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Introducción a los sistemas y teorías de Church-Turing Introdicción a la teoría de la computación: una bibliografía Introdicción a la teoría de la computación:

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2 Introducción a los sistemas y teorías de Church-Turing Introdicción a la teoría de la computación: una bibliografía Introdicción a la teoría de la computación: una bibliografía Máquina de Turing: explicación Máquina de Turing: explicación Teoría de la complejidad Teoría de la complejidad ¿Qué es NP? ¿Qué es NP? Clasificaciones de los algoritmos (o funciones) Clasificaciones de los algoritmos (o funciones) Primeros resultados de limitación Primeros resultados de limitación Test de Turing (cultura general ) Test de Turing (cultura general )

3 Introducción a la teoría de la computación Hacia 1900, David Hilbert intentó encontrar un algoritmo general para probar la validez de proposiciones matemáticas. Hacia 1900, David Hilbert intentó encontrar un algoritmo general para probar la validez de proposiciones matemáticas. En 1931, Kurt Gödel demostro su teorema de incompletitud el cual prueba que no existe tal procedimiento efectivo. En 1931, Kurt Gödel demostro su teorema de incompletitud el cual prueba que no existe tal procedimiento efectivo. En 1936, Alan Turing introdujo un modelo para describir procedimientos efectivos. Dicho modelo se conoce como máquina de Turing. En 1936, Alan Turing introdujo un modelo para describir procedimientos efectivos. Dicho modelo se conoce como máquina de Turing.

4 Máquina de Turing Un procedimiento efectivo tiene ciertas propiedades: Un procedimiento efectivo tiene ciertas propiedades: –Debe poderse describir en forma finita. –Debe consistir en pasos discretos que pueden ser ejecutados mecánicamente. Una máquina de Turing consta de: Una máquina de Turing consta de: –Una cinta semi-infinita dividida en celdas. Cada celda puede contener solo uno de un conjunto finito de símbolos. –Un cabezal de lectura/escritura. –Un control finito.

5 Máquina de Turing Las primeras n 0 celdas de la cinta contienen la entrada. Las demás contienen el símbolo especial blanco. Las primeras n 0 celdas de la cinta contienen la entrada. Las demás contienen el símbolo especial blanco. En cada movimiento, la máquina de Turing puede, dependiendo del símbolo bajo el cabezal y del estado del control finito: En cada movimiento, la máquina de Turing puede, dependiendo del símbolo bajo el cabezal y del estado del control finito: –Cambiar de estado, –Imprimir un símbolo en la cinta reemplazando al existente, y –Mover el cabezal a la izquierda o derecha una celda. Una máquina de Turing tiene el mismo poder de computación que un computador digital tal como lo conocemos. Una máquina de Turing tiene el mismo poder de computación que un computador digital tal como lo conocemos.

6 Máquina de Turing a1a1a1a1 a2a2a2a2... aiaiaiai... ananananBBB... Control finito

7 Máquina de Turing no determinística Para cada estado dado y un símbolo leído de la cinta, una máquina de Turing no determinística tiene un número finito de opciones para el siguiente movimiento. Cada opción consiste de un nuevo estado, símbolo a imprimir y dirección de movimiento. Para cada estado dado y un símbolo leído de la cinta, una máquina de Turing no determinística tiene un número finito de opciones para el siguiente movimiento. Cada opción consiste de un nuevo estado, símbolo a imprimir y dirección de movimiento. La falta de determinismo no resulta en una máquina mas poderosa. La falta de determinismo no resulta en una máquina mas poderosa.

8 Teoría de la complejidad Considere la clase de funciones que transforman los enteros no negativos al intervalo {0,1}. Estas funciones se pueden hacer corresponder uno a uno con los números reales. Considere la clase de funciones que transforman los enteros no negativos al intervalo {0,1}. Estas funciones se pueden hacer corresponder uno a uno con los números reales. Por otra parte, si los procedimientos efectivos tienen descripciones finitas, estos se pueden hacer corresponder uno a uno con los números enteros. Por otra parte, si los procedimientos efectivos tienen descripciones finitas, estos se pueden hacer corresponder uno a uno con los números enteros. Los números enteros no se corresponden uno a uno con los reales. En consecuencia, no todas las funciones son computables. Los números enteros no se corresponden uno a uno con los reales. En consecuencia, no todas las funciones son computables.

9 Problemas NP La complejidad de un problema es una medida del tiempo y espacio requerido para resolverlo. La complejidad de un problema es una medida del tiempo y espacio requerido para resolverlo. Casi todos los algoritmos presentados hasta ahora pertenecen a la clase P o polinomial O(N m ). Estos son faciles Casi todos los algoritmos presentados hasta ahora pertenecen a la clase P o polinomial O(N m ). Estos son faciles El siguiente escalafón son los problemas de clase NP o non-deterministic polinomial. Estos problemas pueden resolverse en un tiempo y espacio polinomial en un computador no determinístico. El siguiente escalafón son los problemas de clase NP o non-deterministic polinomial. Estos problemas pueden resolverse en un tiempo y espacio polinomial en un computador no determinístico. Un problema pertenece a NP si es posible determinar que una solución es correcta en un tiempo polinomial. Un problema pertenece a NP si es posible determinar que una solución es correcta en un tiempo polinomial.

10 Problemas NP -completos Son un subconjunto de NP que contiene los problemas más difíciles. Son un subconjunto de NP que contiene los problemas más difíciles. Un problema es NP -completo si todos los problemas en NP se pueden reducir a él en un tiempo/espacio polinomial. Un problema es NP -completo si todos los problemas en NP se pueden reducir a él en un tiempo/espacio polinomial. Si un problema NP -Completo pudiera resolverse en un tiempo/espacio polinomial, todos los problemas en NP pertenecerían a P. Si un problema NP -Completo pudiera resolverse en un tiempo/espacio polinomial, todos los problemas en NP pertenecerían a P. A pesar de todos los esfuerzos, no ha sido posible encontrar una solución polinomial para ningún problema NP -completo. Los algoritmos que se han encontrado son de orden exponencial. A pesar de todos los esfuerzos, no ha sido posible encontrar una solución polinomial para ningún problema NP -completo. Los algoritmos que se han encontrado son de orden exponencial.

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12 Aparición de los principales resultadosde limitación resultados de limitación Teoremas de Incompletitud de GödelTeoremas de Incompletitud de Gödel Problema de ParadaProblema de Parada

13 Teoremas de Incompletitud de Gödel: Primer Teorema: Si PA (Aritmética de Peano) es consistente, entonces hay una fórmula G de PA tal que ni ella, ni su nega- ción, son demostrables en PA. Segundo Teorema: Si PA es consistente, entonces el enunciado formal que expresa la consistencia de PA no es demostrable en PA.

14 Problema de Parada: Turing-Church (1936-7): No hay una función computable H(x,y) capaz de determinar si la x-ésima función computable f x finaliza o no su rutina cuando computa el input y.

15 Test de Turing (TT)

16 Sociedad Híbrida (SH)

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