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Subtema 1.3.2. Movimiento de proyectiles (tiro horizontal y tiro oblicuo). El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos.

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1 Subtema Movimiento de proyectiles (tiro horizontal y tiro oblicuo). El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la superficie de la tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada por el portero, o el de una de una pelota de golf al ser lanzada o golpeada con cierto ángulo respecto del eje horizontal.

2 El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado. El tiro parabólico es de dos tipos: tiro parabólico horizontal y tiro parabólico oblicuo.

3 Tiro parabólico horizontal. Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmente al vacío, resultado de dos movimientos independientes: un movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, el cual se inicia con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporción de otro cuerpo que se dejará caer del mismo punto en el mismo instante.

4 La forma de la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un eje (eje Y) y con un solo foco, es decir una parábola. Por ejemplo en la figura siguiente, se grafica el descenso al mismo tiempo de dos pelotas, sólo que la pelota del lado derecho es lanzada con una velocidad horizontal de 15 m/seg.

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6 Al término del primer segundo ambas pelotas han recorrido 4.9 metros en su caída, sin embargo, la pelota de la derecha también ha avanzado 15 metros respecto de su posición inicial. A los dos segundos ambas pelotas ya han recorrido en su caída 19.6 metros, pero la pelota de la derecha ya lleva 30 metros recorridos como resultado de su movimiento horizontal.

7 Al cabo de 3 segundos, ambas pelotas habrán descendido 44.1 metros, pero la pelota de la derecha avanza 45 metros horizontales, al transcurrir 4 segundos, las dos pelotas, habrán caído 77.1 metros, pero la pelota de la derecha habrá recorrido 60 metros horizontalmente.

8 Si se desea calcular la distancia recorrida en forma horizontal puede hacerse con la expresión d = v/t pues la pelota lanzada con una velocidad horizontal tendrá una rapidez constante durante su recorrido horizontal e independiente de su movimiento vertical originado por la aceleración de la gravedad durante su caída libre. La trayectoria descrita por un proyectil cuya caída es desde un avión en movimiento, es otro ejemplo de tiro parabólico horizontal. Supongamos que un avión vuela a 250 m/seg y deja caer un proyectil, en los diferentes momentos de su caída libre, se puede determinar por medio del método del paralelogramo; para ello, basta representar mediante vectores las componentes horizontal y vertical del movimiento.

9 Al primer segundo de su caída la componente vertical tendrá un valor de 9.8 m/seg, mientras la componente horizontal de su velocidad será la misma que llevaba el avión al soltar el proyectil, es decir 250 m/seg. Trazamos el paralelogramo y obtenemos la resultante de las 2 velocidades. A los 2 segundos la componente vertical tiene un valor de 19.6 m/seg y la horizontal como ya señalamos conserva su mismo valor: 250 m/seg. Así continuaríamos hasta que el proyectil llega al suelo.

10 Las ecuaciones que se utilizan en el tiro horizontal son las mismas de la caída libre. En el tiro horizontal se suele calcular la altura desde la cual se lanza el proyectil, el tiempo que tarda en caer, la velocidad vertical que lleva en un tiempo determinado y la distancia horizontal que recorre desde el punto en que es lanzado hasta el punto donde cae al suelo.

11 Problemas de tiro horizontal 1.- Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/seg desde una altura de 60 metros. Calcular: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo, b) la velocidad vertical que lleva a los 2 segundos, c) La distancia horizontal a la que cae la piedra. DatosFórmulasSustitución ____ _________________ VH = 25 m/sega) t caer = 2h/gt caer = 2 (-60 m)/-9.8 m/seg 2. h = -60 metrosb) V2 seg= g tt caer = 3.5 seg g= m/seg 2. V2seg = -9.8 m/seg 2 x 2 seg a) t caer =? c) dH= VH tV2 seg= m/seg b) V2 seg= ?dH= 25 m/seg x 3.5 seg c) dH= ?dH = 87.5 metros.

12 2.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial de 10 m/seg y cae al suelo después de 5 segundos: Calcular a) ¿ A qué altura se encuentra la ventana? b) ¿A qué distancia cae la pelota? DatosFórmulasSustitución VH = 10 m/sega) h = gt 2 /2a) h = -9.8 m/seg 2 x (5 seg) 2 t caer = 5 seg2 b) dH = VHtcaer g = -9.8 m/seg 2. a) h = metros a) h = ?b) dH = 10 m/seg x 5 seg b) dH =?b) dH = 50 metros.

13 3.- Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 800 km/h y deja caer un proyectil desde una altura de 500 m respecto al suelo. Calcular: a) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que el proyectil se impacte en el suelo? b) ¿Qué distancia horizontal recorre el proyectil después de iniciar su caída?

14 DatosFórmulas VH = 800 km/ha) t caer = 2h/g h = -500 mb) dH = VH t caer. g = -9.8 m/seg 2. Sustitución y resultados. a) tcaer=?a) tcaer = 2 (-500 m)/ -9.8 m/seg 2. b) dH = ?a) tcaer = seg. Conversión de km/h a m/seg: 800 km x 1000 m x 1 h = m/seg h 1 km 3600 seg b) dH = m/seg x seg = m.

15 TIRO OBLICO Tiro parabólico oblicuo. Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal. Resolución de un problema de tiro parabólico oblícuo. En el siguiente dibujo vemos la trayectoria seguida por una pelota de golf, lanzada con una velocidad de 40 m/seg formando un ángulo de 60° con respecto a la horizontal.

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17 Como se observa, la pelota inicia su ascenso con una velocidad inicial de 40 m/seg y con un ángulo de 60°, si descomponemos esta velocidad en sus componentes rectangulares, encontraremos el valor de la velocidad vertical que le permite avanzar hacia arriba, como si hubiera sido arrojada en tiro vertical, por esta razón la velocidad disminuye debido a la acción de la gravedad de la tierra, hasta anularse y la pelota alcanza su altura máxima.

18 Después inicia su descenso y la velocidad vertical comienza a aumentar, tal como sucede en un cuerpo en caída libre, de manera que al llegar al suelo nuevamente tendrá la misma velocidad vertical que tenía al iniciar su ascenso. Por otra parte, la componente horizontal nos indica el valor de la velocidad horizontal que le permite desplazarse como lo haría un cuerpo en un movimiento rectilíneo uniforme. Por tal motivo esta velocidad permanecerá constante todo el tiempo que el cuerpo dure en el aire.

19 Para este problema específico, las componentes vertical y horizontal de la velocidad tienen un valor al inicio de su movimiento de: Vov = Vo sen 60° = 40 m/seg x = m/seg VH= Vo cos 60° = 40 m/seg x 0.5 = 20 m/seg (permanece constante).

20 Una vez calculada la componente inicial vertical de la velocidad (Vov) y utilizando las ecuaciones del tiro vertical vistas anteriormente, podemos determinar con facilidad la altura máxima alcanzada por la pelota, el tiempo que tarda en subir, y el tiempo que permanece en el aire; así pues, el valor de la velocidad inicial vertical para la pelota de golf será igual a m/seg. Por lo tanto, sustituyendo este valor en la ecuación de la altura máxima tenemos: hmax = V 2 ov = (34.64 m/seg) 2 = metros 2 g 2 (-9.8 m/seg 2 )

21 Para calcular el tiempo que tarda en subir la pelota, hacemos uso de la ecuación correspondiente que se dedujo para el tiro vertical, sustituyendo el valor de la componente inicial vertical: t (subir) = - Vov/g= m/seg/ -9.8 m/seg 2.= 3.53 seg El tiempo que dura en el aire es igual al doble del tiempo que tarda en subir: t (aire) = - 2 Vov/g, por lo que t (aire) = 2 x 3.53 seg = 7.06 seg

22 Para conocer el alcance horizontal dH de la pelota, debemos considerar que mientras esté en el aire se mueve en esa dirección debido al valor de la componente horizontal de la velocidad, la cual no varía y en nuestro caso tiene un valor de 20 m/seg, por lo tanto, para calcular dH emplearemos la expresión: dH = VH t(aire) = 20 m/seg x 7.06 seg = metros.

23 El desplazamiento horizontal también puede ser calculado con la siguiente ecuación: dH = - Vo 2 sen 2 θ g Sustituyendo valores tenemos: – (40 m/seg) 2 sen 2 (60°) = m/seg 2. dH = metros (resultado igual al anterior). La ecuación anterior resulta útil cuando se desea hallar el ángulo con el cual debe ser lanzado un proyectil que parte con un determinado valor de velocidad para dar en el blanco.

24 Ejercicios de tiro parabólico oblicuo. 1.- Un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 37° con respecto al plano horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 15 m/seg. Calcular a) e tiempo que dura en el aire, b) La altura máxima alcanzada, c) El alcance horizontal de la pelota. DatosFórmulasSustitución Vo = 15 m/segVov = Vo sen θVov = 15 m/seg x sen 37° θ= 37°VH = Vo cos θVov = 15 m/seg x g = -9.8 m/seg2.t (aire) = - 2Vov/gVov = m/seg t (aire) = ?h max = - V 2 ov/2gVH = 15 m/se x cos 37° h max=?dH = VH t (aire)VH = 15 m/seg x dH= ?VH = m/seg t aire= - 2 (9.027 m/seg) -9.8 m/seg 2. t aire = seg h max = - (9.027 m/seg) 2 = 2 (- 9.8 m/seg 2.) h max = metros dH = m/seg x seg dH = metros

25 2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/seg si se desea que dé en un blanco localizado a 2500 metros, calcular: a) El ángulo con el cual debe ser lanzado b) el tiempo que tarda en llegar al blanco (tiempo en el aire). DatosFórmulasSustitución Vo = 200 m/seg- sen 2 θ= dHg - sen 2 θ= 2500 m x(- 9.8 m/seg 2 ). dH = 2500 m Vo 2. (200 m/seg) 2. g = -9.8 m/seg2. Vov = Vo sen θ sen 2 θ = a) θ= t (aire)= -2Vov 2 θ = ángulo cuyo seno es g b) t aire =? 2 θ= 37.76° θ= 18.88° Vov = 200 m/seg x sen 18.88° Vov = 200 m/seg x = 64.6 m/seg t (aire) = - 2 x 64.6 m/seg = seg m/seg 2.

26 3.- ¿Cuál será la velocidad inicial con que se batea una pelota de beisbol, si es golpeada con un ángulo de 40° respecto a la horizontal, si la altura máxima que alcanza es de 10.2 metros y su desplazamiento horizontal es de metros? DatosFórmula Vo = ?dH = - Vo 2 sen 2 θ Θ = 40° g h max = 10.2 mdespejando Vo tenemos: dH = mVo = dHg g = -9.8 m/seg 2. sen 2 θ Sustitución y resultado: Vo = m x -9.8 m/seg 2. = m 2 /s 2. sen (80°) Vo = 22 m/seg.


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