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Trabajo Fundamentos de Físico - Matemáticas. Tipos de ángulos Tipos de ángulos según su posición Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice.

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1 Trabajo Fundamentos de Físico - Matemáticas

2 Tipos de ángulos Tipos de ángulos según su posición Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común. Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación

3 Ángulos opuestos por el vértice Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Clases de ángulos según su suma Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si suman 90°. Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Ángulos entre paralelas y una recta transversal Ángulos correspondientes

4 Ángulos en la circunferencia Ángulo central El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente. Ángulo inscrito El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca. Ángulo semiinscrito El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca. Ángulo interior Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados

5 Cuadriláteros Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.polígonocuatroladosvérticesdiagonales Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes: 4 vértices: los puntos de intersección de las rectas que conforman el cuadrilátero; 4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;segmentos 2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos;diagonales 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común;ángulos interiores 4 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente.ángulos exteriores

6 Clasificación de los cuadriláteros Los cuadriláteros se clasifican en: ParalelogramosParalelogramos (sus lados enfrentados son paralelos) Rectángulos Cuadrado Rectángulo Oblicuángulos Rombo Romboide TrapeciosTrapecios (dos de sus lados son paralelos y los otros dos no) Trapecio rectángulo Trapecio isóceles Trapecio escaleno TrapezoideTrapezoide (no tiene lados paralelos) Trapezoide simétrico o deltoidedeltoide Trapezoide asimétrico

7 Triángulos Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.geometríapolígonorectaspuntosvértices Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico.plana esféricatriángulo esférico

8 Clasificación de los triángulos Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos. Por las longitudes de sus lados Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica: como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)triángulo equiláteroángulosgradosradianes como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales1 ), ytriángulo isóscelesTales de Mileto1 como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).triángulo escaleno

9 Clasificación según los lados y los ángulos Los triángulos acutángulos pueden ser: Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura. Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría. Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales). Los triángulos rectángulos pueden ser: Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto. Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes. Los triángulos obtusángulos pueden ser: Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos. Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

10 Ley de Senos y Cosenos La Ley De Senos y la Ley De Cosenos te permiten precisamente resolver para triángulos que no son rectos. Se presentan cada una de estas leyes;se aplican a la solución de triángulos obtusángulos y acutángulos. Se toma un gran cuidado en mostrar cada uno de los pasos; sin saltar pasos intermedios para facilitar la comprensión.Se explica cómo y cuando usar la Ley De Senos, o la Ley De Cosenos; y por cuál ángulo o lado resolver primero para evitar ambigüedad en la solución.

11 por la definición de las razones trigonométricas: h = bsen*A, y h = asen*B Luego bsen*A = asen*B, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno: La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo. Si el triángulo es obtusángulo se demuestra igual: Se demuestra igual pues h=asen(B-180º), pero sen(B-180º)=sen*B Es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos. Puede verse en tres formas distintas pero equivalentes: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.

12 Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. El punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a x ²+ y ², aplicando el teorema de Pitágoras. Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera: Seno (sen) del ángulo θ = sen θ = y/r coseno (cos) del ángulo θ = cos θ = x/r tangente (tan) del ángulo θ = tan θ = y/x cotangente (cot) del ángulo θ= cot θ = x/y secante (sec) del ángulo θ = sec θ = r/x cosecante (csc) del ángulo θ= csc θ = r/y

13 Geometría La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).idioma griego matemática figuras geométricasespaciopuntos rectasplanospolitoposparalelasperpendicularescurvas superficiespolígonospoliedros Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).geometría descriptivadibujo técnicocompásteodolitopantógrafosistema de posicionamiento globalanálisis matemáticoecuaciones diferenciales Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.física aplicada mecánicaarquitecturacartografíaastronomíanáutica topografíabalísticaartesanías

14 Volúmen El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones. En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.matemáticasvolumenconceptos métricos distanciatensor métrico En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.físicamagnitud físicaprincipio de exclusión La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.unidad de medidaSistema Internacional de Unidadesmetro cúbicolitro

15 Unidades de volumen Se clasifican en tres categorías: Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.tercera potenciageometría Unidades de volumen líquido. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente. Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos. Estas unidades fueron creadas porque hace muchos años no existía un método adecuado para pesar todas las cosechas en un tiempo breve, y era más práctico hacerlo usando volúmenes áridos. Actualmente estas unidades son poco utilizadas porque ya existe tecnología para pesar la cosecha en tiempo breve.

16 Paralelogramos Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.cuadrilátero polígonocuatrolados Los paralelogramos se clasifican en: Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyenángulos rectos El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud,cuadrado El rectángulo, que tiene lados opuestos de igual longitud;rectángulo Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluye: El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y dos pares de ángulos iguales.rombo El romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y dos pares de ángulos iguales..romboide

17 Propiedades comunes a todo paralelogramo Todo paralelogramo tiene cuatro vértices y cuatro lados (es un subconjunto de los cuadriláteros).cuadriláteros Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición), por lo cual nunca se intersecan. Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes). Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida. Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios (suman 180 °). La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360 °. El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo creado por cualquiera de sus diagonales. El área de un paralelogramo es igual a la magnitud del producto vectorial de dos lados contiguos.producto vectorial

18 Todos los paralelogramos son convexos.2convexos2 Cualquier recta secante coplanar corta al paralelogramos en dos y solo dos de sus lados.secante Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. El llamado "centro" del paralelogramo se encuentra en el punto en que se bisecan sus dos diagonales. El "centro" del paralelogramo es también el baricentro del mismo.3baricentro3 Cualquier recta coplanar que pase por el "centro" de un paralelogramo divide a su área en dos partes iguales. Cualquier recta coplanar que pase por el "baricentro"3 de un paralelogramo es también "transversal de gravedad" del mismo.3 Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.transformación afín Existe un número infinito de transformaciones afines que transforman a un paralelogramo dado en un cuadradotransformaciones afines

19 Poliedros Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico, de la palabra πολύεδρον, de poli muchas y edron caras.geometría clásica Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional. dimensiónpolígono polícoropolitopos

20 Denominación de los poliedros Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7),... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.tetraedropentaedrohexaedroicosaedro Frecuentemente un poliedro se cualifica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.dodecaedro regulardodecaedro rómbico Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y es en este caso irregular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono y ocho de triángulo.cubo truncadooctógono

21 Tipos de vectores El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican. En matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.

22 El vector a, u A, indica el movimiento de barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o $, representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u B. Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

23 Ángulo de elevación Si un objeto esta por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto. ÁNGULOS VERTICALES Ángulo de Elevación : Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira. La línea de Mira está por encima de la línea Horizontal. x Línea Horizontal Línea de Mira A B b) Ángulo de Depresión : Es el ángulo formado por la línea de Mira y la línea Horizontal. Pero la línea de Mira está por encima de la línea Horizontal x Línea Horizontal Línea de Mira A B Ejemplo Nº 1 : Un grillo se encuentra a 10 m. del pie de un árbol, observa el tamaño total de dicho árbol con un ángulo de 30º ¿Cuál es el tamaño de dicho árbol? 30º h 10 m. Solución : 2k 1k 3k h = 1k h = k = 10 K = 10 3 K = tg 30º = h 10m. h = 10m. x tg 30º h = 10m. x 3 3 Rpta: h = Ejemplo Nº 2 : De la altura de un faro se ve un bote en el mar con un ángulo de depresión de 60º, si dicho faro tiene una altura de 20m. ¿A qué distancia se ubica el bote con respecto al pie del faro? 60º 60º 20m. d Solución : tg 60º = 20 d d = 20 tg 60º d = 20 3 Rpta : d =

24 Ángulo de depresión Si un objeto esta por debajo de la horizontal, se llama ángulo de depresión al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto.

25 Áreas planas El área de una figura es la porción del plano que cubre. Para medir las superficies se utiliza como unidad de medida el cuadrado cuyo lado es de longitud 1. Las áreas se miden en centímetros cuadrados, decímetros cuadrados y metros cuadrados o, simplemente, en unidades de área cuando se quiera que éstas sean otras, como, por ejemplo, la cuadrícula de un papel cuadriculado. Área del rectángulo: es el área más sencilla para calcular. Es el resultado de multiplicar la longitud de sus lados o también, como se dice habitualmente, se obtiene multiplicando la base (b) por la altura (h). Fórmula: Área del rectángulo = base · altura A = b · h Área del paralelogramo: Si consideramos el paralelogramo ABCD. La base AB desde C y D se hacen perpendiculares sobre la base AB. Los triángulos ADM y BCN son iguales. Por tanto, el área del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectángulo MNCD. Observamos que las dos figuras tienen la misma base y la misma altura. Este proceso nos permite afirmar que el área de un paralelogramo es, también, el producto de su base por su altura. Fórmula: Área del paralelogramo = base · altura A = b · h

26 Área del cuadrado: en un cuadrado la base y la altura son iguales a su lado y por tanto: Fórmula: Área del cuadrado de lado c = lado al cuadrado A = c2 Área del triángulo: consideremos un triángulo cualquiera ABC, de base AB. Dibujemos una paralela a AB que pase por C y una paralela a AC que pase por B. Éstas se encuentran en un punto D. Los triángulos ABC y BCD serán iguales. Por tanto, la superficie del paralelogramo ABCD será el doble del área del triángulo ABC. Fórmula: Área del paralelogramo ABCD = 2 · área del triángulo ABC O bien, Área del triángulo ABC = área del paralelogramo : 2 Como la base y la altura del paralelogramo son la base y la altura del triángulo obtendremos: Fórmula: Área del triángulo = base por altura dividido por 2 / A = b · h : 2


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