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Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Prof. Luis Eduardo Falcón Matemáticas Computacionales ITESM Campus Guadalajara.

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1 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Prof. Luis Eduardo Falcón Matemáticas Computacionales ITESM Campus Guadalajara

2 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Aristóteles – Euclides ( IV a.C.) Descartes - Leibniz – Newton ( s. XVII ) Lobachevski ( s. XIX ) Hilbert (principios del s. XX ) Consistencia Decibilidad Completitud Boole, Cantor, Frege, De Morgan y Peano (finales del s. XIX) Russell – Whitehead ( 1910 –1913) Gödel ( 1930 ) Formalistas Platónicos Constructivistas Lógica Computacional ( 1940 – ) Zenón de Elea ( V a. C. ) No hay contradicciones Dada una proposición debo saber si será demostrable Toda proposición V será axioma o bien deducible

3 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Los egipcios y babilonios fueron grandes ingenieros, pero no se hacían preguntas sobre la trascendencia de las herramientas matemáticas utilizadas.

4 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Los terremotos son consecuencia de que la Tierra descansa sobre un mar infinito. Todo es agua Thales de Mileto s. VII-VI a.C. Los griegos son los primeros que tratan de buscar explicaciones a lo que sucede en la Tierra, aunque buscando las respuestas en los cielos.

5 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Pitágoras s.VI-V a. C. Pitágoras es el primero que le da un puesto privilegiado a las Matemáticas, para explicar todo lo que sucede en el Universo.

6 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Zenón de Elea s.V Zenón de Elea nos hereda sus 4 Paradojas que durante 7 siglos y con el fin de explicarlas darán pauta al desarrollo de la ciencia y el nacimiento de diversas ramas de ella.

7 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón La Escuela de Atenas Sócrates (de verde) --- Platón --- Aristóteles Hypatia (de blanco) Pitágoras --- Arquímedes ----

8 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón La Matemáticas y la Física son las dos ramas científicas que en el s. XVII tienen el mayor formalismo de entre todas las ramas de la ciencia. En el siglo XVII se trata de buscar la que pueda se la madre de todas las ciencias en la Física y en la fusión de las diversas ramas que hasta entonces se conocían de las matemáticas. Rene Descartes Issac Newton Leibniz

9 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Lobachevsky primera mitad s. XIX Geometrías No-euclideanas

10 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón

11 Segunda mitad del Siglo XIX G. Boole G. Cantor A. De Morgan G. Peano D. Hilbert

12 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón G. Frege A. N. Whitehead B. Russell Finales s. XIX y principios del s. XX

13 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Página del Principia Mathematica de Whitehead & Russell donde ya podrá demostrarse que 1+1=2, después de 360 páginas!!

14 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón GödelAlbert Einstein

15 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón ¿Qué son las Matemáticas? Formalistas Platónicos Constructivistas

16 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Conjunto de teoremas que pueden crearse de cualquier conjunto de axiomas iniciales, manipulando los símbolos implicados de acuerdo con reglas específicas. Formalistas: En esta visión las matemáticas no tienen porqué dar ninguna explicación o justificación del mundo real, son un simple juego bajo ciertas reglas: hacer matemáticas por las matemáticas mismas

17 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Aunque a los matemáticos el estudio y éxito de las matemáticas se justifica por su belleza misma, es común juzgarla por su utilidad, ya que sus conceptos y técnicas son inmensamente útiles para resolver problemas del mundo real.

18 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Lenguaje universal en el cual a través de un conjunto de axiomas y reglas se descubren los teoremas matemáticos. Platónicos: En esta visión el mundo es matemático y por lo tanto los conceptos matemáticos ya existen y serán descubiertos, no inventados, por los matemáticos. Los números primos existen en el Universo. Por ello pueden utilizarse como lenguaje universal, como en la película Contacto con Jodie Foster

19 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón ¿Cómo es posible que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la existencia, se adapten de forma tan admirable a los objetos de la realidad? Albert Einstein

20 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Colección de proposiciones que pueden construirse en un número finito de pasos deductivos a partir de los números naturales. Constructivistas: En esta visión una fórmula matemática es simplemente la cadena finita de cálculos que se ha seguido para construirla. Ahora el estatus de cualquier proposición es triple: verdadera, falsa o indecidible. En este modelo el concepto de infinito no existe.

21 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Conjunto de axiomas, y teoremas que pueden deducirse lógicamente de los axiomas. Sistema Matemático

22 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón... deducciones lógicas... En ellas reside y se mide el éxito de las matemáticas

23 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón LÓGICA

24 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón ¿Qué es entonces la Lógica? Determinación metodológica de la verdad o falsedad de sentencias (objetivos) a partir de otras consideradas de antemano verdaderas (axiomas o premisas), utilizando para ello procedimientos válidos (reglas de inferencia) para el contexto de que se trate.

25 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Matemáticas DiscretasContinuas Conjunto base: Enteros Conjunto base: Reales

26 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Máquina de Turing Alan Turing, Emil Post, Alonzo Church Computadora que en principio puede alimentarse con ciertos datos de entrada y que posee un procesador que tras una serie de pasos finitos puede decidir si una proposición decidible es verdadera o falsa. Sin embargo, existen proposiciones cuyo tiempo necesario para decidir su veracidad con la máquina de Turing es infinito

27 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Operaciones No Computables Operaciones que una máquina de Turing no puede ejecutar en un tiempo finito. Si una operación es computable, ello significa que puede construirse un dispositivo material cuyo comportamiento imite a dicha operación: IA Las leyes de la naturaleza, ¿contienen elementos no computables o cuya computabilidad requiera millones de años en llevarse a cabo?

28 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Aproximaciones para una definición de LÓGICA: Disciplina que estudia los principios formales del conocimiento humano. Es decir, las formas y las leyes más generales del pensamiento humano considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos. [Diccionario General de la Lengua Española Vox-Larousse: ] Etimología: del griego logiké: relativo a la razón.

29 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón Disciplina que se aboca al estudio de las proposiciones y su uso en las argumentaciones. Ciencia que estudia los principios y criterios de validez de las inferencias y demostraciones. Ciencia que estudia los principios formales del razonamiento. Enciclopedia Británica en línea:

30 Apuntes Prof. Luis Eduardo Falcón


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