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1 Lógica Difusa 1999. 2 Lógica Difusa L. Zadeh [1979] La idea principal es representar la incertidumbre contenida en proposiciones como: X es Y Jordi.

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1 1 Lógica Difusa 1999

2 2 Lógica Difusa L. Zadeh [1979] La idea principal es representar la incertidumbre contenida en proposiciones como: X es Y Jordi es alto Mediante una distribución de valores y el razonar sobre la combinación de los valores. [x es A] x U, A es un término lingüístico aplicable a x

3 3 Lógica Difusa [x es A] x U, A es un término lingüístico aplicable a x A : U [0,1] tal que A (u) = u) Función característica A : Asigna a cada u U la posibilidad que tiene x de tomar el valor u dado que [x es A] Alto

4 4 Lógica Difusa Representación a n-1 a2a2 a1a1 a0a0 temperatura fiebre (temperatura) Conjunto difuso que representa el concepto fiebre. Fiebre= Type: Fuzzy (37,38,43,43) Relation: needs_quantitative temperature

5 5 Lógica Difusa Representación a n-1 a2a2 a1a1 a0a0 temperatura fiebre (temperatura) low medium high Conjuntos difusos que representan el concepto fiebre Fiebre= Type: (l low (37,37.3,37.6,38), (m medium (37.6,38, 38.5,39), (h high (38.5,39,43,43)) Relation: needs_quantitative temperature

6 6 Lógica Difusa Operaciones Si F=[x es A] y G=[x es B] con distribuciones de posibilidad A y B definidas en U F G = [x es A y B] F G = [x es A ó B] F = [x no es A] A B (u) = T( A (u), B (u)) T-norma (Conjunción) A B (u) = S( A (u), B (u)) S-norma (Disyunción) A (u) = N( A (u)) N (Negación)

7 7 Lógica Difusa T-normas T:[0,1] x [0,1] [0,1] Propiedades a) T(0,0) = 0 b) T(p,q) = T(q,p) conmutatividad c) T(p,T(q,r)) = T(T(p,q),r) asociatividad d) T(1,p) = T(p,1) = p e) T(p,q) r,s si p r y q s monotonía

8 8 Lógica Difusa T-conormas S:[0,1] x [0,1] [0,1] Propiedades a) S(1,1) = 1 b) S(p,q) = S(q,p) conmutatividad c) S(p,S(q,r)) = S(S(p,q),r) asociatividad d) S(1,p) = S(p,1) = 1 e) S(p,q) S r,s si p r y q s monotonía

9 9 Lógica Difusa T-normas y T-conormas a) T(x,y) = min(x,y) S(x,y) = max(x,y) b) T(x,y) = xy/(x+y-xy) S(x,y) = (x+y -2xy)/(1-xy) c) T(x,y) = xy S(x,y) = x+y - xy

10 10 Reglas de producción R = Si [x es A] U entonces [y es B] V La incertidumbre de R está representada por una relación difusa H en UxV H(A,B)(u,v) = I( A (u), B (v)) donde I:[0,1] x [0,1] [0,1] I: es decreciente respecto a u y creciente con v I(0,x) = 1 I(1,x) = x I(x, I(y,z)) = I(y, I(x,z))

11 11 Implicaciones difusas S-Implicaciones Si se interpreta la implicación como a b usando la negación a b tenemos que I s (p,q) = S(N(p),q) donde S es una T-conorma y N una negación fuerte

12 12 Implicaciones difusas(2) R-implicaciones I r (p,q) = T(p,q) T(p,q) = SUP c [0,1]/T(p,c) q

13 13 Modus Ponens MILORD T(x,y) = min(x,y), S(x,y) = max(x,y), N(x) = 1-x I s (x,y) = S(N(x),y)= max(1-x,y) I r (x,y) = 1 si x>y, y en otro caso M I (x,y)= 0 si y 1-x, y en otro caso

14 14 Modus Ponens MILORD Ejemplo Si [x es A] [y es B] es [x es A] es [y es B] es (y)= SUP I(x,y)=z M I ( ( ), (z))

15 15 MILORDII MILORD [Sierra89] Objetivo: Lenguaje de desarrollo de sistemas expertos Requerimientos: * Estructuración de problemas * Reusabilidad * Programación Incremental * Modelo para el conocimiento imperfecto Incertidumbre Imprecisión

16 16 MILORDII * Conducta cooperativa e informativa * Validación incremental * Buena iteracción con el usuario * Razonamiento Complejo MILORDII [Puyol, 94]

17 17 Incertidumbre en MilordII La capacidad de razonamiento aproximado de Milord II está basado una familia de lógicas multivaluadas (con un número finito de valores) que son locales a cada módulo y están definidas como un álgebra de valores de verdad. La lógica local a un módulo consta de las siguientes declaraciones: –Un conjunto ordenado de términos lingüísticos que representan los grados de verosimilitud entre T y F –Un operador de conjunción

18 18 Valores de verdad (Truth-value) A n T ={A n, N n, T, I T } 0=a 1 < a 2 <…< a n < 1 I T (a,b)= max{c A n b a,c)} N n (a i )=a n-i+1 Si a N n (b) N 2 n =Id T(a,b) = T(b,a) T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)) T(0,a) = 0 T(1,a) = a Si b a T(b,c) T(a,c) c Modus ponens

19 19 MILORDII Modus Ponens MP T es una función An X An An conjunto de intervalos MP T 0 si c I T (a,c)=b [a,1] si b=1 T(a,b) en otro caso {

20 20 MILORDII Modus Ponens I T (a,b) =max{c A n T(a,c) b} I 1 : I T (a,b) = 1 sii a b I 2 : I T (1,a) = a I 3 : I T (a, I T (b,c)) = I T (b, I T (a,c)) I 4 : Si a b I T (a,c) I T (b,c) I T (c,a) I T (c,b) c I 5 : I T (T(a,b),c) = I T (a, I T (b,c))

21 21 MILORDII Modus Ponens MP T (a,b) (p)= a (p q) = I T ( (p), (q))=b { El MP T (a,b) es el conjunto de soluciones para (q) y es la evaluación de las proposiciones.

22 22 Modus ponens MP T s5 (x,y) Ejemplo: si p=likely y p q= true MP T s5 (likely,true) = true

23 23 Terap-IA

24 24 Bibliografía * Puyol, J. Modularization, Uncertainty, Reflective Control and Deduction by Specialization in MILORDII, a Language for Knowledge-Based Systems. Tesis Doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona * Sierra, C. MILORD: Arquitectura Multi-nivell per a sistemes experts en classificació Tesis Doctoral. Departament de Llenguatges i Sistemes Informàtics. Universitat Politècnica de Catalunya


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