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Se llaman expresiones algebraicas a una combinación de números y letras separados por los signos aritméticos: +, -,., : y a n Ejemplos: 3x 2 ; 4a + 5b.

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Presentación del tema: "Se llaman expresiones algebraicas a una combinación de números y letras separados por los signos aritméticos: +, -,., : y a n Ejemplos: 3x 2 ; 4a + 5b."— Transcripción de la presentación:

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2 Se llaman expresiones algebraicas a una combinación de números y letras separados por los signos aritméticos: +, -,., : y a n Ejemplos: 3x 2 ; 4a + 5b + 3c - d ; s / t En toda expresión algebraica se distinguen dos partes: coeficiente: que es el factor numérico parte literal: formada por las letras y sus exponentes 4 x 3 y 2

3 Valor numérico de una Expresión Algebraica Es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las opera- ciones indicadas. Calcular el valor numérico de la expresión : 4x 2 + 3y para x = -2 e y = 5 4(-2) 2 + 3(5) = = = 31 R = 31 Calcula el valor numérico de 4a 3 - 5b 2 - 3c ; para a=-2, b=5 y c = 4(-2) 3 - 5(5) 2 - 3(-1) = 4.(-8) - 5.(25) - 3.(-1) = = R = -154

4 Monomios Se llama MONOMIO a toda expresión algebraica en la que sólo aparecen las operaciones produc- to, división o potenciación. Pero nunca la suma o la resta. Son Monomios: 4x 3 y 2 ; - 3a 5 ; 3/4 ab 3 ; -10ab 4 c Grado de un monomio El grado de un monomio viene dado por la suma de los exponentes de sus letras 4x 3 y 2 ; - 3a 5 ; 3/4 ab 3 ; -10ab 4 c 5º grado 4º grado6º grado

5 Monomios semejantes Se llaman monomios semejantes aquellos que tienen la misma parte literal, aunque tengan distinto coeficiente. 4x 3 y -5x 3 y 12x 3 y x 3 y 5/4x 3 y Estos monomios son semejantes pues la parte literal x 3 y es la misma en todos. 4x 3 y CoeficienteParte literal 4x3yx3y Estos monomios no son semejantes : 4x 2 y ; 4xy 2 ; 4xy ; 4x 2 y 2. Pues tienen distinta parte literal.

6 Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios, éstos tienen que ser semejantes. Veamos unos ejemplos: Efectúar 4x 3 y + 5x 3 y -7x 3 y +3x 3 y - x 3 y = Vemos que todos son semejantes 4x 3 y + 5x 3 y -7x 3 y +3x 3 y - x 3 y = 4x 3 y Para sumar o restar monomios semejantes,se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. 5abc + 3abc - 10abc + 8abc - 2abc = 4abc 9y 5 x - 11y 5 x - 3y 5 x + 2y 5 x - y 5 x = - 4y 5 x

7 Producto de monomios Para multiplicar monomios, se multiplican en primer lugar los coeficientes y, a continuación la parte literal. Para multiplicar la parte literal nos basamos en las propiedades de las potencias. Veamos unos ejemplos:Efectúa: -4x 3 y · 5ax 2 y 3 · 2xay = 1º) = º)x 3 y · ax 2 y 3 · xay = x 6 a 2 y 5 3x 2 y 3 · (-2x 3 y) ·(-y 2 ab) =6x 5 y 6 ab Para multplicar monomios, éstos no tienen que ser semejantes. -40x6a2y5x6a2y5

8 Para dividir monomios, hallamos primero el cociente de los coeficientes (teniendo en cuenta la regla de los signos) y, a continuación dividimos la parte literal teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. Veamos un ejemplo: -4x 3 y 4 a : 2x 2 y = -4 : 2 = -2 X 3 y 4 a : x 2 y = xy 3 a -3x 3 y -2xy 3 a

9 POTENCIA DE UN MONOMIO Para hallar la potencia de un monomio, se elevan el coeficiente y la parte literal a dicha potencia. Veamos unos ejemplos: (3a 3 bx 2 ) 4 = 3 4 = (a 3 ) 4 =a 12 a 12 b4b4 b4b4 (x 2 ) 4 = x 8 x8x8 (-5x 3 y 2 z 4 ) 3 = (-5) 3 = (x 3 ) 3 = x 9 x9x9 (y 2 ) 3 = y 6 y6y6 (z 4 ) 3 = z 12 z 12

10 Polinomios Se llama polinomio a toda expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios no semejantes. Veamos un ejemplo : 5a 3 + 3a 2 - 5a + 4 Cada monomio se llama término del polinomio El grado de un polinomio viene dado por el mayor de los grados de los monomios que lo componen 5a 3 + 3a 2 - 5a + 4 Monomio de 3º grado Polinomio de 3 er grado Algunos polinomios reciben nombres especiales: BINOMIO:Formado por 2 monomios, 4x TRINOMIO:Formado por 3 monomios, 3x 3 - 5x + 4

11 Clasificación de los Polinomios POLINOMIOS COMPLETO INCOMPLETO X 3 +4X-2X 2 +1,tiene todos los grados 2X X,le falta algún grado DESORDENADO X 3 +4X-2X 2 +1 ORDENADO X 3 -2X 2 +4X+1 CRECIENTE 1+4X-2X 2 +X 3 DECRECIENTE X 3 -2X 2 +4X+1

12 Clasificación de los Polinomios POLINOMIOS COMPLETO INCOMPLETO 2X X DESORDENADO X 3 +4X-2X 2 +1 ORDENADO X 3 -2X 2 +4X+1 CRECIENTE 1+4X-2X 2 +X 3 DECRECIENTE X 3 -2X 2 +4X+1 X 3 +4X-2X 2 +1

13 Para sumar polinomios, en primer lugar los ordenaremos de la misma forma(creciente o decreciente) y, a continuación los colocaremos en columnas haciendo coincidir los monomios semejantes. Veamos unos ejemplos: (3x x 2 ) + (-3 +2x 2 - 4x) + (3x 2 -6 ) = Los ponemos en columnas ordenándolos de forma decreciente -x 2 + 3x + 5 Primer sumando ordenado 2x 2 - 4x - 3Segundo sumando ordenado y en su sitio 3x Tercer sumando ordenado y dejando hueco libre + 4x 2 - x - 4 Es fácil, ¿ verdad? - ¡ Hagamos otra suma!

14 Efectúa: (-5x x 3 + 2x 2 ) + ( x2 x x + 5x 3 ) + (2x 2 + x 3 - 3) = Los ordenamos de forma creciente y, los ponemos en columna haciendo coincidir monomios semejantes x + 2x 2 - 3x x + x 2 + 5x x 2 + x x + 5x 2 + 3x 3 ¿ Has cazado la suma?

15 Para restar monomios se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo Veamos:Efectuar:(-5a a 2 + 3a 3 ) - (3a 2 - 5a - 2a 3 -5) = MinuendoSustraendo Vamos a ordenarlos de forma decreciente y, le sumaremos al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir, cambiaremos los signos de este último. 3a 3 - 2a 2 - 5a + 6 2a 3 - 3a 2 +5a La resta la hemos convertido en suma, cambiando los signos del sustraendo 5a 3 - 5a Hagamos otro ejercicio 2x 2 - 5x x 2 - 3x x 2 - 5x x 2 +3x x 2 - 2x + 6

16 Multiplicación de un Polinomio por un Monomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicaremos el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio. Teniendo muy en cuenta la regla de los signosVeamos(4x 3 - 5x 2 + 3x - 6) · (-4x 2 ) = 4x 3 - 5x 2 + 3x x 2 · (4x 3 ) ·(-4x 2 ) = -16x 5 -16x 5 (-5x 2 ) · (-4x 2 ) = +20 x x 4 (+3x) · (- 4x 2 ) = -12x 3 -12x 3 ( -6) · (- 4x 2 ) = +24x 2 +24x 2 Hagamos otro ejercicio: (-9x+5x 3 -2x 2 +4) · 3x 3 = Ordenamos el polinomio de forma decreciente5x 3 - 2x 2 - 9x + 4 3x 3 · 5x 3. 3x 3 =15x x 3 = +12x 3 (-9x). 3x 3 = -27x x 4 (-2x 2 ) ·3x 3 = -6x 5 15x 6

17 Producto de polinomios Hallar el siguiente producto:(4x 2 -3x+4) ·(3x-5)= 4x 2 - 3x + 4 3x - 5 · En primer lugar multiplicamos el monomio -5 por el polinomio multiplicando -20x 2 +15x -20 En segundo lugar multiplicamos el monomio 3x por el polinomio multiplicando, colocando en columna los monomios semejantes 12x 3 - 9x x Ahora sumamos los dos polinomios que han resultado 12x 3 -29x 2 +27x -20 Hagamos otra multiplicación: 8a 3 - 5a 2 - 4a - 3 a · - 40a 3 +25a a a 5 - 5a 4 - 4a 3 - 3a 2 Sumemos ahora los dos polinomios 8a 5 - 5a a a a + 15

18 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Hagamos la siguiente división : (8x 4 -12x 3 +28x 2 -16x) : (-4x) = Observamos que el polinomio dividendo está ordenado, por lo que nos ponemos a hacer la división 8x 4 -12x x x-4x 8x 4 : (-4x) = -2x 3 -12x 3 : (-4x)= +3x 2 -2x 3 · (-4x) = +8x 4, pero como vamos a restar (-8x 4 ) -8x x 3 +3x 2 · (-4x) = -12x 3,pero como vamos a restar ( +12x 3 ) +12x 3 0 Bajemos ahora -12x 3 Bajemos ahora +28x 2 : (-4x) = -7x · (-4x) = + 28 x2 x2, pero como vamos a restar (-28x 2 ) -28x 2 0 Bajemos -16x : (-4x) = +4 · (-4x) = -16x, pero como vamos a restar +16x 0 Cociente Resto ¿ Te has enterado? Hagamos otra

19 División de Polinomios (27x 5 -18x 3 -3x 2 ) : (9x 2 ) = El polinomio está ordenado en forma decreciente, lo vamos a ordenar,en este caso, de forma creciente y comenzaremos la división. - 3x x x 5 9x 2 En primer lugar dividimos -3x 2 entre +9x 2 = - 1/3 - 1/3 - 1/3 · 9x 2 = -9/3 x2 x2 = -3x 2, pero como vamos a restar + 3x 2 + 3x 2 0 Ahora bajamos -18x 3 y lo dividimos entre 9x 2 = -2x · 9x 2 = -18x 3, pero como vamos a restar +18x x 3 +18x 3 0 Vamos a bajar +27x 5 : +9x 2 = +3x 3 ·9x 2 = +27x 5, pero como vamos a restar -27x 5 0 Podemos hacer la prueba multiplicando el cociente por el divisor y nos tiene que dar el dividendo COCIENTE RESTO Si trabajas un poco tú solo, no se resistirá ningún polinomio

20 División de un polinomio por otro polinomio Hasta ahora hemos dividido un polinomio por un monomio. Ahora vamos a dividir un polinomio por otro polinomio Dividamos (15 + 3a - 7a 2 - 4a 3 ) : (5 - 4a) = a - 7a 2 - 4a 3 Los dos polinomios están ordenados de forma creciente, por tanto los vamos a dejar así 5 - 4a Dividimos el primer monomio del dividendo, entre el primer monomio del divisor, es decir, +15 : +5 = +3 Ahora multiplicamos +3 por el divisor: +3 · (5-4a) = a pero como vamos a restar a a Y sumamos a A continuación bajamos - 7a 2 - 7a 2 Dividimos +15a entre +5 = + 3a + 3a Ahora multiplicamos:+3a · (5-4a) = 15a - 12a 2, pero como vamos a restar - 15a + 12a a + 12a a 2 Por último bajamos - 4a 3 - 4a 3 Dividimos: + 5a 2 entre +5 = +a 2 Multiplicamos a 2 ·(5 - 4a) = +5a 2 - 4a 3, pero como vamos a restar - 5a 2 + 4a 3 - 5a 2 + 4a 3 0 Ahora te toca traba- jar a ti Coge un papel y un lápiz y haz esta división ordenando los polinomios de forma decreciente

21 Esperamos que te hayas enterado del tema. Si no es así, repite de nuevo el programa y ve fijándote detalle por detalle. Si tienes alguna duda, llama a tu Profesor o Profesora, que te resolverá el problema. Haz todos los ejercicios que te pongan tus Profesores Hasta el próximo tema.


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