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UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez1 Análisis de Datos.

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1 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez1 Análisis de Datos

2 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez2 Fuentes de Datos

3 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez3 Tipos de Datos

4 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez4 Definiciones Una variable categórica indica a qué grupo o a qué categoría pertenece una observación. Todo lo que podemos hacer es calcular la proporción de datos que entra en cada categoría. Una variable cuantitativa toma valores numéricos sobre los cuales podemos realizar operaciones aritméticas. Las variables cuantitativas pueden ser discretas o contínuas.

5 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez5 Datos cuantitativos Edad - ingreso Edad - ingreso Aumento de peso Aumento de peso Datos categóricos Persona Casado/no casado 1si 2no 3no.. Persona Casado/no casado 1si 2no 3no.. Profesor Rango 1Visitante 2Full Time 3Asistente.. Profesor Rango 1Visitante 2Full Time 3Asistente.. Ejemplos

6 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez6 Una variable es discreta si toma solo un número contable de valores. Una variable es contínua si la misma toma un número incontable de valores /2 1/4 1/16 Variable continua Por lo tanto, el número de valores es contable Variable discreta Por lo tanto, el número de valores es incontable Variables discretas y continuas

7 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez7 Estadística Descriptiva Abarca la agrupación, resúmen y presentación de los datos para permitir su interpretación y poder tomar decisiones basadas en dicha interpretación. La estadística descriptiva utiliza –Técnicas gráficas –Medidas de descripción numéricas

8 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez8 Variables Categóricas Estas son algunas de las representaciones más utilizadas para variables categóricas. Pie chartGráfico de barras

9 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez9 Las variables cuantitativas contínuas toman un número considerable de valores. Su representación gráfica resulta más clara si se agrupan los valores próximos de la variable. El gráfico más común de la distribución de una variable cuantitativa contínua es un histograma. Variables cuantitativas

10 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez10 Histograma: distribución del salario horario en el Gran Buenos Aires (1995)

11 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez11 Aspecto general de una distribución Para describir el aspecto general de una distribución: Debemos: –Proporcionar su centro y su dispersión. –Evaluar si la distribución tiene una forma simple que pueda describirse de forma sencilla.

12 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez12 Medidas de Posición Central: Usualmente, nuestra atención se centra en dos aspectos de las medidas de posición central: –Medición del punto central (promedio) –Medición de la dispersión en torno al promedio

13 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez13 Medidas de Posición Central: la media Es la medida mas popular. Es decir, tenemos una muestra de n observaciones: x 1, x 2,…,x n. Su media muestral es: De forma compacta: Suma de las observaciones Número de observaciones Media =

14 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez14 Ejemplo: La media de la muestra de seis observaciones: 7, 3, 9, -2, 4, 6 esta dada por: Medidas de Posición Central: la media

15 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez15 16 empleados Medidas de Posición Central: la media Cuando muchas observaciones toman el mismo valor, estas se pueden resumir en una tabla de frecuencias. Supongamos que el número de Hijos en una muestra de 16 empleados fuera el siguiente: NUMERO DE HIJOS NUMERO DE EMPLEADOS Ejemplo:

16 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez16 La mediana La mediana (M) es el valor central de un histograma. Para hallar la mediana de una distribución debemos: Ordenar las observaciones en orden ascendente Si el número de observaciones n es impar, M es la observación central de la lista ordenada. M se halla contando (n+1)/2 observaciones desde el comienzo de la lista Si el número de observaciones n es par, M es la media de las dos observaciones centrales de la lista ordenada.

17 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez17 La mediana Nro. de observaciones es impar 26,26,28,29,30,32,60 Los salarios de siete empleados fueron los siguientes (en 1000s) : 28, 60, 26, 32, 30, 26, 29. ¿Cuál es la mediana? Supongamos que se agrega al grupo el Salario de un empleado más ($31,000). ¿Cuál es la mediana? Nro. de observaciones es par 26,26,28,29, 30,31, 32,60 Hay dos valores en el medio! Primero, ordenar los salarios. Luego, localizar el valor en el medio. 26,26,28,29, 30,31,32, , Ejemplo: Primero, ordenar los salarios. Luego, localizar el valor en el medio.

18 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez18 El modo es el valor que ocurre con mayor frecuencia en un grupo de observaciones. El modo Cuando la muestra es grande, los datos se agrupan en intervalos y obtenemos el Intervalo modal El modo En un conjunto de observaciones puede haber más de un modo.

19 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez19 Ejemplo El gerente de una tienda de ropa posee la siguiente información sobre el talle de los pantalones que se vendieron ayer: 31, 34, 36, 33, 28, 34, 30, 34, 32, 40. El modo es 34 En muchos casos, el modo nos da información mas valiosa que la mediana: El modo

20 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez20 Media y Mediana La media es sensible a observaciones extremas y a outliers. La mediana solo es sensible a cambios en su entorno que la cruzan. Por ello, se dice que la mediana es un estimador robusto de la tendencia central. La media y la mediana de una distribución simétrica se encuentran muy cerca. Si la distribución es exactamente simétrica, la media y la mediana coinciden. Si la distribución es asimétrica, la media queda desplazada hacia la cola más larga del histograma de la distribución.

21 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez21 Distribuciones simétricas y asimétricas Una distribución es simétrica si el lado derecho e izquierdo del histograma con respecto a la mediana son aproximadamente iguales. Un distribución es asimétrica hacia la derecha si el lado derecho del histograma se extiende sobre un mayor número de valores (intervalos) que el lado izquierdo. Una distribución es asimétrica hacia la izquierda si el lado izquierdo del histograma se extiende sobre un mayor número de valores (intervalos) que el lado derecho.

22 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez22 Asimetría hacia la derecha Asimetría hacia la izquierda

23 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez23 Aspecto general de una distribución La figura muestra la distribución de ventas de libros por individuo en la feria del libro. Esta distribución es asimétrica hacia la derecha. Es decir hay muchas ventas de 3 o 4 libros y pocas ventas de 10 libros.

24 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez24 Aspecto general de una distribución La figura muestra la distribución de ventas de libros por individuo en la feria del libro. Esta distribución es asimétrica hacia la derecha. Es decir hay muchas ventas de 3 o 4 libros y pocas ventas de 10 libros.

25 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez25 Distribuciones representadas con números ¿Qué edad tenían los presidentes de US al inicio de su mandato? La edad media es de aproximadamente 55 años. Una breve descripción de la distribución: –Su forma es aproximadamente simétrica. –El centro de la distribución es aproximadamente 55 años. –Dispersión: Rango de variación, de 42 a 69 años. –La forma, el centro y la dispersión proporcionan una buena descripción del aspecto general de cualquier distribución de una variable cuantitativa.

26 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez26 Si una distribución es simétrica, la media, mediana y modo coinciden Si una distribución no es simétrica, las tres medidas difieren. Asimetría hacia la derecha (asimetría positiva) Media Mediana Modo Media Mediana Modo Asimetría hacia la izquierda (asimetría negativa) Media, Mediana y Modo

27 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez27 Medidas de dispersión Caracterizar una distribución solamente a través de una medida central no es apropiado. Las distribuciones del ingreso de dos provincias con el mismo ingreso medio por hogar son muy distintas si una de ellas tiene extremos de pobreza y de riqueza, mientras que la otra tiene poca variación de ingresos entre familias. Estamos interesados en la dispersión o variabilidad de los ingresos, además de estarlo en sus centros.

28 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez28 Ejemplo de dos conjuntos de datos con igual media Datos con alta dispersiónDatos con baja dispersión Medidas de dispersión

29 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez29 Medidas de dispersión Rango Una manera de medir la dispersión es calcular el recorrido de la distribución empírica, es decir, la diferencia entre las observaciones máxima y mínima. Su mayor ventaja es que se puede calcular facilmente, sin embargo, no brinda información sobre la dispersión existente entre ambos valores extremos.

30 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez30 Medidas de dispersión El rango depende sólo de las observaciones máxima y mínima, que podrían ser observaciones atípicas. Podríamos mejorar nuestra descripción de la dispersión fijándonos, por ejemplo, también en la dispersión del 50% de los valores centrales de nuestros datos. Un conjunto de estadísticos de utilidad son los cuartiles de una distribución.

31 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez31 Cuartiles Para calcular los cuartiles de una distribución debemos: Ordenar las observaciones en orden creciente y localizar la mediana El primer cuartil Q 1 es la mediana de las observaciones situadas a la izquierda de la mediana de la distribución El tercer cuartil Q 3 es la mediana de las observaciones situadas a la derecha de la mediana de la distribución.

32 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez32 Cuartiles Los cuartiles son medidas de tendencia no central de una distribución. Dividen los datos ordenados en 4 cuartos iguales: El segundo cuartil de una distribución es su mediana. Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3

33 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez33 Percentiles Los percentiles son otro conjunto de medidas de tendencia no central de una distribución. Dividen los datos ordenados en 100 partes iguales. El percentil 25 es el primer cuartil... Ejemplo –Supongamos que el 78% de los resultados del GMAT es menor o igual a 600 puntos. Entonces, 600 es el percentil 78 de la distribución % de todos los resultados22%

34 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez34 –Percentiles frecuentemente utilizados Primer decil= percentil 10 Primer cuartil, Q 1,= percentil 25 Segundo cuartil,Q 2,= percentil 50 Tercer cuartil, Q 3, = percentil 75 Noveno decil= percentil 90 Ejemplo Encontrar los cuartiles del siguiente conjunto de datos: 7, 8, 12, 17, 29, 18, 4, 27, 30, 2, 4, 10, 21, 5, 8 Percentiles

35 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez35 –Solución Primero, ordenar las observaciones 2, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 17, 18, 18, 21, 27, 29, 30 Como máximo, (.25)(15) = 3.75 observaciones deberían aparecer por debajo del primer cuartil. Como máximo, (.75)(15)=11.25 observaciones deberían aparecer por encima del primer cuartil. Primer cuartil Si el numero de observaciones es par, los resultados se encuentran entre dos observaciones. En ese caso, hay que elegir el punto medio entre ambas observaciones. 15 observaciones Percentiles

36 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez36 Diagrama de caja Los cinco números resúmen de una distribución son representados gráficamente por un diagrama de caja. L - Observación máxima Q 3 - Tercer cuartil Q 2 - Mediana Q 1 - Primer cuartil S - Observación mínima

37 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez37 Diagrama de caja Los lados inferior y superior de la caja van del primer al tercer cuartil. Por tanto, la altura de la caja es la amplitud del 50% de los datos centrales. El segmento del interior de la caja indica la mediana. Los extremos de los segmentos perpendiculares a los lados superior e inferior indican, respectivamente, los valores máximo y mínimo de la distribución. SQ1Q1 Q2Q2 Q3Q3 L

38 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez38 Diagrama de caja

39 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez39 Una medida de dispersión: La varianza La varianza s 2 de un conjunto de observaciones es el promedio de los cuadrados de la desviaciones de las observaciones respecto a su media. Formalmente: De forma compacta:

40 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez40 Considere dos poblaciones: Población A: 8, 9, 10, 11, 12 Población B: 4, 7, 10, 13, –10 = -2 9 –10 = –10 = – 10 = +2 Suma = = = = +3 Suma = = +6 La media de ambas poblaciones es …pero en B los datos están mucho mas dispersos que en A Comencemos calculando la suma de las desviaciones A B En ambos casos, la suma de las desviaciones es Cero (lo cual es siempre Cierto). Por lo tanto, usamos la suma de los cuadrados. La varianza

41 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez41 Calculemos la suma de las desviaciones al cuadrado para ambas poblaciones: ¿Por qué la varianza esta definida como un promedio de desviaciones al cuadrado y no como su simple suma? La suma de las desviaciones al cuadrado aumentan cuando la dispersión de aumenta!! La varianza

42 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez AB B es mas dispersa alrededor de su media que A. Sin embargo, la suma no muestra eso. Es por ello que se usa el promedio Calculemos la suma de las desviaciones cuadradas para ambas poblaciones Suma A = (1-2) 2 +…+(1-2) 2 +(3-2) 2 + … +(3-2) 2 = 10 Suma B = (1-3) 2 + (5-3) 2 = 8 5 veces A 2 = Sum A /N = 10/5 = 2 B 2 = Sum B /N = 8/2 = 4 ! La varianza

43 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez43 Una medida de dispersión: El desvío standard La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza s 2 : Ejemplo: Tasas de retorno de dos fondos de inversiones durante 10 años ¿Cual de los dos es más riesgoso? Fondo A: 8.3, -6.2, 20.9, -2.7, 33.6, 42.9, 24.4, 5.2, 3.1, Media: 14.6 Desvío standard: Fondo B: 12.1, -2.8, 6.4, 12.2, 27.8, 25.3, 18.2, 10.7, -1.3, 11.4 Media: Desvío standard: 9.97 El fondo A es mas riesgoso dado que su desvío standard es mayor.

44 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez44 Grados de libertad ¿Por qué calculamos la varianza dividiendo por n - 1, en lugar de dividir por n? Como la suma de las desviaciones es 0, la última desviación es una combinación lineal de las n - 1 desviaciones restantes. Por lo tanto, no estamos calculando el promedio de n números independientes (los desvíos). Solo n -1 de las desviaciones al cuadrado pueden variar libremente y por ello, promediamos la suma de los desvíos al cuadrado dividiendo por n -1. Al numero n -1 se lo denomina grados de libertad de la varianza o de la desviación típica.

45 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez45 Propiedades del desvío standard s mide la dispersión respecto a la media. Debe emplearse solo cuando se escoge la media como medida central de la distribución. s = 0 solo ocurre cuando no hay dispersión: todas las observaciones toman el mismo valor. De lo contrario s > 0. Cuanto más dispersión hay entre las observaciones, mayor es s. s, al igual que la media, se encuentra fuertemente influenciado por las observaciones extremas.

46 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez46 Descripción de una distribución asimétrica Una distribución asimétrica con unas pocas observaciones en la cola larga de la distribución tendrá un desvío standard grande. En tal caso, s no proporciona información útil sobre la dispersión de la distribución. Como en una distribución muy asimétrica la dispersión de cada una de las colas es muy distinta, es imposible describir bien la dispersión con un solo número. Los cinco números resúmen proporcionan mejor información sobre la dispersión de la distribución. Es preferible utilizar los cinco números resúmen en lugar de la media y el desvío standard para describir una distribución asimétrica

47 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez47 Coeficiente de variación El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa. Muestra la dispersión de una distribución en relación a su media. Se utiliza para comparar distintas distribuciones. Su fórmula es: Por ejemplo, un desvio standard de 10, puede ser grande si la media es 100, pero no lo es si la media es 500.

48 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez48 Curva de densidad Una curva de densidad describe el aspecto general de una distribución. El área por debajo de la curva, entre cualquier intervalo de valores, es la proporción de todas las observaciones que están situadas en dicho intervalo. El área total bajo una curva de densidad es 1.

49 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez49 Distribuciones normales Todas las distribuciones normales tienen la misma forma general. La curva de densidad de una distribución normal se describe por su media y su desvío standard. La media se sitúa en el centro de la curva simétrica, en el mismo lugar que la mediana. Si se cambia sin cambiar se provoca un desplazamiento de la curva de densidad a lo largo del eje de las abscisas sin que cambie su dispersión. La desviación típica controla la dispersión de la curva normal.

50 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez50 Distribuciones normales La curva con mayor desvío standard es la curva que presenta mayor dispersión. La desviación típica es la medida natural de la dispersión de una distribución normal. La forma de una curva normal no solo queda completamente determinada por y, sino que además es posible situar a simple vista en la curva. Cuando nos alejamos de, en cualquier dirección, la curva pasa de descender rápidamente a descender suavemente. Estos puntos de inflexión están situados a una distancia de.

51 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez51 Distribuciones normales En una distribución normal: El 68 % de las observaciones se encuentra entre. El 95 % de las observaciones se encuentra entre 2. El 99.7 % de las observaciones se encuentra entre 3.

52 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez52 Distribución normal estandarizada Si x es una observación de una distribución de media y de desvío standard, el valor estandarizado de x es: La distribución normal estandarizada es la distribución normal N(0,1): su media es 0 y su desvío standard es 1. Si una variable x tiene una distribución normal N(, ), entonces z posee una distribución normal estandarizada.

53 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez53 Coeficiente de asimetría El coeficiente de asimetría es una medida de asimetría de una distribución. Su fórmula es: Si es positivo, la curva presenta asimetría hacia la derecha. Si es negativo, la curva presenta asimetría hacia la izquierda. Si es cero, la distribución es simétrica.

54 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez54 Concentración: Kurtosis La kurtosis es una medida de la concentración de la distribución en torno a su media. Su fórmula es: Si K es positiva, la distribución tiene una concentración superior a la de una curva normal. Si es negativa, ocurre lo contrario.

55 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez55 x ( y ) es la media poblacional de la variable X (Y) N es el tamaño de la población. n es el tamaño de la muestra. Medidas de asociación: Covarianza

56 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez56 Este coeficiente responde a la pregunta: ¿Cuán fuerte es la asociación (lineal) entre X e Y? Medidas de asociación: Correlación

57 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez57 COV(X,Y)=0 o r = +1 0 Correlación lineal positiva fuerte El valor se encuentra cerca de 1 No hay correlación lineal Coeficiente cercano a cero Correlación lineal negativa fuerte El valor se encuentra cerca de -1 COV(X,Y)>0 COV(X,Y)<0 Coeficiente de Correlación

58 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez58 Ejemplo –Busque la covarianza y el coeficiente de correlación para medir como los gastos de marketing y los niveles de ventas se relacionan. MarketingVentas Medidas de asociación Gastos de marketing Ventas Intuitivamente, en este grafico de dispersión… Las variables parecen estar positivamente relacionadas

59 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez59 A continuación calculamos cov() y r: De igual forma, s y = 8.839

60 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez60 Interpretación –La covarianza ( ) indica que los gastos de marketing y los niveles de ventas están positivamente relacionados –El coeficiente de correlación (.797) indica que hay una relación lineal positiva fuerte entre los gastos de marketing y los niveles de ventas. Medidas de asociación

61 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez61 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación El objetivo de la tabulación cruzada es identificar la relación que existe entre dos variables. Con los datos de una muestra podemos observar si existe alguna relación entre dos variables y la pregunta que surge naturalmente es si esta relación es verdadera o es el resultado del error muestral. Las tablas de contingencia son tabulaciones cruzadas entre dos variables X e Y con r y c categorías respectivamente. Es decir que la tabla de contingencia entre X e Y tendrá r filas y c columnas.

62 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez62 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación Para responder a esta pregunta, se utiliza un test de hipótesis conocido como el test Chi-cuadrado de Pearson. La hipótesis nula del test es que las dos variables analizadas son independientes. La hipótesis alternativa es que las variables no son independientes, es decir que existe una relación entre las dos variables. Ilustremos el test utilizando un ejemplo. La siguiente tabla de contingencia muestra la tabulación cruzada de la variable ingreso anual (dividido en tres categorías) y la última marca de coche comprada (dividida en tres marcas).

63 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez63 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación

64 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez64 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación Las entradas de la tabla representan el número de personas en la muestra con cada combinación de ingreso y marca de auto. Por ejemplo, 50 personas que ganan menos de 20,000 $ compraron un auto marca Ford. El test Chi-cuadrado de Pearson se basa en encontrar cual hubiera sido el valor de cada entrada si las variables fueran independientes. Es decir el valor esperado de cada celda de la tabla si las variables ingreso y marca son independientes.

65 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez65 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación Si ingreso y marca son independientes, la probabilidad del evento conjunto "A 1 : ganar menos de 20,000$" y "B 1 : comprar marca Ford" es el producto de esas dos probabilidades: Pr(A 1 y B 1 ) = Pr(A 1 )*Pr(B 1 ) Pr(A 1 ) = A 1 /A = 375/1200, Pr(B 1 ) = B 1 /B = 350/1200 Donde A y B son las frecuencias totales de los eventos.

66 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez66 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación Por lo tanto: Pr(A 1 y B 1 ) = Pr(A 1 )*Pr(B 1 ) = 375*350/(1200*1200) = El número esperado en la entrada A 1 B 1 es entonces: N* Pr(A 1 y B 1 ) = 1200*0.091 =

67 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez67 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación En general la fórmula del valor esperado es: E ij = (N Ai *N Bj )/N. –E ij = número esperado –N Ai = número de elementos en la categoría A i –N Bi = número de elementos en la categoría B i Para A 1 B 1 el número esperado es: –E 11 = (375*350)/1200 =

68 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez68 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación Este proceso se puede repetir para cada una de las entradas de la tabla. Una vez hecho esto el estadístico Chi-cuadrado se calcula con la siguiente fórmula: –r = número de categorías de la variable en las filas –c = número de categorías de la variable en las columnas –O ij = número observado en entrada ij –E ij = número esperado en la entrada ij Este estadístico Chi-cuadrado tiene (r-1)*(c-1) grados de libertad.

69 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez69 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación En nuestro ejemplo hay (3-1)*(3-1) = 4 grados de libertad. Realizando todas las cuentas con la tabla del ejemplo, el estadístico da Comparando este número con el valor crítico de la distribución Chi-cuadrado con 4 grados de libertad a un nivel de significatividad del 5% el valor crítico correspondiente es Como > 9.49 se rechaza la hipótesis nula. Es decir, las variables no son independientes.

70 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez70 Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación El estadístico de Pearson nos dice si dos variables son independientes una de otra pero no nos dice nada acerca de la naturaleza de la relación. Cuando analizamos variables dicotómicas (adoptan solo los valores 0, 1) el estadístico de Pearson puede ser poco preciso. En esos casos se suelen utilizar otras medidas de asociación.

71 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez71 Medidas de Asociación para Tablas de 2x2 El Coeficiente Phi ( ) Es una medida del grado de asociación entre dos variables dicotómicas basada en el estadístico Chi- cuadrado de Pearson. Este coeficiente toma valores en el intervalo cero- uno. Valores próximos a cero indican poca asociación entre las variables y valores cercanos a uno indican una fuerte asociación. El coeficiente puede ser calculado como el coeficiente de correlación entre dos variables dicotómicas.

72 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez72 Medidas de Asociación para Tablas de 2x2 Alternativamente, puede ser calculado utilizando el estadístico Chi-cuadrado de Pearson con la siguiente fórmula: = ( 2 /N) 1/2 donde N es el número de datos.

73 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez73 Medidas de Asociación para Tablas de 2x2 Riesgo Relativo El riesgo relativo es una medida del grado de asociación entre dos variables dicotómicas, que compara el producto de las frecuencias en la diagonal principal de la tabla con el producto de las frecuencias en la diagonal opuesta mediante el cociente entre ambos. En consecuencia toma valores positivos y, si las variables son independientes, su valor será próximo a uno.

74 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez74 Medidas de Asociación para Tablas Mayores a 2x2 El coeficiente de contingencia El coeficiente de contingencia es una extensión del coeficiente al caso de que al menos una de las variables presente más de dos categorías. Toma valores entre 0 y C max, donde si r y c son el número de categorías de cada una de las variables: C max = [min(r-1,c-1)/(1+ min(r-1,c-1))] 1/2

75 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez75 Medidas de Asociación para Tablas Mayores a 2x2 Valores del coeficiente de Contingencia cercanos a 0 indican que no hay asociación entre las variables y valores próximos a C max indican una fuerte asociación (note que C max es un número que siempre será menor a uno).

76 UNIVERSIDAD TORCUATO DI TELLA Ing. MBA, María del Carmen Gómez76 Medidas de Asociación para Tablas Mayores a 2x2 La V de Cramer Otra extensión del coeficiente al caso de variables con más de dos categorías es la V de Cramer que, a diferencia del coeficiente de contingencia toma valores entre 0 y 1. Valores de V cercanos a 0 indican que no hay asociación entre las variables y valores cercanos a 1 indican una fuerte asociación. V = ( 2 /(r ó c)*N) 1/2


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