 Vx = - 90 millas/h x cos 70°. Vx = - 90 millas/h x = millas/h. Vy = - 90 millas/h x sen 70° Vy = - 90 millas/h x = millas/h. En este caso ambas componentes X y Y, dieron cantidades negativas, puesto que el vector velocidad se encuentra en el tercer cuadrante.

12 4.- Hallar las componentes rectangulares de un vector desplazamiento de 60 km, a 45° al sureste.

13 N S EO 60 km Θ = 45°

14 dx = d cos θ dy = d sen θ. dx = 60 km x cos 45° dx = 60 km x = km. dy = - 60 km x sen 45° dy = - 60 km x = km. En este caso la componente X, nos da una cantidad positiva, y la componentes Y, una cantidad negativa, puesto que el vector desplazamiento se encuentra en el cuarto cuadrante.

15 Cálculo de la fuerza o vector resultante, a partir de una de las componentes y el ángulo. El vector resultante, se puede obtener, al conocer el valor de una de sus componentes rectangulares, Fx ó Fy, y el valor del ángulo con el cual se aplica, como se observa en los siguientes ejemplos. Esto se logra al despejar F, a partir de las ecuaciones vistas al principio del subtema: Fx = F cos θFy = F sen θ.

16 1.- Calcular la fuerza resultante, cuya componente Fx = 80 N, si se aplica con un ángulo de 40°. Fx = F cos θ. Despejando F, tenemos: F = Fx = F = 80 N cos θ cos 40° F = 80 N = Newtons

17 2.- Calcular el desplazamiento resultante, cuyo componente en y dy = 50 km si se aplica con un ángulo de 60°. dy = d sen θ. Despejando d, tenemos: d = dy sen θ d = 50 km = 50 km = 57.7 km. sen 60°

18 3.- Encontrar la velocidad resultante de un automóvil, que se desplaza 30° al Noreste, si su componente en X, Vx =100 km/h. Vx = V cos θ. Despejando V, tenemos: V = Vx = F = 100 km/h cos θ cos 30° F = 100 km/h= km/h

19 4. Encontrar la resultante de una fuerza, cuya componente en y Fy = 90 lbf, si se aplica con un ángulo de 70°. Fy = F sen θ. Despejando F, tenemos: F = Fy sen θ d = 90 lbf = 90 lbf = lbf. sen 70°

20 Resultante de fuerzas coplanares por métodos gráficos (método del polígono y del paralelogramo). EL METODO DEL POLIGONO Y EL PARALELOGRAMO El método del polígono es el mas útil ya que puede ser fácilmente aplicado en la suma de más de dos vectores a la vez. El método del paralelogramo es muy útil para la suma de sólo dos vectores a la vez. En ambos casos la magnitud del vector se indica a escala por la longitud de un segmento de recta. La dirección se marca por medio de una punta de flecha al extremo del segmento.

21 Problema por el método del Polígono Un barco viaja 100 km hacia el norte en el primer día de su viaje, 60 km hacia el noreste en el segundo día y 120 km al este en el tercer día. Encuéntrese el desplazamiento resultante por el método del polígono. Utilice una escala de 1 cm= 20 km.

22 punto de partida 100 km N 60 km 120 km R (10.8 cm) Desplazamiento Resultante. El método del polígono para la adición de vectores En km º Θ = 41°

23 Solución del método del polígono 1.- Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector. 2.- Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y la dirección del primer vector. 3.-Dibuje la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida con el extremo del primer vector.

24 4.-Continué el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo del vector procedente, hasta que todos los vectores del problema hayan sido dibujados. 5.-Dibuje el vector resultante partiendo del origen (que coincide con el origen del primer vector) y terminando en el extremo del ultimo vector. 6.-Mida con regla y transportador la longitud y el ángulo que forma el vector resultante para determinar su magnitud y su dirección.

25 Resultados. 1.- Para este problema en particular, primero se traza 5 cm al Norte, hacia arriba del eje Y que representan los 100 km del primer día de viaje. 2.- Después se trazan 3 cm, que corresponden a los 60 km del segundo día del viaje al noreste, al no especificar un ángulo, se sobrentiende que es a la mitad del cuadrante es decir a 45°. 3.- Después se trazan 6 cm, al este que representan los 120 km, del tercer día de viaje.

26 N 100 km 60 km 45° S E O 120 km

27 4.- Seguidamente, se mide la longitud, del vector resultante, que se traza al unir el principio del primer vector con el final del último vector y nos da una longitud de 10.8 cm, y utilizando la escala de 1 cm= 20 km, obtenemos que el vector resultante es de: 1 cm 20 km 10.8 cm X X = 20 km x 10.8 cm = 216 km. 1 cm

28 Para medir el ángulo del vector resultante, se realiza con un transportador y al hacerlo obtenemos que el ángulo tiene un valor de 41°. Para comprobar estos valores, obtenga el valor del vector resultante y el ángulo por el método analítico por el Teorema de Pitágoras.

29 1.- Se trazan los 3 vectores a partir del origen de los ejes X y Y. 2.- Se obtienen las componentes rectangulares de los vectores, si las tuvieran con las fórmulas siguientes, tomando en cuenta los signos de las x y las y en los cuadrantes. Fx = F cos θ Fy = F cos θ 3.- Para hallar la resultante se hace la sumatoria de las fuerzas en X y en Y y después se aplica la fórmula del Teorema de Pitágoras. _____________ R = (ΣFx) 2 + (ΣFy) 2.

30 4.- Para hallar el ángulo del vector resultante, se toma el valor absoluto del cociente del la sumatoria de las fuerza en y entre la sumatoria de las fuerzas en X, y al resultado se le saca la tangente inversa. Θ = tan -1 ΣFy ΣFx

31 Cuadro de fuerzas para hallar las componentes rectangulares. F θComp. XComp Y. 100 km 0° km 60 km 45° 60 cos 45° 60 sen 45° 120 km 0°120 km 0 ΣFx = 60 cos 45° km ΣFy = 100 km + 60 sen 45° ΣFx = 60 x km ΣFx = km km = km. ΣFy = 100 km + 60 x ΣFy = 100 km x km = 142 km.

32 Aplicación del Teorema de Pitágoras para hallar la resultante. R = (ΣFx) 2 + (ΣFy) 2. _________________ R = (162.42) 2 + (142.42) 2. __________________ R = _______ R = R = 216 km. Este resultado es el mismo que el obtenido por el método del polígono.

33 Cálculo del ángulo por la función trigonométrica tangente. Θ = tan -1 ΣFy ΣFx Θ = tan = Θ = tan = 41.24°. De igual manera, el ángulo obtenido es del mismo valor, que el obtenido por el transportador en el método del polígono.

34 La resultante de dos fuerzas por el método del paralelogramo El método del paralelogramo, que es útil para sumar dos vectores a la vez, consiste en dibujar dos vectores a escala con sus orígenes coincidiendo en su origen común.(fig 2-3) los vectores forman de esta manera dos lados del paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas a los vectores y de igual longitud, formándose así el paralelogramo. La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a partir del origen común de las dos flechas que representan los vectores y el ángulo se mide con el transportador.

35 Problema por el método del Paralelogramo Dos cuerdas se atan alrededor de un poste telefónico, con un ángulo entre ellas de 120º. Si de uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 N y del otro con una fuerza de 20 N ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?. Utilice una escala de 1 cm = 10 N.

36 120º 20 N R 60 N EL METODO DEL PARALELOGRAMO PARA ADICION DE VECTORES θ cm = 1 N

37 Resultados 1.- Se trazan los vectores de acuerdo a la escala convenida, en este caso 2 cm para la fuerza de 20 N, y 6 cm para la fuerza de 60 N. 2.- Se trazan líneas paralelas para obtener el paralelogramo y el vector resultante será la diagonal del paralelogramo. 3.- Se mide la diagonal y se obtiene su magnitud utilizando como factor de conversión la escala convenida. 4.- El ángulo se obtiene mediante el transportador.

38 60 N 20 N Θ= 60°

39 En este caso al medir la diagonal, se obtiene 5.29 cm, es decir la resultante tendrá un valor de: 1 cm 10 N 5.29 cm X X = 5.29 cm x 10 N = 52.9 N. 1 cm

40 Al medir el ángulo del vector resultante obtenemos que tiene un valor de 19.10°. Ahora obtenga el valor del vector resultante por el método analítico del Teorema de Pitágoras.

41 Cuadro de fuerzas F θcomp Xcomp Y 60 N0°60 N0 20 N60° -20 x cos 60° 20 x sen 60° ΣFx = 60 N-20 x cos 60.ΣFy =20 x sen 60° ΣFx = 60 N-20 x 0.5 ΣFx = 60 N-10 N = 50 N. ΣFy = 20 x = N.

42 Aplicación del Teorema de Pitágoras para hallar la resultante. R = (ΣFx) 2 + (ΣFy) 2. _________________ R = (50) 2 + (17.32) 2. __________________ R = _______ R = 2800 R = N. Este resultado es el mismo que el obtenido por el método del paralelogramo.

43 Cálculo del ángulo mediante la función tangente. Θ = tan -1 ΣFy ΣFx Θ = tan = Θ = tan = 19.10°. De igual manera, el ángulo obtenido es del mismo valor, que el obtenido por el transportador en el método del paralelogramo.

44 TRES LEYES FUNDAMENTALES DE NEWTON Primera Ley: Ley de la Inercia La fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero la partícula permanecerá en reposo (si originalmente esta en reposo) o se moverá con velocidad constante en una línea recta (si originalmente estaba en movimiento).

45 SEGUNDA LEY: Ley de la Proporcionalidad entre Fuerzas y Aceleraciones. Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la misma dirección que esta ultima. Se enuncia como: F = ma F= Fuerza m= Masa a= Aceleración.

46 TERCERA LEY: Ley de la acción y la reacción. Esta ley establece que para cada fuerza llamada acción, se opone otra fuerza de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario llamada reacción. (F y –F).

47 Ley de la gravitación universal. Esta Ley se enuncia de la siguiente manera: La fuerza de atracción entre 2 cuerpos, es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. F = Gm1m2 r 2

48 El El método analítico para la suma de vectores, consiste en utilizar las ecuaciones de las componentes rectangulares de los vectores (Fx y FY). Cuyas ecuaciones son: Fx = F cos θFy = F sen θ. Después de obtener la sumatoria de las fuerzas en X y en Y se aplica el Teorema de Pitágoras, cuya Fórmula es: ____________ R = (ΣFx) 2 + (ΣFy) 2.

49 Finalmente, para obtener el ángulo del vector resultante se hace uso de la función trigonométrica tangente, cuya fórmula es: Θ = tan -1 ΣFy ΣFx

50 Problemas para hallar el vector resultante por el método analítico. 1.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres fuerzas: A = 20 libras al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C = 40 libras a 52° al Suroeste. Determine la fuerza resultante de forma analítica. Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas cartesianas:

51 A = 20 lb E B = 30 lb 30° NO θ = 30° C = 40 lb, 52° SO θ = 52°. E N S O

52 Primeramente se construye el cuadro de fuerzas. FánguloComp. XComponentes Y 20 lb0°20 lb0 30 lb30°-30 lb cos 30°30 lb sen 30° 40 lb52°-40 lb cos 52°-40 lb sen 52° _____________________ ____________________ ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°-40 lb cos 52° ΣFy= 30 lbsen30°-40 lb sen 52° ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156)ΣFy= 30 lb (0.5)-40 lb (0.7880). ΣFx = 20 lb lb lbΣFy= 15 lb lb ΣFx = 20 lb lbΣFy= lb ΣFx = lbΣFy= lb

53 Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación del teorema de Pitágoras para obtener la resultante. Por los signos de las componentes X y Y (ambos negativos), la resultante se graficará en el tercer cuadrante. ___________ R = (Fx) 2 +(Fy) 2. ______________________ R = ( lb) 2 + ( lb) 2. __________ R = lb R = 34.8 lb

54 Para obtener el ángulo de la resultante, se aplica la función trigonométrica tangente: θ = tan -1 Fy Fx θ = tan lb = lb tan = 28.36°. R = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.

55 El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La dirección o ángulo del vector resultante también se puede expresar como ° al sumar los 180° correspondientes a los dos primeros cuadrantes al valor de 28.36°, por lo cual la respuesta también se puede expresar como: R = 34.8 lb, ° medidos desde el primer cuadrante.

56 N S E O R = 34.8 lb Θ = 28.36° Fx = lb Fy = lb

57 2.- Encontrar el vector resultante y el ángulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitágoras, medidos desde el Este: F1 = 2.5 N al Norte, F2 = 3 N a 25° al Noreste, F3 = 4 N al Este, y F4 = 2 N a 40° al Suroeste.

58 N E S O F1 = 2.5 N F2 = 3 N Θ = 25° F3 = 4 N F4 = 2 N θ = 40°

59 Cuadro de fuerzas con sus componentes rectangulares. F θcomp. Xcomp Y 2.5 N0°0 2.5 N 3 N25°3 N cos 25° 3 N sen 25° 4 N0°4 N 0 2 N0° -2 N cos 40° -2 N sen 40° ΣFx =3 N cos 25° ΣFy = 2.5 N + 3 N + 4 N - 2 N cos 40°. sen 25°- 2 N sen 40° ΣFx = 3 N x N – 2 N x ΣFx = N – N ΣFx = N – N = N. ΣFy = 2.5 N + 3 N x – 2 N x = ΣFy = 2.5 N – ΣFy = – = N.

60 ______________ R = (5.1869) 2 + (2.4824) 2. ___________ R = _________ R = R = 5.75 Newtons.

61 Θ = = Θ = tan = 25.6°.

62 R = 5.75 N Fy =2.48 N Y X Fx = 5.18 N Θ = 25.6°

63 3.- Encontrar el vector resultante y el ángulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitágoras. V1 = 35 m/seg, al Este, V2 = 30 m/seg a 30° al Suroeste y V3 = 45 m/seg a 60° al Noroeste.

64

65 N S EO V1 = 35 m/seg V2 = 30 m/seg Θ =30° V3 = 45 m/seg Θ = 60°

66 Cuadro de fuerzas y componentes rectangulares. F θComp. XComp. Y 35 m/s0°35 m/s 0 30 m/s30° - 30 m/s cos 30°-30 m/s sen 30° 45 m/s60° - 45 m/s cos 60° 45 m/s sen 60° ΣFx = 35 m/s – 30 m/s cos 30° ΣFy = - 30 m/s sen 30° -45 m/s cos 60° m/s sen 60° ΣFx = 35 m/s – 30 m/s x m/s x 0.5= 35 m/s m/s m/s ΣFx = 35 m/s = m/s. ΣFy = -30 m/s x sen 30 ° + 45 m/s x sen 60° ΣFy = - 30 m/s x m/s x ΣFy = - 15 m/s m/s = m/s.

67 ____________________ R = ( m/s) 2 + (23.97 m/s) 2. ________________________ R = m 2 /s m 2 /s 2 ________________ R = R = 27.5 m/s.

68 Cálculo del ángulo de la resultante. Θ = = Θ = tan = 60.6°

69 Gráfica del vector resultante y su ángulo.

70 N S E O VR =27.5 m/s Θ= 60.6° Θ= 119.4° Fx = m/s Fy = m/s


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